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金华十校2012-2013学年第二学期期末调研考数学试卷_图文

高二数学试卷
一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2 } ,若 M N ? N ,则 a 的值是 ( A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1 2. 空间中,设 m, n 表示直线,? , ? , ? 表示平面,则下列命题正确的是 A.若? ? ? , ? ? ? , 则? ∥ ? C.若 m ? ? , ? ? ? , 则 m ∥?
2



B. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? D.若 n ? m, n ? ? , 则 m ∥?
2

3. “ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2 与圆 ? x ? a ? ? ? x ? b ? ? 2 相切”的 A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是 A. (80+16 2 ) cm2 C. (96+16 2 ) cm2 B. 88cm2 D. 96cm2 )
第 4 题图

5. 设非零向量 a、 b、 c ,满足| a |?| b |?| c | ,| a ? b |?| c | ,则 sin ? a, b ? = ( A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2
2

6. 下列说法中不正确的个数是
3 2 ①命题“ ? x∈R, x ? x ? 1 ≤0”的否定是“ ? x0 ∈R, x0 ? x0 ? 1 >0” ;
3

②若“p ? q”为假命题,则p、q均为假命题; ③“三个数a,b,c成等比数列”是“b= ac ”的既不充分也不必要条件 A.O B.1 C.2 D.3 )

7.一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于 半径为 3 的球,则该棱柱体积的最大值为( ...

8.

9.

3 3 D. 6 3 2 x2 y 2 已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 与双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 有相同的焦点 F ,点 A 是两 a b 曲线在第一象限的交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线过第一象限的一条渐近线,则 l 的倾斜 角所在的区间是 ? ? ? ? ? ? ? A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ) 6 6 4 4 3 3 2 如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P
A. B. 3 3 C. 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( )

2 3 3

所旋转过的弧

十校高二数学(理科)试卷第 1 页(共 4 页)

A.

B.

C.

D.

10.给出若干数字按如图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是 1,2,3,…,2013,从第二行 起每个数分别等于上一行左、右两数之和,最后一行只有一个数 M,则这个数 M 是 A. 2014 ? 22011 B. 2013 ? 22011 C. 2013 ? 22012 D. 2014 ? 22012 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点坐标为____▲______. 12. 若tan? =
1 2 3 3 5 8 M 第10题图 2011 2012 2013 4023 4025 8048

1 1 1 ,? ∈(0, ? ),则sin(2? + ? )= 2 4 4




F E

13. 若双曲线 x2+ky2=1 的一条渐近线方程是 y ?

1 x ,则实数 k 的值是____▲______. 2
A

?x ? 0 ? 14.点P(x,y)在不等式组 ? x ? y ? 3 表示的平面区域内,若点P(x,y)到直线 ?y ? x ?1 ?
y=kx-1(k>0)的最大距离为2 2 ,则k= .

D

B

C

15. 如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为椭圆的两个焦点,其余 4 个顶点在椭圆 上,则该椭圆的离心率为
2

第15题图



. 的最大值为
P B C 第 17 题图 A M Q D

16. 设二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 ▲ .

17.如图,在三棱锥 A?BCD 中,AB,AC,AD 两两互相垂直,AB=AC=AD=4,点 P 在 侧面 ABC 上运动, 点 Q 棱 AD 上运动, PQ=2, M 为线段 PQ 中点, 当 P, Q 运动时, 点 M 的轨迹把 ____▲______. 三 棱 锥 A?BCD 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 等 于

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
十校高二数学(理科)试卷第 2 页(共 4 页)

18.(本题满分 14 分) 如图,已知:AB 是圆 C:x2+y2+4x?12y+24=0 的弦,且过点 P(0,5).(Ⅰ)若 AB 的线段长为 4,求直线 AB 的方 程;(Ⅱ)求弦 AB 中点 D 的轨迹方程.
y C D A O x P

B

19.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是棱长为 2 的菱形,且∠BAD=120° ,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是侧棱 PB,PD 中点. (Ⅰ)证明:平面 PAC⊥平面 AEF; (Ⅱ)若平面 ABCD 与平面 AEF 所成的二面角为 60° ,求 PA 的长.

20. (本小题满分 14 分)
十校高二数学(理科)试卷第 3 页(共 4 页)

已知向量 m =( 3 sin2x+2, cosx),n =(1, 2cosx), 设函数f(x)= m · n . (I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a= 3 ,f(A)=4,求b+c的最大值.

21. (本小题满分 15 分)
6 x2 y 2 ,长轴长为 4 3 ;点 M 为抛物线 y2=6x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上顶点为 P,离心率 e ? 2 3 a b 上一动点,过 M 作抛物线的切线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.

如图,已知:椭圆

(Ⅰ)试求椭圆的方程; (Ⅱ)若 ?APB 为钝角,试求直线 AB 的斜率范围。

金华十校 2012—2013 学年第二学期期末调研考试卷
十校高二数学(理科)试卷第 4 页(共 4 页)

高二数学(理科)参考答案
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11.(?1,0)

12.

7 2 10

13.?4

14.1

15. 3 ? 1 三.解答题:

16.

17.

? 64 ? ?

18. 解:(Ⅰ) |AB|=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|=2 ,|AC|=4. 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设直线 l 的方程为:y=kx-5, | ?2 k ? 6 ? 5| 3 即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: =2,得 k= , 2 4 k ?1 此时直线 l 的方程为 3x?4y+20=0. ???????????????? 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x?4y+20=0. (Ⅱ) 设 D(x,y),则 CD⊥PD, ∴ CD ? PD =0, ∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.(在圆内部分)?????? 19. 证明:(Ⅰ) E , F 分别是侧棱 PB ,PD 的中点,所以 EF / / BD , 因为 ABCD 是正方形, BD ? AC , 又因为 PA ? 底面 ABCD , PA ? BD , 所以 BD ? 平面 PAC ,又 EF / / BD 所以 EF ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 AEF ??????????7 分 (Ⅱ)以 A 为原点,AD 所在直线为 y 轴,过 A 垂直 AD 的直线 为 x 轴建立坐标系,设 P(0,0,m), 则 3 1 m m (0,0,0), B( 3, ?1,0), C( 3,1,0), D (0, 2, 0), E ( , ? , ), F (0,1, ) 2 2 2 2 平面 ABCD 的法向量 n1=(0,0,1) 设平面 AEF 法向量 n2=(x,y,z),则可求得:n2= (?
3 m m, ? ,1) 2 2

5分 7分

????????????

14 分

由 n1 ? n2 ?| n1 | ? | n2 | cos 60° 得: m ? 3 ,∴PA= 3 ??????????
十校高二数学(理科)试卷第 5 页(共 4 页)

14 分

20.解: (Ⅰ) f ( x) ? m? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3
2

? ?

? 2 sin(2 x ?

?
6

)?3

∴ f ( x ) 的最小正周期T ? 由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ?? 2

? 2 k? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

( k ? Z)

(Ⅱ)由 f ( A) ? 4 得 2 sin? 2 A ? ∵0 ? A ? ?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 3 ? 4 , sin ? 2 A ? ? ? 6? 6? 2 ?
∴2A ?



?
6

? 2A ?

?
6

?

13? 6

?
6

?

? 5? ,A ? 3 6

?B ? C ?

2? 3

法一:又

? a b c ? ? ,? b ? c ? 2(sin B ? sin C ) ? 2[sin B ? sin( ? B )] sin A sin B sin c 3
?
?

? 2 3 sin( B ? ) ? 2 3 6
∴ 当B ?

3

时, b ? c 最大为 2 3

2 2 2 2 2 2 2 法二: a ? b ? c ? 2bc cos A 即 3 ? b ? c ? bc ? (b ? c ) ? 3bc ? (b ? c ) ? 3(

b?c 2 ) 2

(b ? c) 2 ? 12, b ? c ? 2 3 ;当且仅当 b ? c 时等号成立。
x2 y 2 ?????????????????? ? ?1 12 4 (Ⅱ)若直线斜率不存在,显然不合题意;若斜率存在则
可设直线 l: y ? kx ? t 代入

21. 解:(Ⅰ)

5分

x2 y 2 ? ? 1 化简得: (3 k 2 ?1) x2 ?6 ktx ?3t 2 ?12 ?0 12 4 6kt 3t 2 ? 12 , x1 x2 ? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ∴ x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 3k ? 1
y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2

??????????????? ?(1)?????

8分 9分

? ? 36k 2t 2 ? 4(3k 2 ? 1)(3t 2 ? 12) ? 0得: 12k 2 ? t 2 ? 4 ? 0
y ? kx ? t 代入 y 2 ? 6 x 得: k 2x2 ? (2kt ? 6)x ?t 2 ? 0

? ? 4k 2t 2 ? 24kt ? 36 ? 4k 2t 2 ? 0得:t ?

3 2k

????(2)??????

10 分

?APB 为钝角则 PA ?PB ? 0
十校高二数学(理科)试卷第 6 页(共 4 页)

∴( x1 , y1 ? 2) ? ( x2 , y2 ? 2) ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? (kt ? 2k )( x1 ? x2 ) ? t 2 ? 4t ? 4 ? 0

化简得: t 2 ? t ? 2 ? 0 由(1)(2)得 k 2 ? 由(2)(3)得

解得: ?1 ? t ? 2 ???(3)
31 ? 2 或k ? 12 31 ? 2 12

??????

13 分

31 ? 2 ,∴ k ? ? 12

3 3 3 ( ?1 ? t ? 2 )得: k ? ? 或k ? 2t 2 4 3 3 ∴ k ? ? 或k ? ??????????????????????? 2 4 k?
22.解:(Ⅰ) f ?( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,∵x>0,∴ f ?( x) ? 0
? ?) 所以 f ( x) 在 (0, 上单调递增. ????????????? (Ⅱ) y=| f(x)?t |?1 有三个零点,即| f(x)?t |=1, f ( x) ? t ? 1 有三个零点;

15 分

4分

由 f ?( x) ? ex ? 2x ? 1 ? 0得 : x ? 0
0) 当 x ? 0时,f ?( x) ? 0, 得:f(x)在 (??, 上单调递减;

? ?) 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, 得:f(x)在 (0, 上单调递增;

1 ,即f (0) ? t ? 1 ,∴ t ? 2 . 所以,只需[ f ( x)] min ?t ?
? ?) (Ⅲ)由(Ⅱ)知: f(x)在 (0, 上单调递增;f(x)> f(0)
∴ e x ? x 2 ? x ? 1 ,∴ e x ? 1 ? x 2 ? x

????????

10 分

当 n ≥ 2, n ∈ N* 时, e n ? 1 ? 叠加得: e ? 3 e ?
∴当n ≥ 2, n ∈ N*时,

1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ?1 ? ( ? )? 2 n n n( n ?1) n n ?1 n n

? ne ? n ?

1 ? ?( n ) n

e?3e?

? n e ?n?

1 ? ? (n) 成立. n

???????????

15 分

十校高二数学(理科)试卷第 7 页(共 4 页)


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