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数学人教版必修1(B) 函数的单调性 例题解析.doc


函数的单调性 例题解析
【例 1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3|
x 2 ? 2x (2)y= 1?| x ? 1| (3)y= ? x 2 ? 2 x ? 3

解 (1)令 f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 f(x)的图像, 保留其在 x 轴及 x 轴上方部分, 把它在 x 轴下方的图像翻到 x 轴就得到 y=|x2+2x-3|的图像,如图 2.3-1 所示. 由图像易得: 递增区间是[-3,-1],[1,+∞) 递减区间是(-∞,-3],[-1,1] (2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间. 解 当 x-1≥0 且 x-1≠1 时,得 x≥1 且 x≠2,则函数 y=-x. 当 x-1<0 且 x-1≠-1 时,得 x<1 且 x≠0 时,则函数 y=x- 2.</PGN0071B.TXT/PGN> ∴增区间是(-∞,0)和(0,1) 减区间是[1,2)和(2,+∞) (3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1. 令 u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4. 在 x∈[-3, -1]上是 在 x∈[-1, 1]上是 .
而y= u在u≥0上是增函数.

∴函数 y 的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1].

【例 2】函数 f(x)=ax2-(3a-1)x+a2 在[-1,+∞]上是增函数,求实数 a 的 取值范围. 解 当 a=0 时,f(x)=x 在区间[1,+∞)上是增函数.
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当a≠ 0时,对称轴x=

3a ? 1 , 2a

?a> 0 ? 若a> 0时,由 ? 3a ? 1 得 0<a≤1. ≤1, ? ? 2a

若 a<0 时,无解. ∴a 的取值范围是 0≤a≤1. 【例 3】 已知二次函数 y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x=3 的抛 物线,试比较大小: (1)f(6)与 f(4)

(2)f(2)与f( 15)
解 (1)∵y=f(x)的图像开口向下,且对称轴是 x=3,∴x≥3 时,f(x)为减函数, 又 6>4>3,∴f(6)<f(4)

(2)∵对称轴x=3,∴f(2)=f(4),而3< 15<4,函数f(x)在x≥3
时为减函数.
∴f( 15)>f(4) ,即f( 15) >f(2) .
【例4】 判断函数f(x) = ax (a≠ 0) 在区间 ( -1,1) 上的单调性. x ?1 任取两个值 x1、x2∈(-1,1),且 x1<x2.
2



∵f(x 1 ) -f(x 2 ) =

a ( x 1 x 2 ? 1)( x 2 ? x 1 ) 2 ( x1 ? 1)( x 2 2 ? 1)

2 2 ∵-1<x 1 <x 2 <1,x 1 x 2 +1> 0,x 2 -x 1 > 0,x 1 -1< 0,x 1 -1< 0.



( x 1 x 2 ? 1)( x 2 ? x 1 ) >0 2 ( x1 ? 1)( x 2 2 ? 1)

当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上是减函数. 当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上是增函数. 【例 5】 利用函数单调性定义证明函数 f(x)=-x3+1 在(-∞, +∞)上是减函数. 证 取任意两个值 x1,x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2.
2 ∵f(x 2 ) -f(x 1 ) = (x 1 -x 2 )(x 2 2 +x 1 x 2 +x 1 ) 这里有三种证法: 2 2 证法 ( 一 ) 当x 1 x 2 < 0时,x 1 +x 1 x 2 +x 2 2 = (x 1 +x 2 ) -x 1 x 2 > 0 2 当x 1 x 2 ≥ 0时,x 1 +x 1 x 2 +x 2 2 >0

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又∵x1-x2<0,∴f(x2)<f(x1) 故 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
1 3 1 2 证法 ( 二 ) ∵x 1 +x 1 x 2 +x 2 x2 )2 + x2 x 2 = (x 1 + 2 ,这里x 1 + 2 4 2 2 1 与x 2 不会同时为 0,否则若x 1 + x 2 = 0且x 2 = 0,则x 1 = 0这与x 1 <x 2 2 2 2 矛盾,∴x 1 +x 1 x 2 +x 2 > 0.

得 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
2 2 2 2 证法 ( 三 ) 令t=x 2 2 +x 1 x 2 +x 1 ,其判别式Δ =x 1 - 4x 1 =- 3x 1 2 ≤ 0,若Δ = 0时,则x 1 = 0,那么x 2 ≠ 0,∴t=x 2 2 > 0,若Δ =- 3x 1 2 < 0,则t> 0,即x 2 2 +x 1 x 2 +x 1 > 0,从而f(x 2 ) <f(x 1 ) ,∴f(x) 在 ( -∞,

+∞) 上是减函数.
【例6】讨论函数f(x) =x+ 1 的单调性,并画出它的大致图像. x 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),任取定义域内两个值 x1、x2,且 x1<x2.



∵f(x1 ) -f(x 2 ) =(x1 -x 2 )

x1 x 2 ? 1 ,又x1 -x 2 <0, x1 x 2

∴当 0<x1<x2≤1 或-1≤x1<x2<0 时, 有 x1x2-1<0, x1x2>0, f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(0,1],[-1,0)上为减函数. 当 1≤x1<x2 或 x1<x2≤-1 时, 有 x1x2-1>0, x1x2>0, f(x1)>f(x2), ∴f(x) 在(-∞,-1],[1,+∞)上为增函数. 根据上面讨论的单调区间的结果,又 x>0 时,f(x)min=f(1)=2,当 x<0 时, f(x)max=f(-1)=-2.由上述的单调区间及最值可大致 1 画出y=x+ 的图像如图 2 . 3- 2 . x

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说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小. 2°注意对参数的讨论(如例 4). 3°在证明函数的单调性时,要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等.(如例 5) 4°例 6 是分层讨论,要逐步培养.

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