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2015-2016学年高中数学 2.3.1平面向量基本定理学案 新人教A版必修4


第二章 2 .3

平面向量

平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理

1.准确理解平面向量的基本定理. 2.理解能成为向量基底的条件是不共线. 3.理解向量的夹角前提条件是共起点. 4.理解平面向量的正交分解.

基 础 梳 理 一、平面向量的基本定理 1.如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 λ 1、λ 2,使 a_=λ 1e1+λ 2e2. 2.我们把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习 1:已知 λ 1>0,λ 2>0,e1、e2 是一组基底,且 a=λ 1e1+λ 2e2,则 a 与 e1 不共 线,a 与 e2 不共线(填共线或不共线). 练习 2:已知 a、b 不共线,且 c=λ 1a+λ 2b(λ 1,λ 2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ 1=0. 思考应用 1 .平面内的基底是不是唯一的? 解析: 平面内的基底可以有无数多个, 只要两个不共线的向量都可以作为平面向量的一 组基底. 二、向量的夹角 1.不共线向量的夹角.
1

显然,不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量 a,b, → → 作OA=a,OB=b,则∠ AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角. 2.共线向量的夹角. 当 θ =0°时,表示 a 与 b 同向; 当 θ =180°时,表示 a 与 b 反向. 3.垂直向量. 如果 a 与 b 的夹角是 90°就称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 思考应用 → → → → 2.向量的夹角与直线的夹角有什么不同?向 量OA与OB的夹角与向量OA与BO的夹角相同 吗? 解析:不同.向量的夹角的范围为[0°,180°],而直线的夹角范围为[0°,90°].设 → → → → 向量OA与OB的夹角为 θ ,则向量OA与BO的夹角为π -θ . 自 测 自 评

1.下面四种说法中,正确的是(B) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量; ④对于平面内的任一向量 a 和一组基底 e1,e2,使 a=λ 1e1+λ 2e2 成立的实数对一定是 唯一的. A.②④ B.②③④ C.①③ D.①③④

→ → → → → 2. 设 O 是平行四边形 ABCD 的两对角线的交点, 下列向量组: ①AD与AB; ②DA与BC; ③CA → → → 与DC;④OD与OB.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是(B) A.①② B.①③ C.①④ D.③④

3.设 e1,e2 为两个不共线的向量,若 a=2e1-e2 与 b=e1+λ e2(λ ∈R)共线,则(B) 1 A.λ =0 B.λ =- 2 C.λ =-1 D.λ =-2 4.已知 a,b 是两个不共线的向量,m,n∈R 且 ma+nb=0,则(C)

A.a=0 且 n=0 B.m,n 的值不确定 C.m=n=0

2

D.m,n 不存在

基 础 提 升 1.如果 e1、e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么(A) A.若实数 λ 1、λ 2 使 λ 1e1+λ 2e2=0,则 λ 1=λ 2=0

B.空间任一向量 a 可以表示为 a=λ 1e1+λ 2e2,这里 λ 1、λ 2 是实数
C.对实数 λ 1、λ 2,λ 1e1+λ 2e2 不一定在平面 α 内 D.对平面 α 中的任一向量 a,使 a=λ 1e1+λ 2e2 的 实数 λ 1、λ 2 有无数对 2. 如果 3e1+4e2=a, 2e1+3e2=b, 其中 a, b 为已知向量, 则 e1=________, e2=________. 答案:3a-4b -2a+3b → → → 3.设 e1,e2 是平面内一组基底,如果AB=3e1-2e2,BC=4e1+e2,CD=8e1-9e2,则共 线的三点是(C) A.A、B、C B.B、C、D C.A、B、D D.A、C、D 4.设 e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是(B) A.e1+e2 和 e1-e2 B.3e1-2e2 和 4e2-6e1 C.e1+2e2 和 e2+2e1 D.e2 和 e1+e2 解析:∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2), ∴3e1-2e2 与 4e2-6e1 共线,故选 B. 5.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2 x-3y)b=6a+3b,则 x-y =________. 解析:由题意,得 3x-4y=6 且 2x-3y=3,解得 x=6,y=3,∴x-y=3. 答案:3 巩 固 提 高 → → → 1→ → 6. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2DB, CD= CA+λ CB, 则 λ 的值为________. 3
3

2 → → → → 2→ → 2 → → 2→ 1→ 解析:∵CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA= CB+ CA,∴λ = . 3 3 3 3 3 2 答案: 3 → 1→ → → 7.在三角形 ABC 中,AE= AB,EF∥BC 交 AC 于 F 点,设AB=a,AC=b,试用 a, b 表 5 → 示向量BF. 解析:如图所示,

→ 1→ → → → ∵AE= AB,EF∥BC 交 AC 于 F 点,∴BF=BE+EF 5 4→ 1→ = BA+ BC 5 5 4→ 1 → → =- AB+ AC -AB 5 5

(

)

1 → 1→ =-AB+ AC=-a+ b. 5 5 8.若 a,b 是两个有相同起点且不共线的非零向量,当 t(t∈R )为何值时,三向量 a,

tb, (a+b)的终点在同一条直线上?
2 1 → → → 1 → → → → → → 解析:设OA=a,OB=tb,OC= (a+b),∴AC=OC-OA=- a+ b,AB=OB-OA=tb 3 3 3 2 1 → → -a.要使 A,B,C 三点共线,则AC=λ AB,即- a+ b=λ tb-λ a, 3 3 2 ? ?-3=-λ , 1 1 ∴? 解得 t= .∴当 t= 时,三向量终点在同一直线上. 2 2 1 ?3=λ t, ? → → 9.如下图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M,AB=a.AD=b,试用基底 a、

1 3

b 表示MC,MA,MB和MD.

→ →

→ →

4

1 → 1→ 1 → → 1 解析:MC= AC= (AB+AD= a+ b, 2 2 2 2 →

MA=-MC=- a- b,MB= DB= (AB-AD= a- b,MD=-MB=- a+ b.



1 2

1 2



1→ 1 → 2 2



1 2

1 2





1 2

1 2

1.任一平面的直线型图形,根据平面向量的基本定理,都可以表示成某些向量的线性 组合,这样要解答几何问题时,就可以把已知和结论表示为向量的形式,然后通过向量的运 算,达到解题的目的. 2.在解具体问题时,要适当地选取基底,使其他向量能够用基底来表示,选择了 不共 线的两个向量 e1,e2, 平面上的任何一个 向量 a 都可以用 e1,e2 唯一表示为 a=λ 1e1+λ 2e2, 这样的几何问题转化为代数问题,转化为只含有基底的代数运算.

5


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