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专题19抛物线-2016-2018年高考数学(理)试题分项版解析

考纲解读明方向 考点 1. 抛物线的定义 掌握 及其标准方程 2. 抛物线的几何 掌握抛物线的定义、几何图 掌握 性质 3. 直线与抛物线 掌握 的位置关系 分析解读 解答题 形、标准方程及简单性质 解答题 选择题 ★★★ 解答题 选择题 ★★★ 内容解读 要求 常考题型 选择题 ★★★ 预测热度 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式 .2.会根据抛物线的标准方程研究得出几 何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的 问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主 ,分值约 为 12 分,属偏难题. 2018 年高考全景展示 1. 【2018 年理新课标 I 卷】设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,过点(–2,0)且斜率为 的直线与 C 交于 M, 2 N 两点,则 A. 5 B. 6 = C. 7 D. 8 【答案】D 点睛:该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先 需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出 于抛物线的方程求得 ,之后借助 ,最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求 得结果,也可以不求点 M、N 的坐标,应用韦达定理得到结果. 2. 【2018 年浙江卷】如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y =4x 上存在不同的两点 A,B 2 满足 PA,PB 的中点均在 C 上. (Ⅰ)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴; (Ⅱ)若 P 是半椭圆 x + =1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围. 2 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) 【解析】分析: (Ⅰ)设 P,A,B 的纵坐标为 ,根据中点坐标公式得 PA,PB 的中点坐标,代入抛物线 方程,可得 可表示 ,即得结论, (Ⅱ)由(Ⅰ)可得△PAB 面积为 ,利用根与系数的关系 为 的函数,根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围. 详解: (Ⅰ)设 , , .因为 , 的中点在抛物线上,所以 , 为方程, 即 轴. 的两个不同的实数根.所以 .因此, 垂直于 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,所以 , . 因此, 的面积 .因此, .因为 面积的取值范围是 . ,所以 点睛:求范围问题,一般利用条件转化为对应一元函数问题,即通过题意将多元问题转化为一元问题,再 根据函数形式,选用方法求值域,如二次型利用对称轴与定义区间位置关系,分式型可以利用基本不等式, 复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性,再根据单调性确定值域. 3. 【2018 年理北京卷】已知抛物线 C: =2px 经过点 (1,2) .过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两 个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N. (Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围; (Ⅱ)设 O 为原点, , ,求证: 为定值. 【答案】(1) 取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)(2)证明过程见解析 详解:解: (Ⅰ)因为抛物线 y =2px 经过点 P(1,2) ,所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y =4x. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0) .由 .依题意 得 2 2 ,解得 k<0 或 0<k<1.又 PA,PB 与 y 轴相交, 故直线 l 不过点(1,-2) .从而 k≠-3.所以直线 l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1) . (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由(I)知 , .直线 PA 的方程为 y–2= .令 x=0,得点 M 的纵坐标为 .同理得点 N 的纵坐 标为 .由 , 得 , .所以 .所以 定值. 为 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求 定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显 现. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 1,理 10】已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 2 C 交于 A、B 两点,直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 A.16 【答案】A 【解析】试题分析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), D( x3 , y3 ), E( x4 , y4 ) ,直线 l1 方程为 y ? k1 ( x ? 1) B.14 C.12 D.10 ? y2 ? 4x ?2k12 ? 4 2k12 ? 4 2 2 2 2 联立方程 ? 得 k1 x ? 2k1 x ? 4x ? k1 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? ? ? k12 k12 ? y ? k1 ( x ? 1) 同理直线 l2 与抛物线的交点满足 x3 ? x4 ? 2 2k2 ?4 2 k2 由抛物线定义可知 | AB | ? | DE |? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2 p ? 2 2k12 ? 4 2k2 ?4 4 4 16 ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 8 ? 2 2 2 ? 8 ? 16 2 2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 当且仅当 k1 ? ?k2 ? 1 (或 ?1 )时,取得等号. 【考点】抛物线的简单性质 【名师点睛】对于抛物线弦长问题,要重点抓住抛物线定义,到定点的距离要想到转化到

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