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3.1 导数的概念及其运算练习题


§3.1 导数的概念及其运算
一、选择题 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(1)= ( ) B.-2 D.2

A.-1 C.1

解析:f′(x)=2f′(1)+2x,令 x=1,得 f′(1)=2f′(1)+2, ∴f′(1)=-2. 答案:B 2.设 曲线 y ? ( A.2 ) B. ?2 C. ?
1 2 x ?1 在点( 3,2 )处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂 直,则 a ? x ?1 1 2

D.

答案 B 3.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e2 B.e C. ln 2 2 ). D.ln 2

解析 f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=ln x+1,由 f′(x0)=2,
即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 答案 B 4. 设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切 线的斜率为( ) 1 1 A.- B.0 C. D.5 5 5 解析 因为 f(x)是 R 上的可导偶函数, 所以 f(x)的图象关于 y 轴对称, 所以 f(x) 在 x=0 处取得极值,即 f′(0)=0,又 f(x)的周期为 5,所以 f′(5)=0,即曲 线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 0,选 B. 答案 B 5.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),

n∈N,则 f2 013(x)等于(
A.sin x

). C.cos x D.-cos x

B.-sin x

解析 ∵f0(x)=sin x,f1(x)=cos x,

f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,…
∴fn(x)=fn+4(x),故 f2 012(x)=f0(x)=sin x, ∴f2 013(x)=f′2 012(x)=cos x. 答案 C 6. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, f′(1) 则 =( A.-e ). B.-1 C.1 D.e

1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ ,

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案 B 7. 等比数列{an}中,1=2,8=4, a a 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), f′(0) 则 =( A.2
6

). B.2
9

C.2

12

D.2

15

解析 函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212, 而 f′(0)=a1·a2·…·a8=212,故选 C. 答案 C 二、填空题 ?π ? ?π ? 8.已知函数 f(x)=f′? ?sin x+cos x,则 f? ?=________. ?2? ?4? ?π ? 解析 由已知:f′(x)=f′? ?cos x-sin x. ?2? ?π ? ?π ? 则 f′? ?=-1,因此 f(x)=-sin x+cos x,f? ?=0. ?2? ?4? 答案 0 9.函数 f ( x) ? x 3 ? ax( x ? R) 在 x ? 1 处有极值, 则曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方 程是 ___ __. 解析 因为函数 f ( x) ? x 3 ? ax( x ? R) 在 x ? 1 处有极值,则 f′(1)=3+a=0,a=-3.

所求切线的斜率为-3,所以切线方程为 y=-3x. 答案 3x+y=0 10.若过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为 ________.

y0 ex0 解析 y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则 =ex0,即 =ex0,∴x0=1.因此切 x0 x0
点的坐标为(1,e),切线的斜率为 e. 答案 (1,e) e

11.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在

x=1 处的导数 f′(1)=________.
解析 ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ∴x=1 时,f(1)=2f(1)-1+8-8, ∴f(1)=1,即点(1,1),在曲线 y=f(x)上. 又∵f′(x)=-2f′(2-x)-2x+8,

x=1 时,f′(1)=-2f′(1)-2+8,
∴f′(1)=2. 答案 2 12.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x) ?π ? ?π ? ?π ? =fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则 f1? ?+f2? ?+…+f2 012? ?=________. ?2? ?2? ?2? 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,

f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,
以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x) 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ∴f1? ?+f2? ?+…+f2012? ?=f1? ?+f2? ?+f3? ?+f4? ?=0. ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 答案:0 三、解答题 13.求下列函数的导数.

ex+1 (1)y=x sin x;(2)y= x ; e -1
2

(3)y=log2(2x2+3x+1). 解析:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (2)法一:y′= ex? = ? ex+1? ′? ex ex-1? -? ex+1? ? ex-1? 2 ? ex-1? ′

ex-1? -? ex+1? ? ex-1? 2
2

-2ex = x ? e -1?

. ex-1+2 2 =1+ x , x e -1 e -1 -2ex ex-1?
2

法二:∵y=

? 2 ? ∴y′=1′+? x ?′,即 y′= ? ?e -1?

.

(3)法一:设 y=log2u,u=2x2+3x+1, 则 y′x=y′u·u′x= 1 (4x+3)= u·ln 2 ? 4x+3 2x +3x+1?
2

ln 2

.

法二:y′=[log2(2x2+3x+1)]′ 1 = 2 ? 2x +3x+1? 4x+3 = 2 ? 2x +3x+1? ln 2 ln 2 ·(2x2+3x+1)′ .

14.求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n,(n∈N*); (2)y=ln(x+ 1+x2); (3)y=2xsin(2x+5). 解析 (1)y′=n(2x+1)n-1·(2x+1)′=2n(2x+1)n-1. (2)y′= 2x ? ? 1 1 ·?1+ . 2?= 2 x+ 1+x ? 2 1+x ? 1+x2

(3)y′=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5). 15.设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数, 已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程;

(2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对 任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3,由于曲线 y=f(x)与 y=g(x) 在点(2,0)处有相同的切线,故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此解 得 a=-2,b=5; 切线 l 的方程为:x-y-2=0. (2)由(1)得 f(x)+g(x)=x3-3x2+2x,依题意得:方程 x(x2-3x+2-m)=0 有 三个互不相等的根 0,x1,x2,故 x1,x2 是方程 x2-3x+2-m=0 的两个相异实根, 1 所以 Δ =9-4(2-m)>0? m>- ; 4 又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,特别地,取 x=x1 时, f(x1)+g(x1)-mx1<-m 成立,即 0<-m? m<0,由韦达定理知:x1+x2=3>0,x1x2 =2-m>0,故 0<x1<x2,对任意的 x∈[x1,x2],有 x-x2≤0,x-x1≥0,x>0,则 f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0; 又 f(x1)+g(x1)-mx1=0, 所以函数在 x∈[x1,x2]上的最大值为 0,于是当 m<0 时对任意的 x∈[x1,x2], ? 1 ? f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立.综上:m 的取值范围是?- ,0?. ? 4 ? 16.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y -12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三 角形面积为定值,并求此定值. 7 解析 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 4

b x

?2a-b=1, ? 2 2 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,于是? 2 x b 7 ?a+4=4, ?
2

?a=1, 解得? ?b=3. (2)证明

3 故 f(x)=x- .

x

设 P(x0,y0)为曲线上任一点,

3? 3 ? 由 f′(x)=1+ 2知, 曲线在点 P(x0, 0)处的切线方程为 y-y0=?1+ 2?(x-x0), y x0? x ?

3? ? 3? ? 即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0). x0? ? x0? ? 6? 6 ? 令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为?0,- ?. x0? x0 ? 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 1? 6 ? ?- ?|2x0|=6. 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积 为定值,此定值为 6.



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