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新课标人教版高中数学必修5综合检测试题

人教版高中数学必修 5 综合检测试题
一 选做题: 1.如果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是( A.4 B. 4 3 C.9 ) D.18

2、数列 ?a n ?的通项为 a n = 2n ? 1 , n ? N * ,其前 n 项和为 S n ,则使 S n >48 成立的 n 的最小值为( A.7 B.8 C.9 D.10



3、若不等式 8 x ? 9 ? 7 和不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为( A. a =﹣8 b =﹣10 B. a =﹣4 b =﹣9 C. a =﹣1 b =9



D. a =﹣1 b =2

4、△ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.等腰三角形

) C.等边三角形

D.锐角三角形

5、在首项为 21,公比为 A.第三项

1 的等比数列中,最接近 1 的项是( 2
B.第四项 C.第五项

) D.第六项

6、在等比数列 ?a n ?中, a7 ? a11 =6, a 4 ? a14 =5,则 A.

2 3

B.

3 2

a 20 等于( a10 3 2 C. 或 2 3

) D.﹣

2 3 或﹣ 3 2

7、△ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? bc ,则 A 的度数等于( A. 120
?

) D. 30
?

B. 60

?

C. 150

?

8、数列 ?a n ?中, a1 =15, 3a n ?1 ? 3a n ? 2 ( n ? N ),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是(
*



A. a 21a 22

B. a 22 a 23

C. a 23 a 24

D. a 24 a 25

9、某厂去年的产值记为 1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10% ,则从今年起到第五年,这个 厂的总产值为( ) A. 1.1
4

B. 1.1

5

C. 10 ? (1.1 ? 1)
6

D. 11? (1.1 ? 1)
5

快乐的学习,快乐的考试!

1

10、已知钝角△ABC 的最长边为 2,其余两边的长为 a 、 b ,则集合 P ? ?( x, y) | x ? a, y ? b?所表示的平 面图形面积等于( ) A.2 B. ? ? 2 C.4 D. 4? ? 2

二 填空题: 11、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC=

12.函数 y ? lg(12 ? x ? x ) 的定义域是
2

13.数列 ? an ? 的前 n 项和 sn ? 2an ? 3(n ? N ) ,则 a5 ?
*

?2 x ? y ? 2 ? 14、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?

15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五人,使每人成等差数列,且使最大的三份之和的 小是 16、已知数列 ?a n ?、?bn ? 都是等差数列, a1 = ? 1,b1 ? ?4 ,用 S k 、 S k ' 分别表示数列 ?a n ?、?bn ? 的前 k 项和( k 是正整数),若 S k + S k ' =0,则 ak ? bk 的值为

1 是较小的两份之和,则最小 1 份的大 3

三 解答题 17、△ABC 中, a, b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 (1)求∠B 的大小;(2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值。

cos B b ?? cos C 2a ? c

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2

18、已知等差数列 ? an ? 的前四项和为 10,且 a2 , a3 , a7 成等比数列;(1)求通项公式 an ; (2)设

bn ? 2 an ,求数列 bn 的前 n 项和 sn

19、 已知: f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab , 当 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ;x ? (??,?3) ? (2,??) 时,
2

f ( x) ? 0
(1)求 y ? f ( x) 的解析式(2)c 为何值时, ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R.
2

20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1 (阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。(1)若设休闲区的长 A1 B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?
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3

D D1 C1

C
4米

A1 A
10 米

B1

4米

10 米 B

?x ? 0 ? 21、设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的格点(格点即横坐标和纵坐标 ? y ? ? nx ? 3n ?
均为整数的点)个数为 f (n)( n ? N ) ;(1)求 f (1), f (2) 的值及 f (n) 的表达式;
*

(2)记 Tn ?

f (n) ? f (n ? 1) ,试比较 Tn与Tn ?1 的大小;若对于一切的正整数 n ,总有 Tn ? m 成立, 2n
f (n)

求实数 m 的取值范围; (3)设 S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项的和,其中 bn ? 2 成立?若存在,求出正整数 n, t ;若不存在,说明理由 ,问是否存在正整数 n, t ,使

S n ? tbn 1 ? S n ?1 ? tbn ?1 16

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4

人教版高中数学必修 5 综合检测试题参考答案
一 选择题: 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B; 二 填空题: 11. 4 6 ; 12. x ?3 ? x ? 4 ;

?

?

13. 48 ;

14.18;

15.10;

16.5;

三 解答题: 17、⑴由

cos B b cos B sin B ?? ? ?? cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C

? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C) ? 2sin A cos B ? ? sin A

1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
⑵ 由a ? 4, S ? 5 3有S ?

1 1 3 ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2 3 ? b ? 61 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b 2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ?
? 4a1 ? 6d ? 10
2 ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d )

18、⑴由题意知 ?

5 ? ?a1 ? ?2 ?a1 ? ?? 或? 2 ?d ? 3 ? ?d ? 0
所以 an ? 3n ? 5或an ?

5 2 1 、公比为 8 的等比数列 4

⑵当 an ? 3n ? 5 时,数列 ?bn ? 是首项为

1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 所以 Sn ? 4 ? 1? 8 28
当 an ?
5 5 5 时, bn ? 2 2 所以 Sn ? 2 2 n 2

5 8n ? 1 综上,所以 S n ? 或 Sn ? 2 2 n 28

19、⑴由 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 知: ?3, 2 是是方程 ax ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根
2

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5

b ?8 ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? a ? ?3 ? a ?? ? ?b ? 5 ? ?3 ? 2 ? ? a ? ab ? a ?
? f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18
⑵由 a ? 0 ,知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象开口向下
2

要使 ?3x ? 5 x ? c ? 0 的解集为 R,只需 ? ? 0
2

即 25 ? 12c ? 0 ? c ? ∴当 c ?

25 12

25 2 时 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R. 12 4000 20、⑴由 A1 B1 ? x ,知 B1C1 ? x 4000 S ? ( x ? 20)( ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x
⑵ S ? 4160 ? 8 x ? 当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x? ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号 x

∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 21、⑴ f (1) ? 3, f (2) ? 6 当 x ? 1 时, y 取值为 1,2,3,…, 2n 共有 2n 个格点 当 x ? 2 时, y 取值为 1,2,3,…, n 共有 n 个格点 ∴ f (n) ? n ? 2n ? 3n

9(n ? 1)(n ? 2) Tn ?1 f (n) f (n ? 1) 9n(n ? 1) n?2 2n ?1 ⑵ Tn ? ? ? ? ? n n 9n(n ? 1) 2 2 Tn 2n n 2
当 n ? 1, 2 时, Tn ?1 ? Tn 当 n ? 3 时, n ? 2 ? 2n ? Tn ?1 ? Tn ∴ n ? 1 时, T1 ? 9

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6

n ? 2,3 时, T2 ? T3 ?

27 2

n ? 4 时, Tn ? T3
∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?

27 2 27 27 ? m∴m ? 2 2

要使 Tn ? m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 ⑶ bn ? 2
f (n)

? 23n ? 8 n ? Sn ?

8(1 ? 8n ) 8 n ? (8 ?1) 1? 8 7

将 S n 代入

S n ? tbn S n ?1 ? tbn ?1

?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? 1 7 ? 7 1 ? ,化简得, ? ? (﹡) 16 ?8 ? n 1 2 ? ? t ?8 ? 7 ?7 ?

8n 8 ? 1 8n 15 7 7 若 t ? 1时 n ? , 即 ? ,显然 n ? 1 8 1 2 7 7 ? 7 7
若 t ? 1时 ?

15 ?8 ? n 1 ?8 ? ? t ? 8 ? ? 0 (﹡)式化简为 ? ? t ? 8n ? 不可能成立 7 7 ?7 ? ?7 ?
S n ? tbn 1 ? 成立. S n ?1 ? tbn ?1 16

综上,存在正整数 n ? 1, t ? 1 使

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