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吉林省毓文中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

吉林毓文中学 2015-2016 学年度下学期 高二年级 期中考试 数学试卷(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1、已知复数 z ? A. ?2

2i , z 为 z 的共轭复数,则 z ? z 的值为( ) 1? i
B. 0 C. 2 D. 2

2.已知 向量 m ? (? ? 1,1,2), n ? (? ? 2,2,1), ,若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,则 ? = A.

??

?

?? ?

3 2

B. ?

3 2

C. ?2

D. -1 )

3.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

4. 某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 3 人参加社会公益活动, 若选出的 3 人中既有男生又有 女生,则不同的选法共有( A.90 种 ) C.35 种 D.30 种

B.60 种

? x 2 , x ? ? 0,1? , ? 5、设 f ( x) ? ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) ,则 ? , x ? ?1, e? ?x
A.

?

e

0

f ( x)dx 的值为(



4 3

B.

5 4

C.

6 5

D.

7 6

6. 有一段演绎推理是这样的: “若一条直线平行于一个平面,则此直线平行于这个平面内的所 有直线” .已知直线 b // 平面 ? , 直线 a ? 平面 ? , 则直线 b // 直线 a ” . 你认为这个推理 A.结论正确 B.大前提错误 C.小前提错误 D.推理形式错误 ( ) ( )

7.设 x, y , z 均为正实数,则三个数 A.都大于 2

x x y y z z ? , ? , ? z y x z x y
B.都小于 2

1

C.至多有一个小于 2 8.设 k 则 a1 A.-1 9.
?

D.至少有一个不小于 2

? ? (sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ...? a8 x8 ,
0

? a2 ? ...? a8 ? (
B.0

) C.1 ) C.63 D 64 D.256

1 2 3 4 5 C6 ? C6 ? C6 ? C6 ? C6 的值为(

A.61

B.62

10.将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配 方案有( ) A .30种 B .90种 C.180种 D.270种 11.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为 60°和 45°,则异面直线 B1C 和

C1D 所成角的余弦值为(

)

A.

6 4

B.

6 3

C.

2 6


D.

2 3


12

2 (x ? 2)9 ? a0 ? a x ? a x 1 ? ??? ? a x (a1 ? 3a3 ? 5a5 ? 7a7 ? 9a9 )2 ? (2a2 ? 4a4 ? 6a6 ? 8a8 )2 的值为( )



2

A.3

9

B.3

10

C.3

11

D.3

12

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中横线上) 13.

(2 x ?1)6 的展开式中含 x3 的项的系数为
(2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? i

. .

14. 复数 z ?

2

15.已知如图 1 所示的图形有面积关系

,用类比的思想写出如图 2 所示

的图形的体积关系

VP ? A1B1C1 VP ? ABC

? ___________

16 对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式: [ ]+[ ]+[ ]=3

[

]+[

]+[

]+[

]+[

]=10

[

]+[

]+[

]+[

]+[ ??

]+[

]+[

]=21

按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.17 题 10 分,其余每题 12 分,解答时应写出必要的文 字说明或演算步骤。)
2 17. (本小题满分 10 分)已知 m ? R, 复数 z ? (2 ? i)m ? m(1 ? i) ?(1 ? 2i) (其中 i 为虚数单

位). (Ⅰ)当实数 m 取何值时,复数 z 是纯虚数; (Ⅱ)若复数 z 在复平面上对应的点位于第四象限,求实数 m 的取值范围。

18.(本题 12 分)已知 (

3

x 2 ? 3x) n 展开式各项系数和比它的二项式系数 和大 992。
4

(1)求展开式中含有 x 的项;
3

(2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项。 19. (本题满分 12 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 A1 B1 , CD 的中 点. (1)求 CE (2)求直线 EC 与 AF 所成角的余弦值; (3)求二面角 E ? AF ? B 的余弦值. 20、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 2 , 其导函数为 f ?( x ) . (Ⅰ)求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)求直线 l 与 f ?( x ) 图象围成的图形 的面积. 21、 (本题满分 12 分)数列 ?an ? 中, a n ?
A A1 D1 E B1 C1

D

F B

C

1 ,前 n 项的和记为 S n . n(n ? 1)

(1)求 S1 , S 2 , S 3 的值,并猜想 S n 的表达式; (2)请用数学归纳法 证明你的猜想. .....

22 (本题满分 12 分) .如图,已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=A1A= 且

1 AB=2,点 E 是棱 AB 上一点, 2

AE ?? EB

(1)证明: D1E⊥A1D

(2) 若 二 面 角 D1 -EC-D 的 余 弦 值 为

6 , 求 CE 与 平 面 D1ED 所 成 的 角 . 3

4

高二数学试题答案(理) 一.选择题(每题 5 分) 1-5. DBBDA 6-10. BDBBB 11-12.AD 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中横线上)

16 13. -160 14。5 15。

2n +n

2

16 【 解 析 】 由 题 意 可 得 3=1×3,10=2×5,21=3×7, 则 第 n 个 等 式 的 等 号 右 边 的 结 果 是 n×(2n+1)=2n2+n.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.17 题 10 分,其余每题 12 分,解答时应写出必要的文 字说明或演算步骤。)

17.解: z ? (2m2 ? m ?1) ? (m2 ? m ? 2) i ,?????????????????????2 分 由题意得 ?

? 2m 2 ? m ? 1 ? 0
2 ?m ?m?2 ? 0

,??????????????????????????.4 分

m??

1 2

?????????????????????????.5 分

? 2m 2 ? m ? 1 ? 0 由? ,????????????????????????.8 2 ?m ?m?2? 0
解得 ?2 ? m ? ?

1 , 2

?????????????????.10 分

0 1 n 18、解:令 x ? 1 得展开式各项系数和为 4 ,二项式系数为 Cn ? Cn ? ……? Cn ? 2n
n

由题意得: 4 ? 2 ? 992 ,解得 n ? 5 ?????????2 分
n n

(1) Tr ?1 ? C 3 ? x
r 5 r

10 ? r 3



10 ? r ?4?r ?2 3

2 ∴ T3 ? C5 ? 32 ? x 4 ? 90x 4 ??????4 分

5

(2)∵ n ? 5 ,∴展开式共 6 项,二项式系数最大项为第三、四项
13 13

2 3 ∴ T3 ? C5 ? 32 ? x 4 ? 90x 4 , T4 ? C5 ? 33 ? x 3 ? 270x 3 ??8 分

(3)展开式中第 k ? 1 项系数最大
k k k ?1 k ?1 ? 7 9 ?C5 ? 3 ? C5 ? 3 ? ? ? k ? ,,kk? 8N ∴? k k k ?1 k ?1 2 2 ? ?C5 ? 3 ? C5 ? 3

∴ k?4

∴ T5 ? C ? 3 ? x
4 5 4

14 3

= 405x

14 3

??????12 分

19解: (1)建立坐标系. A(2, 0, 0) , F (0,1, 0) , C (0, 2,0) ,
D1 A1 E B1 C1

D

F B

C

A

??? ? ??? ? E (2,1, 2) AF ? (?2,1,0) , CE ? (2, ?1, 2)
所以 EC ? 3

???? ? ??? ? cos ? AF ,CE ??

?4 ? 1 (?2) ? 1 ? 2 ? (?1) ? 2
2 2 2 2 2

??

5 , 3

故直线 EC 与 AF 所成角的余弦值为

5 .??5 分 3

(2)平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设 平 面 AEF 的 一 个 法 向 量 为 n2 ? ( x, y, z) , 因 为 AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所 以

?? 2 x ? y ? 0 , ? ? y ? 2z ? 0 令 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1

? n2 ? (1,2,?1) cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

?1 1? 4 ?1

?

6 6

。 。 。 。 。 。10 分

6

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角, 其余弦值为 20.【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 1

? kl ? f ?(1) ? 2

6 . ???12 分 6 又 f (1) ? 2

?l : y ? 2 ? 2( x ? 1) 即: y ? 2 x
(Ⅱ)由 ?
1

? y ? 2x

1 ? x1 ? ? , x2 ? 1 3 ? y ? 3x ? 1
2
?

? S ? ? 1 [2 x ? (3x 2 ? 1)]dx ? ? x3 ? x 2 ? x |1 1 ?
? 3 3

32 27

21.(1)∵ a n ? ∴猜想 S n ?

1 2 3 1 ,∴ S1 ? a1 ? , S 2 ? a1 ? a 2 ? S1 ? a 2 ? , S 3 ? S 2 ? a3 ? 2 3 4 n(n ? 1)

n . n ?1

(2)证明:①当 n ? 1 时, S1 ? a1 ?

1 ,猜想成立; 2 k ②假设当 n ? k 时,猜想成立,即: S k ? ; k ?1 ∴当 n ? k ? 1 时,

S k ?1 ? S k ? a k ?1 ?

?k ? 1? (k ? 1) 2 k ?1 k 1 ? ? ? ? k ? 1 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) k ? 2 ?k ? 1? ? 1
n 得证. n ?1

∴ n ? k ? 1 时猜想成立∴由①、②得猜想 S n ?

22.【解析】(1)以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴建立空 间 直 角 坐 标 系 , 则

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),A1(2,0,2),B1(2,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2).
因为

=λ ,所以 E

,

于是

=(-2,0,-2)

7

所以

·(-2,0,-2)=0,故 D1E⊥A1D.

(或用几何法先证出 A1D⊥平面 D1AE,然后证出 A1D⊥D1E) (2)因为 D1D⊥平面 ABCD,所以平面 DEC 的一个法向量为 n1=(0,0,2). 又

=(0,-4,2),

设平面 D1CE 的法向量为 n2=(x,y,z),则 n2·

=2x+y

=0,n2·

=-4y+2z=0,所以向

量 n2 的一个解是

.

因为二面角 D1-EC-D 的余弦值为 解得 λ =1. 因为 λ =1,所以 E(2,2,0),故

,则

,

=(0,0,2),

=(2,2,0),

=(2,-2,0),

因此

=0,

=0,故 CE⊥平面 D1ED.

即 CE 与平面 D1ED 所成角为 .

8


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