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2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研数学


届江苏省海安高级中学,南京外国语学校, 2010 届江苏省海安高级中学,南京外国语学校,南京市金陵中学

高三调研测试

数学(必试部分) 数学(必试部分)
注意事项: 注意事项:
1.本试卷总分 160 分,考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将班级,姓名,学号写在答卷纸的密封线内.选择题答案填涂在答 ......... 题卡对应的题号下,主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上.考试结束后, ................................. 上交答题卡和答卷纸.

一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题 卡相应位置上. .....
1.设复数 z 满足 ( z + i)(1 + i) = 1 i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的模 z =___▲____. 2.已知 tan α = 2 ,则

sin(π + α ) + cos(π α ) = ___▲_____. sin(α ) + cos(α )

x2 y2 3.抛物线 y2 = 8x 的焦点到双曲线 – = 1 的渐近线的距离为___▲___. 12 4 4.阅读下列算法语句: Read S ← 1 For I from 1 to 5 step 2 S ← S+I End for Print S End 输出的结果是 ▲ .
[来源:学科网 ZXXK]

5.设集合 A = {x

1 x 1 < 3x < 3}, B = {x < 0} ,则 A ∪ B =____▲_______. 3 x

1 S4 6.设等比数列{an}的公比 q = ,前 n 项和为 Sn,则 = ____▲_______. 2 a4 7.在区间 [ 5,5] 内随机地取 出一个数 a , 则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2 x 2 + ax a 2 < 0 的 一个解的概率大小为__▲_____. 8.已知向量 b =

(

3, 1 , a = 2 ,则 2a b 的最大值为

)



.

9.已知 A(2,4),B(–1,2),C(1,0),点 P(x,y)在△ABC 内部及边界上运动,则 z = x – y 的最大值 与最小值的和为___▲___

10.设 b, c 表示两条直线, α , β 表示两个平面,现给出下列命题:

[来源:学科网 ZXXK]

2010 届江苏省海安高级中学,南京外国语学校,南京市金陵中学高三调研测试数学试卷(必试部分)共 4 页,第 1 页

① 若 b α , c // α ,则 b // c ; ② 若 b α , b // c ,则 c // α ; ③ 若 c // α , α ⊥ β ,则 c ⊥ β ; ④ 若 c // α , c ⊥ β ,则 α ⊥ β . 其中正确的命题是___▲______. (写出所有正确命题的序号) 11.设函数 f ( x) =

x ≤ 0, ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) af ( x) = 0 恰有三 个不同的实数 log 2 x, x > 0 2 x ,

解,则实数 a 的取值范围为___▲_____.
g x 12. 函 数 y = f ( x ) ( ) 在 求 导 数 时 , 可 以 运 用 对 数 法 : 在 函 数 解 析 式 两 边 求 对 数 得

ln y = g ( x ) ln f ( x ) , 两 边 求 导 数

f ′( x) y′ g x = g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) , 于 是 y′ = f ( x ) ( ) y f ( x)
1

f ′( x) g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) .运用此方法可以探求得知 y = x x ( x > 0 ) 的一个单 调增区间为 f ( x) ____▲_____.

13.已知椭圆

x2 y 2 + = 1 的上焦点为 F , 直线 x + y + 1 = 0 和 x + y 1 = 0 与椭圆相交于点 A , , B 3 4 C , D ,则 AF + BF + CF + DF = ▲ .

14.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) = 2 , f ′ ( x ) < 1 ,则不等式 f x 2 < x 2 + 1 的解集为 _▲__.

( )

小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二,解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答 解答题: ....... 时应写出文字说明,证明或演算步骤. 时应写出文字说明,证明或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) ( 如图, B 在以 PA 为直径的圆周上, C 在线段 AB 上, 点 点 已知 PA = 5, PB = 3, PC = 设 ∠APB = α , ∠APC = β , α , β 均为锐角. (1)求 β ; (2)求两条向量 AC , PC 的数量积 AC PC 的值. B C

15 2 , 7

P

A

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16. (本小题满分 14 分) 如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,AD = DE = 2AB,且 F 是 CD 的 中点. E ⑴求证:AF//平面 BCE; ⑵求证:平面 BCE⊥平面 CDE.
B

A D

C

F

17. 本大题满分 14 分) . ( 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行,对每天在各时间段进入园区和离开 园区的人数(以百人为计数单位)作了一个模拟预测.为了方便起见,以 10 分钟为一个计 .. 算单位,上午 9 点 10 分作为第一个计数人数的时间,即 n = 1 ;9 点 20 分作为第二个计数人 数的时间,即 n = 2 ;依此类推 ,把一天内从上午 9 点到晚上 24 点分成了 90 个计数单 位 . 第 n 个 时 刻 进 入 园 区 的 人 数 f ( n ) 和 时 间 n ( n ∈ N ) 满 足 以 下 关 系 :
36 n 24 36 3 12 f (n) = 3n + 216 0

(1 ≤ n ≤ 24 ) ( 25 ≤ n ≤ 36 ) , n ∈ N ( 37 ≤ n ≤ 72 ) ( 73 ≤ n ≤ 90 )

第 n 个 时 刻 离 开 园 区 的 人 数 g ( n ) 和 时 间 n n ∈ N
0 g ( n) = 5n 120 50

(

)

满 足 以 下 关 系 :

(1 ≤ n ≤ 24) ( 25 ≤ n ≤ 72) , n ∈N . ( 73 ≤ n ≤ 90)

(1)试计算在当天下午 3 点整(即 15 点 整)时,世博园区内共有游客多少百人? (提示: 12 3取1.1 ,结果仅保留整数) (2)问:当天什么时刻世博园区内游客总人数最多?

[来源 学 科 网 Z+X+X+K] 来源:学 科+网 来源 学+科 网 来源 学 科

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18.(本小题满分 16 分) ( 设圆 C1 : x 2 + y 2 10 x 6 y + 32 = 0 ,动圆 C2 : x 2 + y 2 2 ax 2(8 a ) y + 4 a + 12 = 0 , (1)求证:圆 C1 ,圆 C2 相交于两个定点;

x2 + y 2 = 1 上的点 ,过点 P 作圆 C1 的一条切线,切点为 T1 ,过点 P 作 4 圆 C2 的一条切线,切点为 T2 ,问:是否存在点 P,使无穷多个圆 C2 ,满足 PT1 = PT2 ?如
(2)设点 P 是椭圆 果存在,求出所有这样的点 P;如果不存在,说明理由.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}的通项公式为 an = 2×3n + 2 (n∈N). 3n – 1

⑴求数列{an}的最大项; an + p ⑵设 bn = ,试确定实常数 p,使得{bn}为等比数列; an – 2 ⑶设 m, n, p ∈ N* , m < n < p ,问:数列{an}中是否存在三项 am ,an ,a p ,使数列 am ,an ,

a p 是等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存 在,说明理由.

20. 本大题满分 16 分) . (
| x| 已知函数 f ( x ) = a + x ( a > 0, a ≠ 1) , a

2

(2)设函数 g ( x ) = f ( x ) , x ∈ [ 2, +∞ ) , g ( x ) 满足如下性质:若存在最大(小)值,则最 大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

(1)若 a > 1 ,且关于 x 的方程 f ( x ) = m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围;

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高三调研测试
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数学(加试部分) 数学(加试部分)
21.【选做题】 四小题中只能选做两题 请在答 21.【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 l0 分,共计 20 分.请在答 .【选做题 .... . 题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ...... A.选修 4 – 1 几何证明选讲 选修 如图,△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E, ∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D. 求证:ED2= EBEC.

A

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

B

D

C

E

B.矩阵与变换 . 已知矩阵 A =
2 1 4 1 , B = 3 1 ,求满足 AX = B 的二阶矩阵 X . 4 3

C.选修 4 – 4 参数方程与极坐标 选修 若两条曲线的极坐标方程分别为 ρ = 1 与 ρ = 2cos(θ + 的长. π ),它们相交于 A, 两点, B 求线段 AB 3

D.选修 4 – 5 不等式证明选讲 选修 设 a,b,c 为正实数,求证:a3 + b3 + c3 + 1 ≥2 3. abc

请在答题卡指定区域内作答, 【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答 必做题】 ....... 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 2. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA⊥底面 ABCD,点 M 是 棱 PC 的中点,AM⊥平面 PBD. ⑴求 PA 的长; P ⑵求棱 PC 与平面 AMD 所成角的正弦值.

M A D
2010 届江苏省海安高级中学,南京外国语学校,南京市金陵中学高三调研测试数学试卷(必试部分)共 4 页,第 5 页 C

B

23. 本小题满分 10 分) . (本小题满分 ( 用 a , b, c, d 四个不同字母组成一个含 n + 1 (n ∈ N *) 个字母的字符串,要求由 a 开始,相邻 两个字母不同. 例如 n = 1 时,排出的字符串是 ab, ac, ad ; n = 2 时排出的字符串是

aba, abc, abd , aca, acb, acd , ada, adb, adc ,… …, 如图所示.记这含 n + 1 个字母的所有 字符串中,排在最后一个的字母仍是 a 的字符串的种数为 a n .

3n + 3(1)n (n ∈ N* , n ≥ 1) ; 4 * (2)现从 a , b, c, d 四个字母组成的含 n + 1( n ∈ N , n ≥ 2) 个字母的所有字符串中随机抽取 2 1 一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是 a 的概率为 P ,求证: ≤ P ≤ . 9 3
(1)试用数学归纳法证明: an = a c d a b d a b c

b b c d n=1 c

a

a

d n=2

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高三调研测试 数学参考答案及评分标准
题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 2 6 15 11 2 3 7 0.7 12 3 1 8 6 13 8 4 10 9 –2 14 5

{ x 1 < x < 1}
10 ④

{a 0 < a ≤ 1}

( 0, e )

( ∞, 1) ∪ (1, +∞ )

15. 解 ( 1 ) 因 为 点 B 在 以 PA 为 直 径 的 圆 周 上 , 所 以 ∠ABP = 90 , 所 以 :

cos α =

PB 3 4 4 = ,sin α = .所以 tan α = ,………………………………………2 分 PA 5 5 3

cos ∠CPB = cos(α β ) =

PB 3 7 2 2 = = , sin(α β ) = , PC 15 2 10 10 7

所以 tan(α β ) =

1 ,………………………………………………………………4 分 7 tan α tan(α β ) tan β = tan[α (α β )] = = 1 ,…………………………6 分 1 + tan α tan(α β )

又 β ∈ (0,

π

2

) ,所以 β =

π

4

.………………………………………………………8 分
2

(2) AC PC = ( PC PA) PC = PC PA PC …………………………11 分

15 2 2 15 2 2 75 =( ) 5× × = ……………………………………………14 分 7 7 2 49
1 16. ⑴解:取 CE 中点 P, 连结 FP,BP,因为 F 为 CD 的中点,所以 FP//DE,且 FP = DE, …2 分 2 1 又 AB//DE,且 AB = DE,所以 AB//FP,且 AB= FP, 2 所以四边形 ABPF 为平行四边形,所以 AF//BP. ……………4 分 又因为 AF平面 BCE,BP平面 BCE, 所以 AF//平面 BCE. …7 分 / (该逻辑段缺 1 个条件扣 1 分) ⑵因为△ACD 为正三角形,所以 AF⊥CD. 因为 AB⊥平面 ACD,DE//AB,所以 DE⊥平面 ACD, 又 AF平面 ACD,所以 DE⊥AF. …………………9 分 又 AF⊥CD,CD∩DE = D,所以 AF⊥平面 CDE. 又 BP//AF,所以 BP⊥平面 CDE. ……………………………12 分 又因为 BP平面 BCE,
B P A D E

C

F

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所以平面 BCE⊥平面 CDE. ………………………………………14 分 17 . 解 : 1 ) 当 0 ≤ n ≤ 24 且 n ∈ N 时 , f ( n) = 36 , 当 25 ≤ n ≤ 36 且 n ∈ N 时 , (


f (n) = 36 3

n 24 12

所以 S36 = [ f (1) + f (2) + f (3) + + f (24) ] + … + [ f ( 25) + f ( 26) + + f (36)]

12 3 12 312 1 = 36 × 24 + 36 × 12 3 1

(

) = 864 + 792 = 1656


;…………………………2 分

另一方面,已经离开的游客总人数是:

T12 = g (25) + g (26) + + g (36) = 12 × 5 +

12 × 11 × 5 = 390 ;………………………4 分 2

所以 S = S36 T12 = 1656 390 = 1266 (百人) 故当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有游客 1266 百人. ……………6 分 (2)当 f ( n) g ( n) ≥ 0 时园内游客人数递增;当 f ( n) g ( n) < 0 时园内游客人数递减. (i)当 1 ≤ n ≤ 24 时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间;………………………8 分 (ii)当 25 ≤ n ≤ 36 时,令 5n 120 ≤ 36 ,得出 n ≤ 31 , 即当 25 ≤ n ≤ 31 时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;……………10 分 (iii)当 32 ≤ n ≤ 36 时, 36 3
n 24 12

> 5n 120 ,进入园区人数多于离开人数,

总人数越来越多;……………………………………………………………………………12 分 (Ⅳ)当 37 ≤ n ≤ 72 时, 令 3n + 216 = 5n 120 时, n = 42 , 即在下午 4 点整时,园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多,故园区内人数最多的时间是下午 4 点整. ……………………14 分 答: (1)当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有游客 1266 百人; (2)在下午 4 点整时,园区人数达到最多. 18.解(1)将方程 x 2 + y 2 2ax 2(8 a ) y + 4a + 12 = 0 化为

x 2 + y 2 16 y + 12 + (2 x + 2 y + 4)a = 0 ,

x 2 + y 2 16 y + 12 = 0 x = 4 x = 6 令 得 或 ,所以圆 C2 过定点 (4, 2) 和 y = 2 y = 4 2 x + 2 y + 4 = 0 (6, 4) ,……………4 分 x = 4 将 代入 x 2 + y 2 10 x 6 y + 32 = 0 ,左边= 16 + 4 40 12 + 32 = 0 = 右边,故点 y=2 (4, 2) 在圆 C1 上, 同理可得点 (6, 4) 也在圆 C1 上, 所以圆 C1 , C2 相交于两个定点 (4, 2) 和 圆 (6, 4) ;……………6 分
(2)设 P ( x0 , y0 ) ,则 PT1 =

x0 2 + y0 2 10 x0 6 y0 + 32 ,…………………………8 分

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PT2 = x0 2 + y0 2 2ax0 2(8 a) y0 + 4a + 12 , …………………………………10 分
PT1 = PT2 即 10 x0 6 y0 + 32 = 2ax0 2(8 a ) y0 + 4a + 12 ,整理得 ( x0 y0 2)(a 5) = 0 (*)………………………………………………12 分
x0 y0 2 = 0 存在无穷多个圆 C2 ,满足 PT1 = PT2 的充要条件为 x 2 有解,解此方程组得 0 + y0 2 = 1 4 x0 = 2 或 y0 = 0 6 x0 = 5 ,………………………………………………………………………………14 分 y = 4 0 5 故存在点 P,使无穷多个圆 C2 ,满足 PT1 = PT2 ,点 P 的坐标为 6 4 (2, 0)或( , ) .………………16 分 5 5
19. 解 ⑴由题意 an = 2 + 4 ,随着 n 的增大而减小,所以{an}中的最大项为 a1 = 4.…4 分 3n – 1

4 2 + 3n – 1 + p (2 + p)(3n – 1) + 4 (2 + p)3n + (2 – p) ⑵bn = = = ,若{bn}为等比数列, 4 4 4 n 3 –1 则 bn+1 – bnbn+2= 0(n∈N )所以 [(2 + p)3n+1 + ( 2 – p)]2 – [{2 + p)3n + (2 – p)][(2 + p)3n+2 + (2 – p)] = 0(n∈N), 化简得(4 – p2)(23n+1 – 3n+2 – 3n ) = 0 即– (4 – p2)3n4 = 0,解得 p = ±2. ………………………7 分 反之,当 p = 2 时,bn = 3n,{bn}是等比数列;当 p = – 2 时,bn = 1,{bn}也是等比数列.所以,当且仅当 p = ±2 时{bn}为等比数列. ………………………………………………………………10 分 ⑶因为 am = 2 + 数 列
2

am
n

4 4 4 , an = 2 + n , ap = 2 + p ,若存在三项 am , an , a p ,使 3 1 3 1 3 1 , an , a p 是 等 差 数 列 , 则 2an = am + a p , 所 以
m

4 4 4 )=2+ m +2 + p ,……………12 分 3 1 3 1 3 1 化简得 3n (2 × 3 p n 3 p m 1) = 1 + 3 p m 2 × 3n m (*) ,因为 m, n, p ∈ N* , m < n < p ,所 2(2 +


p m ≥ p n +1 , ≥3
n m +1

p m ≥ n m + 1 , 所 以 3 p m ≥ 3 p n +1 = 3 × 3 p n

,

3

p m

= 3× 3

nm

, (*)的

左边 ≤ 3n (2 × 3 p n 3 × 3 p n 1) = 3n ( 3 p n 1) < 0 , 右边 ≥ 1 + 3 × 3
n m

2 × 3n m = 1 + 3n m > 0 ,所以(*)式不可能成立,

故数列{an}中不存在三项 am , an , a p ,使数列 am , an , a p 是等差数列. ……………16 分

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20.解:(1)令 a = t , x > 0 ,因为 a > 1 ,所以 t > 1 ,所以关于 x 的方程 f ( x ) = m 有两个
x

不同的正数解等价于关于 t 的方程 t +

2 = m 有相异的且均大于 1 的两根,即 关于 t 的方程 t

t 2 mt + 2 = 0 有相异的且均大于 1 的两根,……………………………………………………
2分

= m 2 8 > 0, m 所以 > 1, ,…………………………………………………………………4 分 2 12 m + 2 > 0
解得 2 2 < m < 3 ,故实数 m 的取值范围为区间 (2 2,3) .……………………………6 分 (2) g ( x) = a| x| + 2a x , x ∈ [ 2, +∞) ①当 a > 1 时, a) x ≥ 0 时, a x ≥ 1 , g ( x) = 3a x ,所以 g ( x) ∈ [3, +∞ ) , b) 2 ≤ x < 0 时,

1 ≤ a x < 1 g ( x) = a x + 2a x ,所以 2 a
x

g '( x) = a ln a + 2a ln a =

x

2(ax ) 1
2

ax

ln a ……8 分

ⅰ当

1 1 > 即 1 < a < 4 2 时,对 x ∈ (2, 0) , g '( x) > 0 ,所以 g ( x) 在 [2,0) 上递增, 2 a 2 2 2 ,3) ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 a 2 + 2 与 a 有关,不符合……10 2 a a

所以 g ( x) ∈ [a 2 + 分 ⅱ当

1 1 1 1 ≤ 即 a ≥ 4 2 时 , 由 g '( x) = 0 得 x = log a 2 , 且 当 2 < x < log a 2 时 , 2 a 2 2 2

1 1 g '( x) < 0 ,当 log a 2 < x < 0 时, g '( x) > 0 ,所以 g ( x) 在 [2, log a 2] 上递减,在 2 2 1 1 [ log a 2,0] 上递增,所以 g ( x) min = g log a 2 = 2 2 ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 2 2 2 2 与 a 无关,符合要求.………12 分
②当 0 < a < 1 时, a) x ≥ 0 时, 0 < a x ≤ 1 , g ( x) = 3a x ,所以 g ( x) ∈ (0,3]

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b) 2 ≤ x < 0 时, 1 < a x ≤

1 , g ( x) = a x + 2a x , a2
x

所以 g '( x) = a ln a + 2a ln a = 所以 g ( x) ∈ (3, a 2 + 分

x

2(ax ) 1
2

ax

ln a < 0 , g ( x) 在 [2,0) 上递减,

2 2 ] ,综合 a) b) g ( x) 有最大值为 a 2 + 2 与 a 有关,不符合………14 2 a a

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ≥ 4 2 .………………………………………………16 分

数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 l0 分,共计 20 分.请在答 .... . 题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ...... A.选修 4 – 1 几何证明选讲 证明: 因为 EA 是圆的切线,AC 为过切点 A 的弦,所以
A

∠CAE = ∠CBA. B D C 又因为 AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE 所以,△EAD 是等腰三角形,所以 EA = ED. ……………………………………………………6 分 又 EA2 = ECEB, 所以 ED2 = EBEC. ……………………………………………………………………………4 分 B.矩阵与变换: 解:由题意得 A 1 = 2
2 3 1 2 ,…………………………………………………5分 1 1 9 4 1 = 2 2 3 1 1 5 1 ………………………………………10分 1

E

3 ∵ AX = B ,∴ X = A 1B = 2 2

C.选修 4 – 4 参数方程与极坐标 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1 与ρ = 2cos(θ + 长. 解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得
2 2 2 2 x + y = 1 与 x + y – x + 3y = 0……………………………………………………6 分 2 2 x + y = 1 1 3 2 解方程组 得两交点坐标(1,0),(– , – ) 2 2 2 x + y – x + 3y = 0

π ),它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的 3

所以,线段 AB 的长为

1 32 (1 + )2 + (0 + )= 2 2

3

即 AB = 3.………………………………………………………………………………10 分 D.选修 4 – 5 不等式证明选讲

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设 a,b,c 为正实数,求证:a3 + b3 + c3 +

1 ≥2 3. abc
3

证明 因为 a,b,c 为正实数,所以 a3 + b3 + c3≥3 a3b3c3 = 3abc>0…………………………5 分 又 3abc + 1 ≥2 abc 1 3abc = 2 3. abc 1 ≥2 3.…………………………………………………………………10 分 abc

所以 a3 + b3 + c3 +

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 ....... 应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 22. 解 如 图 , 以 A 为 坐 标 原 点 ,AB,AD,AP 分 别 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a). 11a 11a → → 因为 M 是 PC 中点,所以 M 点的坐标为( , , ), 所以AM = ( , , ), = (–1,1,0), BD 222 222 → BP = ( – 1,0,a). → → → → → ⑴因为AM⊥平面 PBD,所以AMBD = AM BP = 0.即 – 1 a2 + = 0,所以 a = 1,即 PA = 1. ………………………………………4 分 2 2
B x A D C z P

M y

111 → → ⑵由AD = (0,1,0), M = ( , , ),可求得平面 AMD 的一个法向量 n = ( – 1,0,1). 222 → n CP → → 又 CP = ( – 1,–1,1).所以 cos<n, CP > = = → CP | |n|| 所以,PC 与平面 AMD 所成角的正弦值为 23.解(1) :证明: (ⅰ)当 n = 1 时,因为 a1 = 0 , 2 6 = . 3 2 3

6 .……………………………10 分 3

3 + 3(1) = 0 ,所以等式正确. 4

3k + 3(1) k (ⅱ)假设 n = k 时,等式正确,即 ak = (k ∈ N* , k ≥ 1) , 4
那 么 ,

n = k +1



,





ak +1 = 3k ak = 3k

3k + 3( 1) k 4 3k 3k 3(1) k 3k +1 + 3(1) k +1 , = = 4 4 4

这说明 n = k + 1 时等式仍正确.
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据(ⅰ)(ⅱ)可知, an = ,

3n + 3(1)n (n ∈ N* , n ≥ 1) 正确. ……………………………5 分 4

(2)易知 P =

1 3n + 3(1) n 1 3(1) n = [1 + ], 4 3n 4 3n

①当 n 为奇数( n ≥ 3 )时, P =

1 3 1 3 2 (1 n ) ,因为 3n ≥ 27 ,所以 P ≥ (1 ) = ,又 4 3 4 27 9 1 3 1 2 1 P = (1 n ) < ,所以 ≤ P < ; 4 3 4 9 4 1 3 1 3 1 n ②当 n 为偶数( n ≥ 2 )时, P = (1 + n ) ,因为 3 ≥ 9 ,所以 P ≤ (1 + ) = ,又 4 3 4 9 3 1 3 1 1 1 2 1 P = (1 + n ) > ,所以 < P ≤ .综上所述, ≤ P ≤ .……………………………10 4 3 4 4 3 9 3



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