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空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第一课时 一、知识点回顾与梳理
1、空间两直线的位置关系 (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何 一个平面内,没有公共点; .. 2、平行直线的概念 在同一平面内没有公共点的直线叫做平行直线。 初中平面几何中,有两个重要的结论: ①过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行; ②在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 这两个结论也可以推广到空间 3、公理 4:平行于同一直线的两条直线平行 推理模式: a // b, b // c ? a // c . 说明:①公理 4 表述的性质叫做空间平行线的传递性, 该公理也称平行公理,根据平行公 理可知:直线间平行的传递性在空间也是成立的; ②几何学中,通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向; ③ 公理 4 给出了空间两条直线平行的一种证明方法,重要作用是用它证明等角定理 及其推论,为下一步研究异面直线打基础。 4、空间图形的平移 如果空间图形 F 的所有点都沿同一方向移动相同的距离到 F ? 的位置, 我们就说图形 F 在 空间作了一次平移。 5、等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 说明:要正确运用等角定理,必须抓住“角的两边分别平行”和“方向相同”这两个条 件。如果没有“方向相同”这个条件,两角还有可能互补。 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等。 其中也要注意“所成的锐角或直角”这一条件。 等角定理及其推论表明,角平移后大小不变,说明了空间角通过任意平行移动具有保值 性,因而成为异面直线所成角的基础,这为异面直线所成的角准备条件。 空间四边形:顺次连结不共面的四点 A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形,相对顶点 的连线 AC,BD 叫空间四边形的对角线。

空间的平行直线

二、典型例题分析与方法总结
问题 1:证明空间两条直线平行的方法 证明空间两条直线平行,本章共有五种方法,到本讲为止,可有两种证明方法证明两条 直线平行。 (1)用定义证明两条直线平行,需证两个方面:一是两直线在同一平面内;二是两直线没 有公共点; (2) 用公理 4 证明两条直线平行, 就是需要找到一条直线 c 作桥梁, 使得 a // c , 同时 b // c ,

由公理 4 得到 a // b 例 1、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , E 、 F 分别为 AA1 、 CC1 的中点,求证: BF // ED1 , 且 BF = ED1
D1 A1 B1 C1

F

E D A

G C B

例 2、 已知四边形 ABCD 是空间四边形,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD 上的点,且

CF CG 2 ? ? ,求证:四边形 EFGH 是梯形。 CB CD 3

分析:梯形就是一组对边平行且不相等的四边形,考虑哪组对边会平行呢?为什么?(平行 公理) 。证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例。 证明:如图,连接 BD ∵EH 是△ABD 的中位线,∴EH//BD,EH= 又在△BCD 中,
A

1 BD. 2
B

E

H D G

CF CG 2 2 ? ? ,∴FG//BD,FG= BD. CB CD 3 3

F

根据公理 4,EH//FG 又 FG>EH,∴四边形 EFGH 的一组对边平行但不相等。

C

变式:已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,M 、 N 分别为 CD 、 AD 的中点,求证:四边形 MNAC 1 1 是梯形。
D1 A1 B1 C1

G N A D M B C

评注:证明四边形是梯形的途径有:①证明一组对边平行,另一组对边不平行;②证明一组 对边平行但不相等。

问题 2、等角定理的应用 例 3 、 已知 E , E1 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AD, A1 D1 的中点,求证: ?BEC ? ?B1 E1C1 。

D1 E1 A1 M B1

C1

G E A D B C

变式: 如图所示, 两个三角形 ? ABC 和 ? A1 B1C1 的对应顶点的连线 AA1 , BB1 , CC1 交于同一点 O , 且
AO BO CO 2 ? ? ? 。 OA1 OB1 OC1 3

(1)证明: AB / / A1 B1 , AC / / A1C1 , BC / / B1C1 ; (2)求
S? ABC 的值。 S? A1B1C1

C

O C A B
B1 C1 A1

A O

B

A1

A
C1 B1

A

A 乙

A 甲

有关证明角相等问题,一般采用下面三种途径: (1)利用等角定理及其推论; (2)利用三角形相似; (3)利用三角形全等; 例 4、如图所示,设 E, F , G, H 分别是空间四边 形 ABCD 的 边 A B 上 , BC , C, D D A的 点 , 且
AE AH ? ? ?, AB AD CF ? CB CG ? ? ,求证: CD

A

H E

D G B F C

(1) 当 ? ? ? 时, 四边形 EFGH 是平行四边形; (2)当 ? ? ? 时,四边形 EFGH 是梯形;

第二课时

异面直线及其夹角

1、异面直线的概念 (1)不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 (2)空间两条异面直线的画法

a b

b a

b
A1

D1 B1 D A B

C1 C

a

借助平面来反映线与线的异面关系 (3)异面直线的判定方法 证明和判断异面直线的方法有两种: (1)定义法:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,此时需借反证法; (2)定理法: 异面直线判定定理: 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不 经过该点的直线是异面直线。 推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是异面直线。 图形: 注:判定两直线为异面直线的常用方法是排除法核心思想是反证法。 2、异面直线所成的角 已知两条异面直线 a, b , 经过空间任一点 O 作直线 a? / / a, b? / /b , 则 a? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a, b 所成的角(或夹角) 。

a b
O

若两条异面直线所成的角是直角,则称这两条异面直线互相垂直, 记作: a ? b ,以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交 的,也可能是不相交的即有共面垂直,也有异面垂直这两种情形; 说明: (1)由于点 O 是任意的,这样作出的角有无数多个,由等角定理可知,这无数个锐角 (或直角)相等; (2)两条异面直线所成的角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定,与 O 点的位置 选取无关;

b′

? (3)两条异面直线所成的角 ? 取值范围是 ? ? (0, ] ; 2 (4)因为点 O 可任意选取,这就给我们找两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时, 为了简便,我们可以把点 O 选取在两条异面直线的某一条上,特别是这一直线的某些特殊 点,例如线段的端点或中点处;找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线) ,把 两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角; (5)求异面直线所成的角的基本步骤:一作、二证、三计算; 一“作” :作平行线,将“异面直线”的空间问题转化为“相交直线”的平面问题来解 决,这是我们解决立体几何问题的常用方法; 作平行线的方法一般有三种: ①直接平移法;②中位线平移法(含成比例线平移法) ;③补形平移法。 作平行线往往是在某个平面中完成,因此需要寻找一个“方便面” ,该面的特点是:该

面包含其中一条异面直线;该面与另一条异面直线相交,即方便作“平行线” 。 二“证明” :由异面直线所成的角的概念说明所作的“角”即为要求的“异面直线所成 的角或其补角” ; 三“计算” :通常是将所作的“角”放入“三角形“中,通过解三角形来求角,其中要 注意正弦定理、余弦定理的应用;

问题一:异面直线的判定与证明 例 1、如图,已知不共面的直线 a, b, c 相交于 O 点, M , P 是直线 a 上的两点, N , Q 分别是

b, c 上的一点。
求证: MN 和 PQ 是异面直线
王新敞
奎屯 新疆

证(法一) :假设 MN 和 PQ 不是异面直线,则 MN 与 PQ 在同一平面内,设为 ? , ∵ M , P ? a, M , P ?? ,∴ a ? ? ,又 o ? a ,∴ o ?? , ∵ N ?? , O ? b, N ? b , ∴b ?? , 同理 c ? ? , ∴ a, b, c 共面于 ? , 与已知 a, b, c 不共面相矛盾, 所以, MN 和 PQ 是异面直线
新疆

a M O N P Q b c

?

王新敞
奎屯

(法二) :∵ a ? c ? O ,∴直线 a, c 确定一平面设为 ? , ∵ P ? a, Q ? c ,∴ P ? ? , Q ? ? ,∴ PQ ? ? 且 M ? ? , M ? PQ , 又 a, b, c 不共面, N ? b ,∴ N ? ? ,所以, MN 与 PQ 为异面直线。 练习:如图, 已知平面 ? ? 平面 ? =直线 a ,直线 b ? ? , b ? a ? A, c // a ,求证: b 与 c 是异面直线。

?
a

c A b

? B
证法一:假设 b 与 c 不是异面直线,则 b 与 c 平行或相交 (1)若 b // c,? c // a ? a // b 这与 b ? a ? A 矛盾,?b 不平行于 c ; (2)若 b 与 c 相交,设 b ? c ? B ,? B ? b 且 b ? ? ,? B ??

? B ? c, c ? ? ,? B ? ? ,? B 是 ? 与 ? 的公共点,

又 ? ? ? ? a,? B ? a, 又 B ? c ,? a ? c ? B ,这与 c // a 矛盾。 (2)知 b 与 c 是异面直线。 ?b 与 c 不能相交,综合(1) 证法二:假设 b 与 c 不是异面直线,即 b 与 c 共面,设 b 与 c 确定平面

? ,则

? ? ? ? b, ? ? ? ? c,? a // c ,? a //?
又 a ? ? 且 ? ? ? ? b,? a // b ,这与 b ? a ? A 矛盾,b 与 c 不可能共面,即 b 与 c 是异面 直线。 问题二:异面直线所成的角的求解 例 2、 空间四边形 ABCD 中, AD ? BC ? 2 , E , F 分别是 AB, CD 的中点, EF ? 3 , 求异面直线 AD, BC 所成的角。 解:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF ,∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点,

1 1 ∴ EG // AD, FG // BC, 且 EG ? AD ? 1, FG ? BC ? 1 , 2 2
∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角,

A

E B
G

EG ? FG ? EF 1 在 ?EGF 中, cos ?EGF ? ?? , 2 EG ? FG 2
2 2 2

D F
C

∴ ?EGF ? 120 ,异面直线 AD, BC 所成的角为 60 .
? ?

说明:异面直线所成的角是锐角或直角,当三角形 ?EGF 内角 ?EGF 是钝角时,表示异面 直线 AD, BC 所成的角是它的补角。

例 3、长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=a,BC=b,AA1=c,且 a>b,求: ①下列异面直线之间的距离:AB 与 CC1;AB 与 A1C1;AB 与 B1C. ②异面直线 D1B 与 AC 所成角的余弦值. ①解:BC 为异面直线 AB 与 CC1 的公垂线段,故 AB 与 CC1 的距离为 b. AA1 为异面直线 AB 与 A1C1 的公垂线段, 故 AB 与 A1C1 的距离为 c.过 B 作 BE⊥B1C, 垂 足为 E,则 BE 为异面直线 AB 与 B1C 的公垂线,BE=

BB1 ? BC bc = ,即 AB 与 B1C B1C b2 ? c2

的距离为

bc b ? c2
2

.

D1 A1

C1

F D

B1

E C

A

O B

②解法一:连结 BD 交 AC 于点 O,取 DD1 的中点 F,连结 OF、AF,则 OF∥D1B,∴ ∠AOF 就是异面直线 D1B 与 AC 所成的角. ∵AO=

a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 4b 2 ? c 2 1 ,OF= BD1= ,AF= , 2 2 2 2

∴在△AOF 中,cos∠AOF=

a ?b AO 2 ? OF 2 ? AF 2 = . 2 AO ? OF (a 2 ? b 2 )( a 2 ? b 2 ? c 2 )
2 2

解法二:如下图,在原长方体的右侧补上一个同样的长方体,连结 BG、D1G,则 AC ∥BG,∴∠D1BG(或其补角)为 D1B 与 AC 所成的角.
D 1 A 1 D A B C 1

B 1

C

G

BD1= a 2 ? b 2 ? c 2 ,BG= a 2 ? b 2 ,D1G= 4a 2 ? c 2 , 在△D1BG 中, cos∠D1BG=

a ?b D1 B 2 ? BG 2 ? D1G 2 =- , 故所 2 D1 B ? BG (a 2 ? b 2 )( a 2 ? b 2 ? c 2 )
2 2

求的余弦值为

a2 ? b2 (a 2 ? b 2 )( a 2 ? b 2 ? c 2 )

.


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