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指数函数、对数函数、幂函数


指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念

根式的概念 如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时 , 正数的 n 次方根是一个正 数,负数的 n 次方根是一个负数

符号表示

备注
n ? 1且n ? N ?

n

a

零的 n 次方根 是零 负数没有偶次 方根

当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它 ? n a (a ? 0) 们互为相反数

(2) .两个重要公式
?a ? ① n an ? ? ?a(a ? 0) n 为偶数 ?| a |? ?? a(a ? 0) ? ?
n 为奇数



② (n a ) n ? a (注意 a 必须使 n a 有意义) 。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂: a n ? n am (a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1) ; ②正数的负分数指数幂: a
? m n

m

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.

注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式 的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 y=ax 图象 a>1 0<a<1

定 义 R 域 值域 性质 (0,+ ? ) (1)过定点(0,1) (2)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (2) 当 x>0 时,0<y<1; x<0 时, y>1

(3)在(- ? ,+ ? )上是 (3)在(- ? ,+ ? )上是 增函数 减函数

注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx 的图象,如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系?

提示:在图中作直线 x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各 自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是 右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果 a x ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作
x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。

(2)几种常见对数 对数形式 一般对数 特点 底 数 为
a

记法
loga N

a ? 0, 且a ? 1

常用对数 自然对数

底数为 10 底数为 e

lg N

ln N

2、对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 ( a ? 0, 且a ? 1 ) : ① loga1 ? 0 , ② loga a ? 1 , ③ alog ? N ,
a N

④ loga a ? N 。 (2)对数的重要公式:

N

①换底公式: logb N ? ② log a b ?
1 。 logb a

log a N (a, b均为大于零且不等于1, N ? 0) ; log ab

(3)对数的运算法则: 如果 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0 那么 ① loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ② log a
M ? log a M ? log a N ; N

③ loga M n ? n loga M (n ? R) ; ④ log a b n ?
m

n log a b 。 m

3、对数函数的图象与性质
a ?1

0 ? a ?1

图 象

性 (1)定义域:(0,+ ? ) 质 (2)值域:R (3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0) (4)当 0 ? x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为增函数 (4)当 x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为减函数

注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系

提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们 相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。 (三)幂函数 1、幂函数的定义 形如 y=xα (a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的 自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注: 在上图第一象限中如何确定 y=x3, y=x2, y=x, y ? x 2 , y=x-1 方法: 可画出 x=x0;

1

当 x0>1 时, 按交点的高低, 从高到低依次为 y=x3, y=x2, y=x,y ? x 2 , y=x-1; 当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x-1, y ? x 2 ,y=x, y=x2,y=x3 。 3、幂函数的性质 y=x 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇 增 y=x2 R [0, ?? ) 偶 y=x3 R R 奇
y?x
1 2 1

1

y=x-1

[0, ?? ) ?x | x ? R且x ? 0? [0, ?? ) ? y | y ? R且y ? 0? 非奇非偶 增 奇 x∈(0,+ ? )时, 减; x∈(- ? ,0)时, 减

x∈[0,?? ) 时, 增 增; x∈ (??, 0] 时, 减

定点

(1,1)

三:例题诠释,举一反三 知识点 1:指数幂的化简与求值 例 1.(2007 育才 A)
? ? 3 ? 4 [(3 ) 3 (5 ) 0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.06250.25 9 (1)计算: 8 ; 2 2 1 1

a ? 8a b

4 3

1 3

(2)化简: 4b ? 2 ab ? a
3

2 3

2 3

? (a

?

2 3

23 b a ? 3 a2 ? )? 5 a a ?3 a

变式: (2007 执信 A)化简下列各式(其中各字母均为正数):
(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
2 ? 1 1 1

(1)

6

a ? b5

;

2 1 1 ? 5 13 ?2 ?3 2 3 2 ?1 (2) 6 a ? b ? (?3a b ) ? (4a ? b ) .

1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 6 3 (3)

知识点 2:指数函数的图象及应用
a b 例 2.(2009 广附 A)已知实数 a、 b 满足等式 ( 2 ) ? ( 3 ) , 下列五个关系式:

1

1

?①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立 的关系式有 A.1 个 个? 变式: (2010 华附 A)若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | (a ? 0 且 a ? 1) 的图 象有两个公共点,则 a 的取值范围是_______. 知识点 3:指数函数的性质 例 3.(2010 省实 B)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的 取值范围.
ex a 变式: (2010 东莞 B)设 a>0,f(x)= a ? x 是 R 上的偶函数.? e

( ? B.2 个

) ? C.3 个 ? D.4

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? 2

(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.? 知识点 4:对数式的化简与求值 例 4.(2010 云浮 A)计算: (1) log (2 ? 3 )
2? 3

(2)2(lg
2 49

2

)2+lg
3
8

2

·lg5+

(lg 2 )2 ? lg 2 ? 1 ;?

(3) 1 lg 32 - 4 lg

+lg

245 .??

变式: (2010 惠州 A)化简求值.? (1)log2
7 48

+log212- 1 log242-1;?
2

(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;? (3)(log32+log92)·(log43+log83).? 知识点 5:对数函数的性质 例 5.(2011 深圳 A)对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a) ? log a (a ? ); ③a
1? a

1 a

② log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) ; ④a
1? a

1 a

?a

1?

1 a

;

?a

1?

1 a

;

其中成立的是( )

(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④ 变式: (2011 韶关 A)已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 的大小关系是 A.loga C. log
a

1 1 , log a b, log b b b



) B. log D.
1 1 ? log b b b 1 1 log b ? log a ? log a b b b
a

1 1 ? log a b ? log b b b

b ? log a

b ? log b

1 1 ? log a b b

例 6.(2010 广州 B)已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任 意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立,试求 a 的取值范围.? 变式: (2010 广雅 B)已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,

? 1-

3

]上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.?

知识点 6:幂函数的图象及应用 例 7.(2009 佛山 B)已知点 (
1? ? 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在 4? ?

幂函数 g ( x) 的图象上.问当 x 为何值时有: (1)
f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .

f ( x) ? g ( x) ; (2)

变式: (2009 揭阳 B)已知幂函数 f(x)=x m ?2m?3 (m∈Z)为偶函数,且
2

在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)求函数 f(x);?(2)讨论 F (x)=a
f(x) ? b 的奇偶性.? xf(x)

四:方向预测、胜利在望 1. (A)函数 f ( x) ? lg
1? x 的定义域为( x?4

) D.(-∞,

A.(1,4) B.[1,4) C.(-∞,1)∪(4,+∞) 1]∪(4,+∞) 2.(A)以下四个数中的最大者是( )

(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2 3(B)设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之 差为 , 则 a=(
1 2

)

(A) 2 (B)2 (C)2 2 (D)4 4.(A)已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设
6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( ) 5 2 2 (A)a ? b ? c (B)b ? a ? c (C)c ? b ? a (D)c ? a ? b x ?1 ?2e , x ? 2, 5.(B)设 f(x)= ? 则不等式 f(x)>2 的解集为( ) ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,

(A)(1,2) ? (3,+∞) (B)( 10 ,+∞) (C)(1,2) ? ( 10 ,+∞) (D)(1,2) 6. (A)设 P ? log2 3 , Q ? log3 2 , R ? log2 (log3 2) ,则( ) A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. Q ? R ? P D. R ? P ? Q

7.(A)已知 log1 b ? log1 a ? log1 c ,则(
2 2 2

)

A. 2 b ? 2 a ? 2 c B. 2 a ? 2 b ? 2 c C. 2 c ? 2b ? 2 a D. 2 c ? 2 a ? 2 b 8. (B) 下列函数中既是奇函数, 又是区间 ??1,1? 上单调递减的是 ( (A) f ( x) ? sin x (B) f ( x) ? ? x ?1
1 2? x (D) f ( x) ? ln 2 2? x 9.(A)函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是: ( )



(C) f ( x) ? (a x ? a ? x )
2

A [1, ??) B (2 C [2 D (2 3 , ??) 3 ,1] 3 ,1] 10.(A)已知函数 y ? log1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标
4

为 2,则 k ( )
1 1 D. 2 2 x 11. (B) 若函数 f ( x) ? a ? b ? 1(a ? 0且a ? 1)的图象经过第二、 三、 四象限,

A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

则一定有( ) A. 0 ? a ? 1且b ? 0 B. a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 0 12.(B)若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值 的 3 倍,则 a=( ) A.
2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

13.(A)已知 0<x<y<a<1,则有( ) (A) loga ( xy) ? 0 (B) 0 ? loga ( xy) ? 1 (C) 1 ? loga ( xy) ? 2 (D) loga ( xy) ? 2 6 14.(A)已知 f ( x ) ? log2 x ,那么 f (8) 等于( ) (A)
4 3

(B)8

(C)18

(D)

1 2

15. (B)函数 y=lg|x| ( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间 (-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0,+∞)上单调递减 16.(A)函数 y ?
lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3

____________________________. 17. (B)函数 y ? a1?x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则

1 1 ? 的最小值为 m n



? e x , x ? 0. 18. (A)设 g ( x) ? ? ?lnx, x ? 0.
2

则 g ( g ( )) ? __________

1 2

19. (B)若函数 f(x) = 2 x ?2ax?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为 ___________. 20.(B)若函数 f ( x) ? log a ( x ? x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a= . 21.(B)已知函数 f ( x) ? ? log 2 奇偶性和单调性.
1 x 1? x ,求函数 f ( x) 的定义域,并讨论它的 1? x

参考答案: 三:例题诠释,举一反三 例 1. 解: (1) , (2) a 2
1 3 ? 5 ?1 5 ?1 ?3 5 1 5 ab 2 2 ? ? a 6 b ?3 ? (a 3 b变式:解: )?? a 2( ?b 1 ?? ? (2 ?? . ) 1, 3) 4 4 4 ab 4ab 2 (3)110

2 9

例 2. 解:B ?? 变式:解: (0, ) ; 例 3. 解: (Ⅰ) b ? 1 (Ⅱ)减函数。 (Ⅲ) k ? ?
1 3 1 2

变式:解: (1)a=1.(2)略 例 4. 解: (1)-1.?(2)1.?(3) 1 .?? 2
7 ?12 48 ? 42 ? 2 1 3 变式:解: (1) ? log ? log 2 ? ? . ?(2)2.?(3)
? 2

2 2

2

3 2

2

5 4

例 5. 解:选 D。 变式:解: C 例 6. 解:(1,3]∪[ 1 ,1)
3

变式:解:{a|2-2

3

≤a<2}

例 7. 解: (1)当 x ? 1 或 x ? ?1 时, (2)当 x ? ?1 时,
f ( x) ? g ( x) ;

f ( x) ? g ( x) ;

(3)当 ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 时, 变式:解: (1)f(x)=x-4. (2)F(x)=
a x
2

f ( x) ? g ( x) .

? bx 3 ,

∴F(-x)=

a x
2

+bx3.?

①当 a≠0,且 b≠0 时,F(x)为非奇非偶函数;? ②当 a=0,b≠0 时,F(x)为奇函数; ③当 a≠0,b=0 时,F(x)为偶函数;? ④当 a=0,b=0 时,F(x)既是奇函数,又是偶函数. 四:方向预测、胜利在望 1—5 ADDDC; 16. (-?, 3)?(3,4) 6—10 AADDA; 17. 4 18.
1 2

11—15 CADDB. 19.[-1,0] 20.
2 2

?x ? 0 1? x 21.[解]x 须满足 ? ,由 ? 0得 ? 1 ? x ? 1, ?1 ? x ? 0 1? x ? ?1 ? x 所以函数 f ( x) 的定义域为(-1,0)∪(0,1).

因为函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x, 有
f (? x) ? ? 1 1? x 1 1? x ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数. x 1? x x 1? x

研究 f ( x) 在 (0, 1) 内的单调性, 任取 x1、 x2∈ (0, 1) , 且设 x1<x2 , 则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由 1 ? x1 1 1 ? x2 1 ? log2 ? ? log2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 1 1 2 2 ? ) ? [log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f ( x) 是奇函数,所以 f ( x) 在(-1,0)内单调递减.


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