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2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积学案含解析


1.1.6

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,了解它们的侧面展开图.(重点) 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,并会求它们的表面积.(重点) 3.了解球的表面积公式,会运用公式求球的表面积.(重点) 4.组合体的表面积计算.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 阅读教材 P25~P26“倒数第 5 行”以上内容,完成下列问题. 棱柱、 棱锥、 棱台是由多个平面图形围成的多面体, 它们的表面积就是各个面的面积和.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) ) )

(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(

(3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等.( 【解析】 (1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.

(2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形. (3)错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论 怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

教材整理 2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积 阅读教材 P26“倒数第 3 行”~P27“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式

S 圆柱=2π r(r+l),
圆柱

r 为底面半径, l 为侧面母线长

1

S 圆锥=π r(r+l),
圆锥

r 为底面半径, l 为侧面母线长 S 圆台=π (r′2+r2+r′l+ rl),

圆台

r′为上底面半径, r 为下底面半径, l 为侧面母线长

2.球的表面积 球的表面积公式 S 球=4π R .
2

1.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 ( ) A.4π C.2π B.3π D.π

【解析】 所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S=2π rh= 2π ×1×1=2π .故选 C. 【答案】 C 2.已知两个球的半径之比为 1∶2,则这两个球的表面积之比为( A.1∶2 C.1∶6 【解析】 B.1∶4 D.1∶8 )

S1 4π R2 1 ?R1? ?1? 1 = =? ? =? ? = . S2 4π R2 2 ?R2? ?2? 4

2

2

【答案】 B

[小组合作型] 求棱柱、棱锥、棱台的表面积 已知正四棱锥底面边长为 4,高与斜高夹角为 30°.求它的侧面积和表面积. 【精彩点拨】 根据多面体的侧面积公式, 可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面 的斜高,进而由公式求解. 【自主解答】 如图所示,设正四棱锥的高为 PO,斜高为 PE,底面边心距为 OE,它们
2

组成一个直角三角形 POE.

4 ∵OE= =2,∠OPE=30°, 2 ∴PE= 2 = =4. sin 30° 1 2

OE

1 1 ∴S 正四棱锥侧= ch′= ×(4×4)×4=32, 2 2

S 表面积=42+32=48.
即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48.

1.要求锥体的侧面积及表面积, 要利用已知条件寻求公式中所需的条件, 一般用锥体的 高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量. 2.空间几何体的表面积运算, 一般是转化为平面几何图形的运算, 往往通过解三角形来 完成.

[再练一题] 1.某几何体的三视图如图 1?1?88 所示,则该几何体的表面积为( )

图 1?1?88 A.180 B.200 C.220 D.240

【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱. 等腰梯形的上底长为 2,下底长为 8,高为 4,腰长为 5,直四棱柱的高为 10,所以 S 底 1 = ×(8+2)×4×2=40,S 侧=10×8+10×2+2×10×5=200,S 表=40+200=240,故选 2 D. 【答案】 D

3

求圆柱、圆锥、圆台的表面积 如图 1?1?89 所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC =16 cm,AD=4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 【导学号:45722026】

图 1?1?89 【精彩点拨】 选择表面积公式 分析几何体的形状 ― ― ― ― ― ― ― → 求表面积

【自主解答】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是 4 cm, 下底半径是 16 cm,母线 DC= 5 +?16-4? =13 (cm). ∴该几何体的表面积为 π (4+16)×13+π ×4 +π ×16 =532π (cm ).
2 2 2 2 2

1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相 关量是求解旋转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、 侧棱及其在底面的射影与高、 底面边长等构成 的直角三角形(或梯形)求解.

[再练一题] 2.在本例题题设条件不变的情况下,求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面 积. 【解】 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示:

其中圆锥的高为 16-4=12(cm),圆柱的母线长为 AD=4 cm,故该几何体的表面积为: 2π ×5×4+π ×5 +π ×5×13=130π (cm ). 球的表面积问题 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三 个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 【精彩点拨】 本题是求三个球的表面积之比,解题的关键是得出半径之比,可在各几 何体内做出截面,找到球心,易求半径. 【自主解答】 设正方体的棱长为 a.
2 2

4

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点 及球心作截面,如图①,所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4π r1=π a . 2

a

2

2

(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图 ②,2r2= 2a,r2= 2 2 a,所以 S2=4π r2 2=2π a . 2

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图③,所以有 2r3 = 3a,r3= 3 2 a,所以 S3=4π r2 3=3π a . 2

综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

1.在处理球和长方体的组合问题时, 通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图, 然 后通过已知条件求解. 2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现, 可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方 体,长方体等,通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.

[再练一题] 3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图 1?1?90 所示,则该三棱锥的外接球的 表面积为( )

图 1?1?90

5

A.29π

B.28π

C.25π

D.26π

【解析】 由三视图得直观图如图,三棱锥 O?ABC 中 OA,OB,OC 两两垂直,OA=3,OC =4, OB=2, 可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长, 长方体的对角线, 即为球的直径, 长为 3 +4 +2 ,
2 2 2

29 ? 29? 故外接球半径为 ,外接球的表面积 S 球=4π ? ? =29π . 2 ? 2 ? 【答案】 A [探究共研型] 与三视图有关的表面积 探究 1 一个几何体的三视图如图 1?1?91 所示,请说出该几何体的结构特征.

2

图 1?1?91 【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直角三角形. 探究 2 试根据图中数据求该几何体的表面积. 【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为 3 和 4,斜边长为 5,三棱柱的高为 5,

?1 ? 如图所示,所以表面积为 2? ×3×4?+(3+4+5)×5=72. ?2 ?

探究 3 已知几何体的三视图,如何求几何体的表面积?
6

【提示】 首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征, 再根据相应的表面积公式 计算. 已知某几何体的三视图如图 1?1?92(单位:cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积. 【导学号:45722027】

图 1?1?92 【精彩点拨】 由三视图确定几 选择表面积 → 何体的形状 公式求解

【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q—A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积

S=5×22+2× × 2× 2+2× 2×2=22+4 2(cm2).

1 2

1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用, 在转化过程中注意图中各个数据的对 应关系. 2.在求几何体的表面积时,要搞清几何体的结构特征,注意分割、拼补的技巧,注意转 化与化归思想应用.
7

[再练一题] 4.某几何体的三视图如图 1?1?93 所示,它的表面积为( )

图 1?1?93 A.32π 【解析】 B.48π C.33π D.24π
2

由三视图可知,该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体 S = 2π ×3 +

π ·3·5=33π . 【答案】 C

1.一个几何体的三视图如图 1?1?94 所示,该几何体的表面积是(

)

图 1?1?94 A.372 B.360 C.292 D.280

【解析】 该几何体由两个长方体组合而成, 其表面积等于下面长方体的全面积与上面 长方体的四个侧面积之和.

S=2(10×8+10×2+8×2)+2(6×8+8×2)=360.故选 B.

8

【答案】 B 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( A. C. 1+2π 2π 1+2π π B. D. 1+4π 4π 1+4π 2π )

【解析】 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则有 h=2π r,所以表面积与侧面积的比 为 2π (r +rh)∶2π rh=(r+h)∶h=(2π +1)∶2π . 【答案】 A 3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形, 则它们的表面积 之比为________. 3 ?a? ?a? 2 【解析】 S 圆柱=2·π ? ? +2π ·? ?·a= π a , 2 ?2? ?2?
2 2

a 3 ?a? S 圆锥=π ? ? +π · ·a= π a2,∴S 圆柱∶S 圆锥=2∶1. 2 4 ?2?
【答案】 2∶1 4.如图 1?1?95 所示,圆台的上、下底半径和高的比为 1∶4∶4,母线长为 10,则圆台 的侧面积为________.

2

图 1?1?95 【解析】 设圆台的上底半径为 r,则下底半径为 4r,高为 4r. 由母线长为 10 可知 10= ?3r? +?4r? =5r, ∴r=2. 故圆台的上、下底面半径和高分别为 2,8,8. 所以圆台的侧面积为 π (2+8)×10=100π . 【答案】 100π 5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,求圆锥的底面面积. 【导学号:45722028】 【解】 如图,设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,
2 2

9

π ? ? l2=S, 由题意得? 2 ? ?π l=2π r. 解得 r=

S



2

所以底面积为 π r =π × ∴圆锥的底面面积为 . 2

S


= . 2

S

S

10



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