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三角函数所有公式及性质


弧度公式: 弧度公式: α =

l . r
nπr 2 1 2 1 = α r = lr . 180° 2 2

扇形面积公式: 扇形面积公式: S =

弧度与角度之间的转换: 弧度与角度之间的转换: 1° =

180 π , 1° = . 180° π

π 四个象限角分别用弧度制表示的集合: 四个象限角分别用弧度制表示的集合: α 2k π < α < 2k π + ( k ∈ Z ) , 分别用弧度制表示的集合 2 3π π ( k ∈ Z ) , α 2k π + < α < 2k π + π ( k ∈ Z ) , α 2k π + π < α < 2k π + 2 2 3π < α < 2k π + 2π ( k ∈ Z ) . α 2k π + 2 y x y x r r 三角比:sin α = ,cos α = ,tan α = ( x ≠ 0 ) ,cot α = ( y ≠ 0 ) ,sec α = ( x ≠ 0 ) ,csc α = ( y ≠ 0 ) . 三角比: x y x y r r
同角三角比的关系: 同角三角比的关系: ①倒数关系: sin α csc α = 1 , cos α sec α = 1 , tan α cot α = 1 . 倒数关系: ②商数关系: tan α = 商数关系:
sin α

cos α

sin α cos α ( cos α ≠ 0 ) , cot α = ( sin α ≠ 0 ) . cos α sin α

tan α

1

cot α

③平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1 , tan 2 α + 1 = sec 2 α , 1 + cot 2 α = csc 2 α . 平方关系: 诱导公式: 诱导公式:

sec α

csc α

① sin ( 2k π + α ) = sin α , cos ( 2k π + α ) = cos α , tan ( 2k π + α ) = tan α , cot ( 2k π + α ) = cot α . ② sin ( α ) = sin α , cos ( α ) = cos α , tan ( α ) = tan α , cot ( α ) = cot α . ③ sin ( π + α ) = sin α , cos ( π + α ) = cos α , tan ( π + α ) = tan α , cot ( π + α ) = cot α . ④ sin ( π α ) = sin α , cos ( π α ) = cos α , tan ( π α ) = tan α , cot ( π α ) = cot α . ⑤ sin ( 2π α ) = sin α , cos ( 2π α ) = cos α , tan ( 2π α ) = tan α , cot ( 2π α ) = cot α .

π π π π ⑥ sin α = cos α , cos α = sin α , tan α = cot α , cot α = tan α . 2 2 2 2 π π π π ⑦ sin + α = cos α , cos + α = sin α , tan + α = cot α , cot + α = tan α . 2 2 2 2 3π 3π 3π 3π ⑧ sin α = cos α , cos α = sin α , tan α = cot α , cot α = tan α . 2 2 2 2 3π 3π 3π 3π ⑨ sin + α = cos α , cos + α = sin α , tan + α = cot α , cot + α = tan α . 2 2 2 2
两角和与差的余弦公式: cos (α + β ) = cos α cos β sin α sin β , cos (α β ) = cos α cos β + sin α sin β . 两角和与差的余弦公式: 两角和与差的正弦公式: 两角和与差的正弦公式: sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β , sin (α β ) = sin α cos β cos α sin β .

两角和与差的正切公式: 两角和与差的正切公式: tan (α + β ) =

tan α + tan β tan α tan β , tan (α β ) = . 1 tan α tan β 1 + tan α tan β
a a + b2
2

辅助角公式: 辅助角公式: a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin ( α + β ) .其中 β (通常取 0 ≤ β < 2π )由 cos β =



sin β =

b a +b
2 2

, tan β =

b 确定. 确定. a 2 tan α . 1 tan 2 α

二倍角公式: 二倍角公式: sin 2α = 2sin α cos α , cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2sin 2 α , tan 2α = 半角公式: 半角公式: sin

α
2



1 cos α α 1 + cos α α 1 cos α sin α 1 cos α , cos = ± , tan = ± = = . 2 2 2 2 1 + cos α 1 + cos α sin α 2 tan 1 + tan

α
2 , cos α =
2

万能置换公式: 万能置换公式: sin α =

1 tan 2 1 + tan
2

α α
2 , tan α = 2

2 tan 1 tan

α
2
2

α

α
2



2

降幂升角公式: 降幂升角公式: cos 2 α =

1 + cos 2α 1 cos 2α , sin 2 α = . 2 2

三倍角公式: sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α , cos 3α = 4cos 3 α 3cos α . 三倍角公式: 三角形面积公式: 三角形面积公式: S△ ABC = 正弦定理(扩展) : 正弦定理(扩展)

1 1 1 bc sin A = ac sin B = ab sin C . 2 2 2

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C
b2 + c 2 a 2 , 2bc

余弦定理: 余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A , b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B , c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C 或 cos A =

cos B =

a 2 + c 2 b2 b2 + a 2 c 2 , cos A = . 2ac 2ab

的性质: 函数 y = sin x 、 y = cos x 和 y = tan x 的性质:
y = sin x

定义域: R , 定义域: 值域: 值域: [ 1,1] ,

y
1

y = sin x

奇偶性:奇函数, 奇偶性:奇函数,
π



π
1

O



x

π π 单调性: 单调性: 2k π , 2k π + ( k ∈ Z ) ,上↗; 2 2 3π π 2k π + 2 , 2k π + 2 ( k ∈ Z ) 上↘,
最小正周期: 2π . 最小正周期: π

y = cos x

定义域: 定义域: R ,

值域: 值域: [ 1,1] ,
y 1

奇偶性:偶函数, 奇偶性:偶函数,
y = cos x



π

O
1

π



x

单调性: 单调性: ( 2k π π, 2k π ) ( k ∈ Z ) 上↗;

( 2k π , 2k π + π ) ( k ∈ Z ) 上↘,
最小正周期: π 最小正周期: 2π .

y = tan x

y

π π 定义域: 定义域: k π , k π + ( k ∈ Z ) , 2 2
值域: 值域: R , 奇偶性:奇函数, 奇偶性:奇函数,



π 2

O

π 2

x

π π 单调性: k π , k π + ( k ∈ Z ) 上↗, 单调性: 2 2
最小正周期: 最小正周期: π .

的性质: 函数 y = A sin ( ω x + ) 的性质: 定义域: 定义域: R , 最小正周期: 最小正周期: T = 值域: 值域: [ A, A] ,



ω



相位移: 相位移:

π





的性质: 函数 y = arcsin x 、 y = arccos x 和 y = arctan x 的性质:
y = arcsin x

定义域: 定义域: [ 1,1] ,

π π 值域: , , 值域: 2 2
π 2

y

y = arcsin x
y=x

奇偶性:奇函数, 奇偶性:奇函数, 单调性: 单调性: [ 1,1] 上↗,

1

O

1

x

关系式: 关系式: sin ( arcsin x ) = x , x ∈ [ 1,1] ,



π 2

arcsin ( x ) = arcsin x ,
π π arcsin ( sin x ) = x , x ∈ , . 2 2

y = arccos x

定义域: 定义域: [ 1,1] , 值域: 值域: [ 0, π ] ,

y = arccos x

y
π

奇偶性:非奇非偶, 奇偶性:非奇非偶, 单调性: [ 1,1] 上↘, 单调性:

π 2

关系式: 关系式: sin ( arccos x ) = x , x ∈ [ 1,1] ,

1

O

1

arccos ( x ) = π arccos x ,
x

arccos ( cos x ) = x , x ∈ [ 0, π ] .
y = arctan x
π 2

定义域: 定义域: R ,

y

π π 值域: 值域: , , 2 2
单调性: 单调性: R 上↗,

O

x

关系式: 关系式: tan ( arctan x ) = x ,

y = arctan x



π 2

arctan ( x ) = arctan x ,

最简三角方程: 最简三角方程: 的解集是: 方程 sin x = a , a ≤ 1 的解集是: x x = 2k π + arcsin a或x = 2k π + π arcsin a ( k ∈ Z ) ,

{

}

{x

x = k π + ( 1) arcsin a ( k ∈ Z ) .
k

}

的解集是: 方程 cos x = a , a ≤ 1 的解集是: x x = 2k π ± arccos a ( k ∈ Z ) . 的解集是: 方程 tan x = a 的解集是: x x = k π + arctan a ( k ∈ Z ) .

{

}

{

}



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