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广东省潮州市2015届高三第二次模拟考试数学文科试题含解析版


2015 年广东省潮州市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. (5 分)若复数(2+i) (1+ai)是纯虚数(i 是虚数单位,a 是实数) ,则 a 等于( A. ﹣1 B. C. 2 D . 3 )

【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的乘法运算法则化简复数,通过复数虚部不为 0,实部为 0,求解即可. 【解析】 : 解:复数(2+i) (1+ai)=2﹣a+(2a+1)i, 复数(2+i) (1+ai)是纯虚数, 可得 2﹣a=0,2a+1≠0,解得 a=2. 故选:C. 【点评】 : 本题考查复数的基本运算以及基本概念的应用,考查计算能力. 2. (5 分)从匀速传递的新产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件新产品进行 某项指标检测,这样的抽样是( ) A. 系统抽样 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样 D. 随机数法 【考点】 : 系统抽样方法. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 根据抽样的定义和性质进行判断即可. 【解析】 : 解:新产品没有明显差异,抽取时间间隔相同, 故属于系统抽样, 故选:A. 【点评】 : 本题主要考查系统抽样的判断,比较基础. 3. (5 分)在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

【考点】 : 平面的基本性质及推论. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据题意,画出图形,结合图形,即可得出正确的结论. 【解析】 : 解:在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定 3 个平面,如图所示; PA、PB、PC 相较于一点 P,且 PA、PB、PC 不共面, 则 PA、PB 确定一个平面 PAB, PB、PC 确定一个平面 PBC, PA、PC 确定一个平面 PAC. 故选:C.

【点评】 : 本题考查了确定平面的条件是什么,解题时应画出图形,以便说明问题,是基础 题目. 4. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 A. ﹣2 B. 2 C. ﹣3 D. 3 【考点】 : 等差数列的性质. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 直接利用数列的和,通过 S3﹣S2,S2﹣S1 求解即可. 【解析】 : 解:数列{an}的前 n 项和
2 2

,则 a3﹣a2 的值为(




2 2

a3﹣a2=(S3﹣S2)﹣(S2﹣S1)=3 ﹣2 ﹣2 +1 =2. 故选:B. 【点评】 : 本题考查等差数列的性质,数列的函数的特征,考查计算能力. 5. (5 分)在△ABC 中,若 a +b <c ,则△ABC 的形状是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【考点】 : 余弦定理. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 直接通过余弦定理,推出结果即可. 2 2 2 2 2 2 【解析】 : 解:由余弦定理:a +b ﹣2abcosC=c ,因为 a +b <c ,所以 2abcosC<0,所以 C 为钝角,钝角三角形. 故选 C. 【点评】 : 本题考查三角形的形状的判断,余弦定理的考查,也可以通过特殊值法能够避繁 就简,注意表达式的形式的转化. 6. (5 分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2BC=4,则质点 落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )
2 2 2

A.

B.

C.

D.

【考点】 : 几何概型. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 【解析】 : 解:∵AB=2BC=4,∴AB=4,BC=2, ∴长方体的 ABCD 的面积 S=4×2=8, 圆的半径 r=2,半圆的面积 S= =2π, = ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是

故选:B. 【点评】 : 本题主要考查几何槪型的概率的计算, 求出对应的图形的面积是解决本题的关键, 是基础题.

7. (5 分)执行如图的程序框图,若输出

,则输入 p=(



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 模拟执行程序框图,可得 退出循环的条件为 7<p 不成立,从而可得 p 的值. 【解析】 : 解:模拟执行程序框图,可得 解得:n=7. 故当 p=7 时,n=7<p,不成立,退出循环,输出 S 的值为 . . .解得 n 的值为 7,

故选:B. 【点评】 : 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键, 属于基础题.

8. (5 分)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆(x﹣1) +(y+3) =1 的圆心的抛物线 的方程是( ) 2 2 2 A. y=3x 或 y=﹣3x B. y=3x 2 2 2 2 C. y =﹣9x 或 y=3x D. y=﹣3x 或 y =9x 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :
2

2

2

轨迹方程. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分类讨论,设出抛物线方程,代入圆心坐标,即可得出结论. 2 2 解:圆(x﹣1) +(y+3) =1 的圆心为(1,﹣3) ,
2

设 x =﹣2py, (1,﹣3)代入可得 p= ,∴抛物线的方程为 x =﹣ ; 设 y =2px, (1,﹣3)代入可得 p= ,∴抛物线的方程为 y =9x, 故选:D. 【点评】 : 本题考查抛物线的方程,考查圆的性质,比较基础. 9. (5 分)已知 A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0)三点共线,其中 a>0,b>0,则 ab 的最大值是( ) A. B. C. D.
2 2

【考点】 : 基本不等式. 【专题】 : 计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 【分析】 : 由题意利用向量可推出 2a+b=1,再由基本不等式求最大值即可. 【解析】 : 解:∵ ∴2a+b=1, ∴ 共线,



(当且仅当 2a=b,即 a= ,b= 时,等号成立) ; ∴ ∴ ; ,

故 ab 的最大值是 ; 故选 D. 【点评】 : 本题考查了平面向量与基本不等式的应用,属于基础题. 10. (5 分)已知奇函数 y=f(x)的导函数 f′ (x)<0 在 R 恒成立,且 x,y 满足不等式 f (x ﹣2x)+f(y ﹣2y)≥0,则 A. B.
2 2

的取值范围是( C. [1,2] D.



【考点】 : 函数的单调性与导数的关系. 【专题】 : 函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 : 根据函数 f(x)为奇函数,导函数 f′ (x)<0,由不等式 f(x ﹣2x)+f(y ﹣ 2 2 2 2 2y)≥0 即可得到不等式 x ﹣2x≤2y﹣y ,从而得到(x﹣1) +(y﹣1) ≤2,根据该不等式 所表示的几何意义即可求出 的最小值和最大值,从而求得其取值范围.
2 2 2 2

【解析】 : 解:因为函数 y 为奇函数,所以 f(x ﹣2x)≥f(2y﹣y ) ; 由函数 y=f(x)的导函数 f'(x)<0 在 R 恒成立,知函数 y=f(x)为减函数; 2 2 ∴x ﹣2x≤2y﹣y ; 2 2 即∴(x﹣1) +(y﹣1) ≤2; ∴满足该不等式的点(x,y) ,在以(1,1)为圆心,半径为 的圆及圆内部; ∴点(x,y)到原点的最小距离为 0,最大距离为 2 ; 故 的取值范围是[0, ].

故选:A. 【点评】 : 考查奇函数的概念, 函数导数符号和函数单调性的关系, 函数单调性定义的应用, 以及圆的标准方程,能找出不等式所表示的平面区域. 二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 15 分. (一)必做题 (11-13 题) 11. (5 分) 如图是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积为 32+4π .

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 由三视图可知,该几何体是下部为正四棱柱,上部是半径为 1 的球,直接求表面 积即可. 【解析】 : 解:由三视图容易推知几何体是:上部是半径为 1 的球,下部是底面边长为 2 的正方形的直四棱柱, 2 高为 3,该几何体的表面积为:4+4+24+4πr =32+4π, 故答案为:32+4π. 【点评】 : 本题考查三视图、组合体的表面积.考查简单几何体的三视图的运用;培养同学 们的空间想象能力和基本的运算能力;中档题.

12. (5 分)已知

,则 ? = 1



【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 已知条件两边分别平方相减可得结果. 【解析】 : 解:由 , 两式相减得 , ,分别平方可得 ,

故答案为:1. 【点评】 : 本题考查向量的模以及向量的数量积的求法,考查计算能力. 13. (5 分)函数 f(x)定义域为 D,若满足:① f(x)在 D 内是单调函数;② 存在[a,b]?D 使 f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b];那么就称 y=f(x)为“域倍函数”.若函数 f(x)=loga (a +2t) (a>0,a≠1)是“域倍函数”,则 t 的取值范围为
x



【考点】 : 函数的零点与方程根的关系. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 由题意利用“域倍函数”定义有 ,即方程 f(x)=2x 有两个不同实根,

令 a =u>0,则 u ﹣u﹣2t=0 有两个不同正实根,可得 【解析】 : 解:根据函数

x

2

,由此解得 t 的范围. 是增函数,

由“域倍函数”定义有


x 2x

即方程 f(x)=2x 有两个不同实根,即方程 a +2t=a 有两个不同实根. x 2 令 a =u>0,则 u ﹣u﹣2t=0 有两个不同正实根, ∴ ,解得﹣ <t<0,

故答案为:



【点评】 : 本题考查函数的值域的求法,解题的关键是正确理解“域倍函数”,解题时要认真 审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,属于中档题. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】

14. (5 分)已知圆的极坐标方程 ρ=2cosθ,直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣2ρsinθ+7=0,则圆 心到直线距离为 .

【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行 代换即得圆和直线的直角坐标方程,再在直角坐标系中算出圆心到直线距离即可. 2 2 2 2 2 【解析】 : 解:由 ρ=2cosθ?ρ =2ρcosθ?x +y ﹣2x=0?(x﹣1) +y =1, ρcosθ﹣2ρsinθ+7=0?x﹣2y+7=0, ∴圆心到直线距离为: .
2 2 2

故答案为:



【点评】 : 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互 化. 【几何证明选讲选做题】 15.如图所示,⊙O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P,与⊙O 相切于 A,B 两点,C 是⊙O 上的一点,若∠P=70°,则∠ACB= 55° . (用角度表示)

【考点】 : 弦切角. 【专题】 : 选作题;立体几何. 【分析】 : 先求出∠AOB=110°,再利用∠ACB= ∠AOB,即可得出结论. 【解析】 : 解:如图所示,连接 OA,OB,则 OA⊥PA,OB⊥PB. 故∠AOB=110°,∴∠ACB= ∠AOB=55°. 故答案为:55°.

【点评】 : 本题考查弦切角, 考查圆心角与圆周角的关系, 考查学生的计算能力, 比较基础. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知向量 的最大值为 2. (1)求 f(x)的最小正周期和解析式; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. , ,函数

【考点】 : 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部 分图象确定其解析式. 【专题】 : 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 : (1)由 f(x)= 利用两角差的正弦函数公式化简可得

,结合已知可求 A 的值,即可得解析式,由周期公式可求最小 正周期. (2)由(1)结合诱导公式化简 f(3α+ )= 可得 sinα,由诱导公式化简 f(3β+2π)=

可得 cosβ,结合 α,β 的范围,由同角三角函数关系式可求 cosα,sinβ 的值,由两角和的余 弦函数公式即可得解. 【解析】 : 解:∵f(x)= ,向量 , ∴ 因为函数 所以 A=2,…(2 分) 所以 f(x)的最小正周期 …(3 分) …(4 分) , (A>0)的最大值为 2, …(3 分) ,

(2)∵ ∴sinα=

=f(3α+

)=2sin(

)=2sinα,…(5 分)

,…(6 分) )=2cosβ= ,∴cos .

∵f(3β+2π)=2sin( ×(3β+2π)﹣

∵α,β∈[0, ∴cos

], = ,sin = …(8 分) .…(12 分)

∴cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

【点评】 : 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的周期 性及其求法,三角函数恒等变换的应用,平面向量的应用,综合性较强,属于中档题. 17. (12 分)为调查学生每周平均体育运动时间的情况,某校收集到高三(1)班 20 位学生 的样本数据(单位:小时) ,将他们的每周平均体育运动时间分为 6 组:[0,2) ,[2,4) ,[4, 6) ,[6,8) ,[8,10) ,[10,12]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值; (2)若在该班每周平均体育运动时间低于 4 小时的学生中任意抽取 2 人,求抽取到运动时 间低于 2 小时的学生的概率.

【考点】 : 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)利用频率分布直方图,求出各组的频率,各组的中点数值,然后求解该班 学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值. (2)求出平均运动时间低于 4 小时的学生中,在[0,2)的人数,在[2,4)的人数,列出 机抽取 2 人的可能情况有 10 种,其中,抽取到运动时间低于 2 小时的学生的可能情况有 4 种,求解概率. 【解析】 : (1)解:根据频率分布直方图, 各组的频率分别为:0.05,0.2,0.3,0.25,0.15,0.05,…(2 分) 各组的中点分别为:1,3,5,7,9,11,…(4 分) 该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为 0.05×1+0.2×3+0.3×5+0.25×7+0.15×9+0.05×11=4.45…(6 分) (2)依题意可知, 平均运动时间低于 4 小时的学生中,在[0,2)的人数有 0.05×20=1,记为 1, 在[2,4)的人数有 0.2×20=4,记为 2,3,4,5,…(8 分) 从这 5 人中随机抽取 2 人的可能情况有 10 种,分别为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5) ;… (10 分) 其中,抽取到运动时间低于 2 小时的学生的可能情况有 4 种,分别为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) ; …(11 分)

故所求概率

…(12 分)

【点评】 : 本题考查古典概型的概率的求法,频率分布直方图的应用,考查计算能力.

18. (14 分)如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA=

,AB=BC=CD=DA=2,∠ABC=



△SAD 沿 AD 折起成.如图 2,使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O,M 为 BC 上一点, BM= .

(1)证明:BC⊥平面 SOM; (2)求四棱锥 S﹣ABMO 的体积. 【考点】 : 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)由菱形的性质与余弦定理可得:OM,再利用勾股定理的逆定理可得 OM⊥ BC,由 SO⊥平面 ABCD,可得 SO⊥BC,即可证明; (2)由题意及如图 2 知由 SO⊥底面 ABCD,SO⊥OA.利用 SABMO=S△OAB+S△OBM,四棱 锥 S﹣ABMO 的体积= ,即可得出.

【解析】 : (1)证明:∵四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连接 OB, 则 AO⊥OB, ∵ ∴ 又∵ ,且
2 2

, , ,
2

在△OBM 中 OM =OB +BM ﹣2OB?BM?cos∠ OBM=
2 2 2



∴OB =OM +BM ,故 OM⊥BM,即 OM⊥BC, 又顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O,由 SO⊥平面 ABCD, ∴SO⊥BC, 从而 BC 与平面 SOM 内两条相交直线 OM,SO 都垂直, ∴BC⊥平面 SOM.

(2)解:由(1)可知, 由题意及如图 2 知由 SO⊥底面 ABCD,SO⊥OA. ∴SO= = = . + = = = + . = .

此时 SABMO=S△OAB+S△OBM= ∴四棱锥 S﹣ABMO 的体积=

【点评】 : 本题考查了菱形的性质与余弦定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质 定理、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 an+1=2Sn+6,且 a1=6. (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 ,证明:b1+b2+…+bn<1.

【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】 : (1)令 n=1,由 a1=S1,即可得到所求; (2)将 n 换成 n﹣1,两式相减,再结合等比数列的定义和通项公式,计算即可得到所求; (3)求出 Sn,可得 bn,再由裂项相消求和,计算即可得证. 【解析】 : 解: (1)当 n=1 时,a2=2S1+6=2a1+6=18,∴a2=18; (2)由 an+1=2Sn+6① ,得 an=2Sn﹣1+6(n≥2)② ① ﹣② :得 an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1, 即 an+1=3an(n≥2) , 又 a1=6,a2=18,所以 a2=3a1, ∴数列{an}是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列, ∴ ; ,

(3)证明:由(2)得:







=



【点评】 : 本题考查数列的通项和求和,主要考查等比数列的通项和数列的求和方法:裂项 求和,考查运算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知直线 l:y=

x+1 过椭圆 C:

=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶

点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 BC⊥平面 SOM 轴交于点 M,求常数 λ 使得 kAM=λkBD. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)利用直线 几何量,然后求解方程. (2) 设A (x1, y1) (x1y1≠0) , D (x2, y2) , 直线 AB 的斜率 , 直线 AD 的斜率 , 的截距,求出椭圆 的

设直线 AD 的方程为 y=kx+m,由题意知 k≠0,m≠0,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定 理求出 kBD,推出 M(3x1,0) .利用 kAM=﹣2kBD,求出 λ. 【解析】 : 解: (1)直线 过两点 …(1 分)

因为椭圆 故焦点为 ∴b=1,c= ∴a=

的焦点在 x 轴时, ,顶点为(0,1)…(2 分) . …(3 分) . =2,…(4 分) . …(5 分)

所以,所求椭圆 C 的方程为

(2)设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) ,则 B(﹣x1,﹣y1) ,直线 AB 的斜率 (6 分) 又 AB⊥AD,所以直线 AD 的斜率 ,…(7 分)

,…

设直线 AD 的方程为 y=kx+m,由题意知 k≠0,m≠0,…(8 分)
2 2 2



,可得(1+4k )x +8mkx+4m ﹣4=0.

所以 因此

,…(9 分) ,

由题意知,x1≠x2,所以

,…(11 分)

所以直线 BD 的方程为 令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0) . 可得 .…(13 分)



所以 kAM=﹣2kBD,即 λ=﹣2.因此存在常数 λ=﹣2 使得结论成立.…(14 分) 【点评】 : 本题考查直线与椭圆的位置关系,椭圆的标准方程的求法,考查分析问题解决问 题的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,其中 a>0. (1)若函数 f(x)在(0,+∞)上有极大值 0,求 a 的值; (2)讨论并求出函数 f(x)在区间 上的最大值;

(3)在(2)的条件下设 h(x)=f(x)+x﹣1,对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,证明: 不等式 恒成立.

【考点】 : 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最 小值问题中的应用. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)求出函数的导数,然后判断函数的单调性求解函数的极大值,即可求解 a 的值.

(2)利用函数的导数通过 ① ,② ,③ a≥e,分别求解函数的最值即可.

(3)利用分析法证明

,即证明

,不妨设

x1>x2>0,令 明即可.

,则 t>1,则需证明

,构造函数利用函数的单调性证

【解析】 : 解: (1) 明显,当 x∈ 故函数 f(x)在 时,f'(x)>0,当 x∈ 上单调递增,在

…(1 分) 时,f'(x)<0…(2 分) 上单调递减,…(3 分) …(4 分)

因此函数 f(x)在 (0,+∞)上有极大值 ∴lna=a﹣1 解得 a=1…(5 分) (2)∵ ① 若 ,即 ,则当 时,有 f'(x)≥0,

∴函数 f (x)在 ② 若 单调递减, ∴ ③ 若 减, 则 综上得,当 当 当 a≥e 时, ,即 a≥e,则当 ,即

上单调递增,则 f(x)max=f(e)=1﹣ea+a. …(6 分) ,则函数 f (x)在 上单调递增,在 上

.…(7 分) 时,有 f'(x)≤0,函数 f (x)在 上单调递

.…(8 分) 时,f(x)max=1﹣ea+a; 时,f(x)max=﹣lna﹣1+a; .…(9 分)

(3)要证明

只需证明

…(10 分)

只需证明

即证明

,…(11 分)

不妨设 x1>x2>0,令

,则 t>1,则需证明

…(12 分)



,则

∴g(t)在(1,+∞)上是单调函数, ∴ .

故不等式

得证.…(14 分)

【点评】 : 本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的极值,分析法构造法 的应用,考查分析问题解决问题的能力.



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