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【最新】北师大版高中数学选修2-1教学案:第二章2.5夹角的计算

跳步答题 : 解 题过程 卡在某 一过渡 环节上 是常见 的。这 时,我 们可以 先承认 中间结 论,往 后推, 看能否 得到结 论。如 果不能 ,说明 这个途 径不对 ,立即 改变方 向;如 果能得 出预期 结论, 就回过 头来, 集中力 量攻克 这一“ 卡壳处 ” 。 由于 考试时 间的限 制, “卡 壳处” 的攻克 来 不及了, 那么可 以把前 面的写 下来, 再写出 “证实 某步之 后,继 续有……”一 直做到 底,这 就是跳 步解答 。也许 ,后来 中间步 骤又想 出来, 这时不 要乱七 八糟插 上去, 可补在 后面, “ 事实上 ,某步 可证明 或演算 如下” ,以保 持卷面 的工整 。若题 目有两 问,第 一问想 不出来 ,可把 第一 问作“已 知” , “ 先做第 二问” ,这也 是跳步 解答。 数学 § 5 夹角的计算 第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角 [对应学生用书P34] 山体滑坡是一种常见的自然灾害.甲、乙两名科学人员为了测量 一个山体的倾斜程度,甲站在水平地面上的 A 处,乙站在山坡斜面上 的 B 处,从 A,B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m,CD 的长为 60 m,AB 的长为 80 m. 问题 1:直线 AC 和 BD 的夹角范围是什么?向量 AC 与向量 BD 的夹角范围是什么? π? 提示:? ?0,2 ?,[0,π]. 问题 2:直线 AC 与 BD 的夹角与〈 AC , BD 〉有什么关系? π 提示:当 0≤〈 AC , BD 〉≤ 时,它们相等; 2 π 当 <〈 AC , BD 〉≤π 时,直线 AC 与 BD 的夹角为 π-〈 AC , BD 〉 . 2 问题 3:上图中水平地面与斜坡面的夹角 α 与〈 CA , DB 〉有什么关系?为什么? 提示: α=π- 〈 CA ,DB 〉 , 因为图中两平面夹角(即为直线 BD 与 CA 的夹角)为锐角, 而〈 CA , DB 〉为钝角,所以 α=π-〈 CA , DB 〉 . 问题 4:若 n1,n2 分别为两个平面 π1,π2 的法向量,则 π1 与 π2 的夹角 θ 与〈n1,n2〉 有什么关系? π 提示:当 0≤〈n1,n2〉≤ 时,θ=〈n1,n2〉 ; 2 π 当 <〈n1,n2〉≤π 时,θ=π-〈n1,n2〉 . 2 1.两直线的夹角 π? 当两条直线 l1 与 l2 共面时,把两条直线交角中,范围在? ?0,2?内的角叫做两直线的夹 角. 2.异面直线 l1 与 l2 的夹角 (1)定义:直线 l1 与 l2 是异面直线,在直线 l1 上任取一点 A 作 AB∥l2,则直线 l1 和直线 跳步答题 : 解 题过程 卡在某 一过渡 环节上 是常见 的。这 时,我 们可以 先承认 中间结 论,往 后推, 看能否 得到结 论。如 果不能 ,说明 这个途 径不对 ,立即 改变方 向;如 果能得 出预期 结论, 就回过 头来, 集中力 量攻克 这一“ 卡壳处 ” 。 由于 考试时 间的限 制, “卡 壳处” 的攻克 来 不及了, 那么可 以把前 面的写 下来, 再写出 “证实 某步之 后,继 续有……”一 直做到 底,这 就是跳 步解答 。也许 ,后来 中间步 骤又想 出来, 这时不 要乱七 八糟插 上去, 可补在 后面, “ 事实上 ,某步 可证明 或演算 如下” ,以保 持卷面 的工整 。若题 目有两 问,第 一问想 不出来 ,可把 第一 问作“已 知” , “ 先做第 二问” ,这也 是跳步 解答。 数学 AB 的夹角叫作异面直线 l1 与 l2 的夹角. (2)计算:设直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1,s2. π 当 0≤〈s1,s2〉≤ 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于〈s1,s2〉 ; 2 π 当 <〈s1,s2〉≤π 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于 π-〈s1,s2〉 . 2 3.平面间的夹角 (1)定义:平面 π1 与 π2 相交于直线 l,点 R 为直线 l 上任意一点,过点 R,在平面 π1 上 作直线 l1⊥l,在平面 π2 上作直线 l2⊥l,则直线 l1 和 l2 的夹角叫作平面 π1 与 π2 的夹角. (2)计算:已知平面 π1 和 π2 的法向量分别为 n1 和 n2, π 当 0≤〈n1,n2〉≤ 时,平面 π1 和 π2 的夹角等于〈n1,n2〉 ; 2 π 当 <〈n1,n2〉≤π 时,平面 π1 和 π2 的夹角等于 π-〈n1,n2〉 . 2 1.求空间角时,要注意角的范围. π? (1)异面直线夹角范围是? ?0,2?; π? (2)两平面夹角范围是? ?0,2?. 2.求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解;也可用直线的方向向量、平面 的法向量的夹角进行求解,但要注意其转化关系. [对应学生用书P35] 求异面直线的夹角 [例 1] 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是一直角梯形, ∠BAD=90° ,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且 PA⊥底面 ABCD,∠ PDA=30° ,AE⊥PD,E 为垂足. (1)求证:BE⊥PD; (2)求异面直线 AE 与 CD 夹角的余弦值. [思路点拨] 要证明两直线垂直, 或求两直线的夹角, 只要适当地建立空间直角坐标系, 求出两直线对应的方向向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得. [精解详析] 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在的直线为坐标轴,建 跳步答题 : 解 题过程 卡在某 一过渡 环节上 是常见 的。这 时,我 们可以 先承认 中间结 论,往 后推, 看能否 得到结 论。如 果不能 ,说明 这个途 径不对 ,立即 改变方 向;如 果能得 出预期 结论, 就回过 头来, 集中力 量攻克 这一“ 卡壳处 ” 。 由于 考试时 间的

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