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2012年广东省高考文科数学试题及答案(精美Word版)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科 B 卷)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i ? i
C. 4 ? 3i D. 4 ? 3i

B. ?4 ? 3i

2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1, 2, 4? D. U

3.若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? A. (4, 6) B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) D. (2, 2)

??? ?

??? ?

??? ?

4.下列函数为偶函数的是 A. y ? sin x B. y ? x3 C. y ? e x D. y ? ln

x2 ? 1

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. 3 B. 1
°

C. ?5
°

D ?6

6.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?
2 2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交 于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 A. 105 B. 16 C. 15 D. 1
第 1 页 共 13 页

10.对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?? .若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , ? ??

? ? ? ? ?n ? ? ?? a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 ? ? ? 和 ? ? ? 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a ? b ? ?2 ? ? 4?
A.

5 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ?

x ?1 的定义域为________________________. x
1 2 ,则 a1a3 a5 ? _______________. 2

12.若等比数列 {an } 满足 a 2 a 4 ?

13.由整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据位 _______________________.(从小到大排列) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C2 的

? 2t ?x ? 1 ? ? x ? 5 cos? ? ? ? 2 ( 为参数) 则曲线 C 和曲线 C 参数方程分别为 ? ( ? 为参数,0 ? ? ? ) ? 和 , t 1 2 2 ? y ? 5 sin ? 2t ?y ? ? ? ? 2 ?
的交点坐标为 .

15. (几何证明选讲选做题)

? 如图 3, 直线 PB 与圆 O 相切与点 B, 是弦 AC 上的点, PBA ? ?DBA , A mA , n D 若 D ?C

? , AB= 则



A P D O · C
图3

B
第 2 页 共 13 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A cos( (1) 求 A 的值; (2) 设 ? , ? ? [0,

x ? ? ? ), x ? R ,且 f ( ) ? 2 . 4 6 3 4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

?
2

], f ( 4? ?

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com)

17. (本小题满分 13 分) 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .
(1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数. 分数段 x :y

?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90?
1:1 2:1 3:4 4:5

第 3 页 共 13 页

18. (本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

19. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ,数列 ?sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * . (1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 上. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4x 相切,求直线 l 的方程.
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 a 2 b2

第 4 页 共 13 页

21. (本小题满分 14 分)
2 设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? x ? R x ? 0 , A ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6a ? 0 , D ? A ? B .

?

?

?

?

(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数

f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

第 5 页 共 13 页

2012 广东高考数学(文科)参考答案
一、选择题参考答案: 1-5:BAADC 第 10 解析: 由定义知:
b?a ? b ? a | b | ? | a | cos? n | a | 2 cos? ? ? ? ? ?(1) a?a | a|?| a| 2 |b| n

6-10:BCBCD

a ? b | a | ? | b | cos? n |a| 2 cos2 ? n a?b ? ? ? ? ? cos?将( )代入得: 1 ? , b?b |b|?|b| 2 |b| n 2
因为 ? ? ,取 ( ,) ??

? ?

?
3

4 ,2

,n 取 1,即可得答案

1 2

二、填空题答案:
12: [?1,0) ? (0,??) 13:
1 4

(注意,写成集合形式也给分

{x | ?1 ? x ? 0} ? {0 ? x ? ??}

14: 1 1 3 3 15: 参数方程极坐标:
(?1,?2)(2,1)

几何证明选做题: m n
? 1 ? ? f ( ) ? A cos( ? ? )????????????????1分 3 4 3 6 ? 2 ? 2 ????????????????3分 16.、解: ? A cos ? A ? 4 2 ? A ? 2??????????????????????? 4分

第 6 页 共 13 页

4 f (4? ? ? ) 3 1 4 ? ? 2 cos[ (4? ? ? ) ? ] 4 3 6 ? 2 cos(? ? ) ???????????????5分 2 30 ? ?2 sin ? ? ? ??????????????? 6分 17 15 ? sin ? ? ??????????????? 7分 17 2 f (4? ? ? ) 3 1 2 ? ? 2 cos[ (4 ? ? ? ) ? ] 4 3 6 8 ? 2 cos ? ? 5 4 ? cos ? ? ???????????????????????8分 5 由于?,? ? [0, ], 2 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (
(2) :

?

?

15 2 8 ) ? ???????????????9分 17 17

4 3 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? ???????????????10分 5 5 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ???????????????11分 8 4 15 3 ? ? ? ? 17 5 17 5 13 ? ? ???????????????????????????12分 85

17. 解 (1):

10 ? (a ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? a) ? 1?????????????2分 a ? 0.005?????????????????????????3分

(2):50-60 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005? 100% ? 100 ? 5人????? 3.5 分 60-70 段语文成绩的人数为: 10? 0.04?100% ?100 ? 40人?????? 4 分 70-80 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.03? 100% ? 100 ? 30人 80-90 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.02 ? 100% ? 100 ? 20人??????5分
第 7 页 共 13 页

90-100 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005? 100% ? 100 ? 5人??????5.5

55? 5 ? 65? 40 ? 75? 30 ? 85? 20 ? 95? 5 ??????????? 7.5 100 ? 73????????????????????????????8分 x?
(3):依题意: 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人………………………………9 分 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半= 70-80 段数学成绩的的人数为=

1 ? 40 ? 20人 ……10 分 2

4 ? 30 ? 40人 ………………………………………11 分 3 5 ? 20 ? 25人 ………………………………………12 分 80-90 段数学成绩的的人数为= 4
90-100 段数学成绩的的人数为= 100? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10人 ……………………13 分

18. 解:
? PH为?P AD中的高

(1) ? PH :

? AD

又AB ? 面P AD, PH ? 平面P AD ? PH ? AB AB ? AD ? A 所以P H ? 平面A D B C

…………………………………………………………………………4 分
(2):过 B 点做 BG BG ? CD,垂足为G ;
连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ? BPH 的中位线

?由(1)知:PH ? 平面ABCD

? EM ? 平面ABCD
?EM? 平面BCF
即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高
EM= 1 1 PH ? 2 2

S ?BCF ?

1 FC ? BG = 1 ? 1 ? 2 ? 2 ………………………………………………………………………6 分 2 2 2

1 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM 3 1 2 1 ? ? ? 3 2 2 2 ? 12
………………………………………………………………………………………………………………………8 分

(3) 取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ :

第 8 页 共 13 页

? AB // CD , CD ? 平面P AD ? AB ? 平面P AD, PA ? 平面P AD ? AB ? PA 又 ? EN是?P AB的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 1 又 ? DF ? AB 2 ?四边形NADF是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N

? AB ? 平面NEF 又EF ? 平面NEF ? EF ? AB ?四边形NADF是距形 ? AB ? NF NF ? NE ? N ? AB ? 平面NEF

…………………………………………………………………………………………………………………13 分

19. 解:(1):

a1 ? 2a1 ?12 ………………………………………………3 分
a1 ? 1…………………………………………………………5 分
(2)

Tn ? 2Sn ? n 2 ??? ① Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ?1) 2 ??? ②…………………………6 分
①-②得:

Sn ? 2an ? 2n ? 1 ……………… ③………………………7 分
在向后类推一次

Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ?1) ? 1……… ④…………………………8 分
③-④得:

an ? 2an ? 2an?1 ? 2 …………………………………………9 分 an ? 2an?1 ? 2 …………………………………………………10 分 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) ……………………………………………12 分 {an ? 2}是以首项为 1 ? 2 ? 3, 公比为2的数列…………13 分 a

第 9 页 共 13 页

?an ? 2 ? 3? 2n?1 ?an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ………………………………………………14 分

20、 解:(1):依题意:c=1,…………………………………………………………………………1 分
则: a
2

? b 2 ? 1,…………………………………………………………………………2 分
x2 y2 ? 2 ? 1………………………………………………………………3 分 b ?1 b
2

设椭圆方程为:

将 P(0,1) 点坐标代入,解得: b 2 ? 1 …………………………………………………………4 分 所以

a 2 ? b2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2
2

故椭圆方程为: x …………………………………………………………………………5 分 ? y2 ? 1 2

(2)设所求切线的方程为: y ? kx ? m ……………………………………………6 分
? y ? kx ? m ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ? 2

消除 y
(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? (2m2 ? 2) ? 0

?1 ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2) ………7 分
化简得:

2m 2 ? 2k 2 ? 1????? ①………………………………………………………8 分
同理:联立直线方程和抛物线的方程得:

? y ? kx ? m ? 2 ? y ? 4x
消除 y 得:

k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ?2 ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0
化简得:
……………………………………………………………………9 分

km ? 1???????? ②
4 2

…………………………………………………………………………10 分

将②代入①解得: 2k ? k ? 1 ? 0 解得: k ? 1, (k ? ?
2 2

1 舍去),故 k ? 1, 或者 k ? ?1 2

当k ? 1时,m ? 1,当k ? ?1时,m ? ?1 ………………………………………………………12 分

故切线方程为: y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1 …………………………………………………14 分

第 10 页 共 13 页

21. 解: (1) 集合 B 解集:令 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0

? ? [?3(1 ? a)]2 ? 4 ? 2 ? 6a
? 3(3a ? 1)(a ? 3)

(1):当

1 ? ? 0 时,即: ? a ? 1时 ,B 的解集为: {x | x ? R} 3

此时 D ? A ? B ? A ? {x ? R | x ? 0) (2)当 ? ? 0时,解得 a ?

1 , (a ? 3舍去) 3

此时,集合 B 的二次不等式为:

2x2 ? 4x ? 2 ? 0 ,

( x ? 1)2 ? 0 ,此时,B 的解集为: {x ? R, 且x ? 1}
故: D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) (3)当 ? ? 0时, 0 ? a ? 即 此时方程的两个根分别为:

1 ( a ? 3舍去) 3

x1 ?

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 4 ( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 4
1 3

x2 ?

很明显, 0 ? a ? 时, x2 ? x1 ? 0 故此时的

D ? A? B ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) ? (0, ( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 ( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 )?( ,??) 4 4
1 3 31 时, D ? (0, (1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ) ? (( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ,??) 3 4 4

综上所述: 当0 ? a ? 当a ? 当

1 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) 3

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) 3

第 11 页 共 13 页

(2) 极值点,即导函数的值为 0 的点。 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 6x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 0 即 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
( x ? a)(x ? 1) ? 0
此时方程的两个根为:

x1 ? a x2 ? 1
(ⅰ)当 0 ? a ?

1 时, D ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) 3

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 ( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 即:D ? 0, ( ) ( ? ,??) 4 4
x1 ? a 3 ? a ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) 4 将分子做差比较: ? (3 ? a ) 2 ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) ? 8a (3 ? a ) 1 ?0 ? a ? 3 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? x1 ? a
故当 x ? a时,可以取到极值,极 值点为(a,3a2 ? a3 )

x1 ?1 ?

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 (3a ? 1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ?1 ? 4 4
分子做差比较:
2

(3a ?1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8(3a ?1) ? 0
所以 x1 ? 1

又 x2

?1 ?

( ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 31 ?1 4

?

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a) 4

分子做差比较法:

第 12 页 共 13 页

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a)2 ? 8(1 ? 3a) ? 0 ,
故 x2

? 1 ,故此时 x ? 1 时的根取不到,
1 16 1 ) 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) ,此时,极值点取不到 x=1 极值点为( , ? 3 3 27
和 (a,3a
2

(ⅱ) 当a

?

(ⅲ) 当

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) ,极值点为: (1,3a ? 1) 3

? a3 )

总上所述:

1 a ? 时, f (x) 有 1 个 极值点为( ,3a 2 ? a3 ) a 3 1 1 16 ) 当 a ? 时, f (x ) 有 1 个极值点为( , ? 3 3 27 1 时 当 ? a ? 1 , f (x ) 有 2 个极值点分别为为: (1,3a ? 1) 3
当0 ?

和 (a,3a

2

? a3 )

第 13 页 共 13 页


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