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函数的单调性和最值--教师版

函数的单调性与最值 最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;2.会运用函数图象理解 和研究函数的单调性. 知 识 梳 理 1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前 提 条 件 结 论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 ①对于任意 x∈I, 都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值 1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减. 单调区间只能用区间 表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能 用“或”联结. 1 2.两函数 f(x),g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), f?x? 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. 1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; 1 (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判断函数单 调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最 值. 【高二高三】 (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 【高二高三】 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. 考点一 确定函数的单调性或单调区间 【例 1-1】 【高考方向 1:具体函数】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ? 调性. 2x 在区间 (0 , 1) 上的单 x ?1 【教师点评】强调定义法的五个步骤:取值,作差,变形(化为乘除形式) ,定号,下结论。 变式 1: 【高考方向 2:含参函数】试讨论函数 f(x)= ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1 解 设-1<x1<x2<1, 1 ? ?x-1+1? ? ?=a?1+x-1?, f(x)=a? ? ? ? x-1 ? 1 ? ? 1 ? a(x2-x1) ? f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1? = , (x1-1)(x2-1) ? 1 ? ? 2 ? 由于-1<x1<x2<1, 所以 x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上递增. 规律方法 判断函数单调性的常用方法:(1)定义法和导数法,注意证明函数单调性只能 2 用定义法和导数法;(2)图象法,由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间 必须是函数定义域的子集: 二是图象不连续的单调区间要分开写, 用“和”或“, ” 连接, 不能用“∪”连接. 【例题 1-2】 【高考方向 3:复合函数】求函数 y= log1 ( x 2 ? 4 x ? 3) 的单调区间. 3 解 1 令 u=x2-4x+3,原函数可以看作 y=log3u 与 u=x2-4x+3 的复合函数. 令 u=x2-4x+3>0.则 x<1 或 x>3. 1 ∴函数 y=log3(x2-4x+3)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 又 u=x2-4x+3 的图象的对称轴为 x=2,且开口向上, 1 ∴u=x2-4x+3 在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.而函数 y=log3u 在(0, +∞)上是减函数, 1 ∴y=log3(x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),单调递增区间为(-∞,1). x 变式 2.【针对练习】求 y ? 1 ? 3 2 ?2 x 的减区间 2 x 解: , x ? 2 x 的增区间为 ?1,??? ,即 3 2 ?2 x 的减区间,即 y 的减区间, 【同增异减】 ,又因为定义域: 1? 3x 2 ?2 x ? 0 ? 0 ? x ? 2, 求交集,得 y 的减区间为 ?1,2? 。 考点二 利用函数的单调性求参数范围 【例 2-1】 【高考方向 1:二次函数】如果函数 f(x)=ax +2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递 2 增的,则实数 a 的取值范围是( ? 1 ? A.?-4,+∞? ? ? ? 1 ? B.?-4,+∞? ? ? ) ? 1 ? C.?-4,0? ? ? ? 1 ? D.?-4,0? ? ? 解析 (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调 递增; 1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=-a, 1 1 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以 a<0,且-a≥4,解得-4≤a<0. 3 1 综合上述得-4≤a≤

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