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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程练习 新人教A版选修1-1


2.2.1 双曲线及其标准方程

一、选择题 1.(2015?江西南昌四校联考)已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的 轨迹是( ) B.双曲线左支 D.双曲线右支

A.双曲线 C.一条射线 [答案] C [解析] ∵|PM|-|PN|=|MN|=4, ∴动点 P 的轨迹是一条射线. 2.双曲线 3x -4y =-12 的焦点坐标为( A.(±5,0) C.(± 7,0) [答案] D
2 2

) B.(0,± 5) D.(0,± 7)

[解析] 双曲线 3x -4y =-12 化为标准方程为 - =1,∴a =3,b =4,c =a + 3 4

2

2

y2 x2

2

2

2

2

b2=7,∴c= 7,
又∵焦点在 y 轴上,故选 D. 3.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1+k 1-k A.-1<k<1 C.k≥0 [答案] A [解析] 由题意得(1+k)(1-k)>0, ∴(k-1)(k+1)<0,∴-1<k<1. 4.椭圆 + 2=1 与双曲线 2- =1 有相同的焦点,则 m 的值是( 4 m m 2 A.±1 C.-1 [答案] A [解析] 验证法:当 m=±1 时,m =1, 对椭圆来说,a =4,b =1,c =3. 对双曲线来说,a =1,b =2,c =3, 故当 m=±1 时,它们有相同的焦点.
2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

)

B.k>0 D.k>1 或 k<-1

x2 y2

x2 y2

)

B. 1 D.不存在

直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上,故 4-m =m +2. ∴m =1,即 m=±1. 5.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的 曲线可能是( )
2 2 2

2

2

[答案] C [解析] 把直线方程和曲线方程分别化为 y=mx+n, + =1.根据图形中直线的位

x2 y2 m n

置,判定斜率 m 和截距 n 的正负,从而断定曲线的形状. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点, 线段 AB 的长为 5,若 2a=8,那么△ABF2 的周长是( A.16 C.21 [答案] D [解析] |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a =8, ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5 =26. 二、填空题 7.双曲线的焦点在 x 轴上,且经过点 M(3,2)、N(-2,-1),则双曲线标准方程是 ________. [答案] B.18 D.26 )

x2 y2
7 3

- =1 7 5

[解析] 解法一:设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0) 又点 M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上, 9 4 ? ?a -b =1 ∴? 4 1 ? ?a -b =1
2 2 2 2

x2 y2 a b

7 a= ? ? 3 ,∴? 7 b= ? ? 5
2 2

.

?9m+4n=1 ? 2 2 解 法 二 : 设 双 曲 线 方 程 为 mx + ny = 1(m>0 , n<0) , 则 ? ?4m+n=1 ?

,解得

3 ? ?m=7 ? 5 ?n=-7 ?

.

故所求双曲线的标准方程为 - =1. 7 7 3 5 8.双曲线 -y =1 的一个焦点为 F(3,0),则 m=________. [答案] 8 [解析] 由题意,得 a =m,b =1, ∴c =a +b =m+1,又 c=3, ∴m+1=9,∴m=8. 9.已知定点 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,则另一 个焦点 F 的轨迹是______________. [答案] 以 A,B 为焦点的双曲线的下半支 [解析] ∵A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, ∴|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a, ∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|, ∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA|= 12 +9 - 12 +5 =2<|AB|=14, ∴点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的下半支. 三、解答题 10.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在 x 轴上,c= 6且经过点(-5,2); 15 16 (2)过 P(3, )和 Q(- ,5)两点. 4 3 [解析] (1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意得 25 4 ? ? 2 - 2=1 ?a b ? ?a2+b2=6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2 m

2

x2 y2 a b



解之得 a =5,b =1, 故所求双曲线方程为 -y =1. 5

2

x2

2

(2)设双曲线方程为 Ax +By =1(AB<0),由题意得 225 9A+ B=1 ? ? 16 ?256 ? ? 9 A+25B=1 1 A=- ? ? 16 ,解之得? 1 B= ? ? 9

2

2

.

∴所求双曲线方程为 - =1. 9 16

y2

x2

一、选择题 1.已知双曲线中心在原点,一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 在该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( A. -y =1 4 C. - =1 2 3 [答案] B ) B. x - =1 4 D. - =1 3 2
2

x2

2

y2

x2 y2

x2 y2

x2 y2 5 16 [解析] 由条件知 P( 5,4)在双曲线 2- 2=1 上,∴ 2- 2 =1, a b a b
又 a +b =5,∴?
2 2

? ?a =1 ? ?b =4
2

2

,故选 B.

2. (2015?广州市检测)设 F1、 F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点, P 是双曲线上的一点, 24 且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 [答案] C [解析] 由 3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|, 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1| =8,|PF2|=6,又 c =a +b =1+24=25,∴c=5,∴|F1F2|=10, 1 ∴△PF1F2 为直角三角形,S△PF1F2= |PF1||PF2|=24. 2 3.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M,N 与圆 C 相 切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( A.x - =1(x<-1) 8 C.x + =1(x>0) 8
2 2 2 2 2

2

y2

) B. 8 3 D.48

) B.x - =1(x>1) 8 D.x - =1(x>1) 10
2 2

y2 y2

y2

y2

[答案] B [解析] 定义法:如图,|PM|-|PN|=|BM|-|BN|=2,P 点的轨迹是以 M,N 为焦点, 实轴长为 2 的双曲线的右支.

4.已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则 |PF1|?|PF2|等于( A.2 C.6 [答案] B [解析] 在△PF1F2 中, |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|?cos60°=(|PF1|-|PF2|) +|PF1|?|PF2|, 即(2 2) =2 +|PF1|?|PF2|, 解得|PF1|?|PF2|=4. 二、填空题 5.若方程 + =3 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值范围是________. m-1 m2-4
2 2 2 2 2 2

2

2

) B. 4 D. 8

x2

y2

[答案] (-∞,-2) [解析] 由题意,方程可化为
? ?m -4>0 ∴? ?1-m>0 ?
2

- =3, m -4 1-m
2

y2

x2

,解得 m<-2.
2

y → → 2 6.已知双曲线 x - =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且MF1?MF2=0,则点 M 到 x 2
轴的距离为________. [答案] 2 3 3

[解析] 由条件知 c= 3,∴|F1F2|=2 3, 1 → → ∵MF1?MF2=0,∴|MO|= |F1F2|= 3, 2

x0+y0=3 ? ? 设 M(x0,y0),则? 2 y2 0 x0- =1 ? 2 ?
4 2 3 2 ∴y0= ,∴y0=± . 3 3 2 3 故所求距离为 . 3 三、解答题

2

2



7.设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的 27 36 纵坐标为 4,求此双曲线的方程. [解析] 椭圆 + =1 的焦点为(0,±3), 27 36 由题意,设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0), 又点 A(x0,4)在椭圆 + =1 上,∴x0=15, 27 36

x2

y2

x2

y2

y2 x2 a b

x2

y2

2

y2 x2 16 15 又点 A 在双曲线 2- 2=1 上,∴ 2 - 2 =1, a b a b
又 a +b =c =9,∴a =4,b =5, 所求的双曲线方程为: - =1. 4 5 8.当 0°≤α ≤180°时,方程 x cosα +y sinα =1 表示的曲线如何变化? [解析] (1)当 α =0°时,方程为 x =1,它表示两条平行直线 x=±1. (2)当 0°<α <90°时,方程为
2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2

x2

1 cosα



y2
1 sinα

=1.

①当 0°<α <45°时,0<

1 1 < ,它表示焦点在 y 轴上的椭圆. cosα sinα
2 2

②当 α =45°时,它表示圆 x +y = 2. 1 1 ③当 45<α <90°时, > >0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆. cosα sinα (3)当 α =90°时,方程为 y =1,它表示两条平行直线 y=±1. (4)当 90°<α <180°时,方程为
2

y2

1 sinα



x2

1 -cosα

=1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线.

(5)当 α =180°时,方程为 x =-1,它不表示任何曲线.

2


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