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高考数学最常考的重点方法:换元法的全面总结


高考数学最常考的重点方法:换元法 ? ?非标准问题标准化 ? ? ? ?复杂问题简单化 ? ?降次 ?用途? ? ? ?化分式为整式 ? ?化无理式为有理式 换元法 ? ? ? ? ?化超越式为代数式 ? ? ?整体代换 ? ? ?策略?均值代换 ?三角代换 ? ? ? 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就 是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、 复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变 量的取值范围,它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题 中有广泛的应用。 换元的常用策略有:整体代换(有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换、复变量代换) 、三角代换、均 值代换等。 整体代换:在条件或者结论中,某个代数式反复出现,那么我们可以用一个字母来代替它,当然有时候要通过变 形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设 2 =t(t>0) ,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方 程的问题。 三角代换:如果把代数式换成三角式更容易求解时,可以利用代数式中与三角知识的联系进行换元。例如求函数 y = x + 1 ? x 的值域时,易发现 x∈[0,1],设 x=sin α ,α ∈[0, 2 x x x ?cos 2? ? 0 ? 即 ? cos? ? 0 ? sin ? ? 0 ? 3? 5? ? ? ? 2k? ? 解之得 2k? ? 且 ? ? (2k ? 1)? 4 4 2.换元法在不等式中的应用 (k ? J ) 4( a ? 1) 2a (a ? 1)2 例.(高二)设对所于有实数 x,不等式 x log 2 +2x log 2 +log 2 >0 恒成立,求 a 的取值 a a ?1 4a 2 2 范围。 分析:不等式中,log 2 解: 设 log 2 4( a ? 1) 2a ( a ? 1) 2 、 log 2 、log 2 三项有何联系?对它们进行变形后再实施换元法。 a a ?1 4a 2 2a =t ,则 a ?1 4( a ? 1) 8( a ? 1) a ?1 2a log 2 =log 2 =3+log 2 =3-log 2 =3-t , a 2a 2a a ?1 a ?1 (a ? 1)2 log 2 =2log 2 =-2t , 2 2a 4a 代入后原不等式简化为 (3-t)x +2tx-2t>0 ,它对一切实数 x 恒成立, ∴ ? 2 ?3 ? t ? 0 2 ? t ? 0或t ? 6 ? ? ? 4t ? 8t ( 3 ? t ) ? 0 2a 2a ∴ t<0 即 log 2 <0 ,0< <1 ,解之得 0<a<1 。 a ?1 a ?1 点评:本题使用换元法解不等式。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法” 。 3.换元法在函数中的应用 例.(高一)已知 f(x+1)为奇函数,f(x)=x· (x+1) , (x<1)求 x>1 时函数 f(x)的解析式。 解:令 x=t+1(t<0) ,∵ f(x)=x(x+1) (x<1) ,∴ f(t+1)=(t+1) (t+2) , 又 f(x+1)为奇函

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