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求数列的通项公式列(教案+例题+习题)


三.数列的通项的求法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1 .等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, 2 .求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0) 2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 , 即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d 得: a1 ? 3 3 ,d ? 5 5 ∴ an ? 3 3 3 ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比) 后再写出通项。 练一练:已知数列 3 1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 S ,(n ? 1) an ? 1 2.公式法: 已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ) 求 an , 用作差法: 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2) 例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。 点评:利用公式 an ? ? ? ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若 S ? S ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 n n ? 1 ? 能合写时一定要合并. 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ; ②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? 5 an ?1 ,求 an ; 3 f (1),(n ? 1) ? ? 3.作商法:已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ? 例:数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,求通项公式 an 4. 作 差 法 例 1 : 已 知 正 项 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , a1 ? 1 且满足 2 2S n?1 ? 4S n ? 1 (n ? N ? ) ,,求通项公式 an 例: .已知数列 {an } 是等比数列, a 2 ? 4 , {an } 的前:2 项和等于 6 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)若 a1b1 ? a2 b2 ? ..........? an bn ? 2 ? (n ? 1)2 n?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n 4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 解:由条件知: a n ?1 ? a n ? 1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1 2 分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上式 得


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