3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学北师大版必修2配套讲义214两条直线交点_图文

成才之路 ·数学
北师大版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
第二章 解析几何初步
第二章 解析几何初步

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
第二章 §1 直线与直线的方程 1.4 两条直线的交点
第二章 解析几何初步

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

1 课前自主预习

3 易错疑难辨析

2 课堂典例讲练

4 课后强化作业

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
课前自主预习
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
2014年7月23日,中国在境内进行了一次陆基中段反导拦 截技术试验,试验达到了预期目的.中段导弹防御系统是用来 对敌方弹道导弹进行探测和跟踪,然后发射拦截导弹,在敌方 弹道导弹尚未到达目标之前,在空中对其进行拦截并将其摧 毁.假若导弹的飞行路线是一条直线,那么如何让拦截导弹在 敌方导弹实施拦截过程中飞行的距离最短呢?
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
设两条不重合的直线方程为 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. 要判断它们是否平行,即看它们的__斜__率____是否相等,如 果不等,则两直线__相__交____.两直线相交,交点一定同时在这 两条直线上,交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解; 反之,如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那 么以这个解为坐标的点,必是直线l1和l2的交点,因此,两条直 线相交,求这两条直线的交点,就是求这两个直线方程的 _公__共__解___.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

1 . 直 线 3x + 2y + 6 = 0 和 2x + 5y - 7 = 0 的 交 点 的 坐 标 为

()

A.(-4,-3)

B.(4,3)

C.(-4,3)

D.(3,4)

[答案] C

[解析] 由方程组?????23xx++52yy-+76==00,, 得?????yx==3-. 4,

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

2.下列直线中,与直线 3x-2y=0 相交的是( )

A.2x+3y+1=0

B.3x-2y+2=0

C.-6x+4y=0

D.y=32x-1

[答案] A [解析] 选项A中的直线斜率与直线3x-2y=0斜率不相 等,两直线相交.B和D选项中的直线与3x-2y=0平行.选项 C中的直线与3x-2y=0重合.

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
3.与直线y=-2x+3平行且与直线y=3x+4交x轴于同一 点的直线方程为________.
[答案] 6x+3y+8=0 [解析] 由题意可得,所求直线的斜率 k=-2,令方程 y =3x+4 中的 y=0,得 x=-43,即直线过点(-43,0),所求直 线方程为 y=-2(x+43),即 6x+3y+8=0.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
4 . 点 P( - 3,4) 关 于 直 线 x + y - 2 = 0 的 对 称 点 Q 的 坐 标 为 __________.
[答案] (-2,5) [解析] 可设出对称点的坐标 Q(x,y), 则yx- +43×(-1)=-1 ①,x-2 3+y+2 4-2=0 ②, 联立解得?????yx==5-2 .
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
5.两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点位于第 二象限,则m的取值范围是__________.
[答案] -32<m<2
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

[解析]



??2x-my+4=0, ???2mx+3y-6=0,

可解得交点的坐标

(33?m+-m22 ?,63++4mm2 ),因为交点在第二象限,

所以33?m+-m22 ?<0,且63++4mm2 >0,

解之得-32<m<2.

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
课堂典例讲练
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
判断两直线的位置关系
分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们 的交点.
(1)l1:2x-y=7,l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0,l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0,l2:y=-2x+3. [思路分析] 当两直线平行时,方程组无解;相交时有唯 一解;重合时有无穷多组解.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[规范解答] (1)方程组?????32xx+-2y=y-77=0 的解为?????xy= =-3 1 , 因此直线 l1 和 l2 相交,交点坐标为(3,-1).
(2)方程组?????42xx--162y+y+48==00 有无数组解,因此直线 l1 与 l2 重合.
(3)方程组?????y4=x+-22y+x+43=0 无解,故直线 l1 和 l2 没有公共点, l1∥l2.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[规律总结] 可以利用两直线方程组成的方程组解的个数 来判断两直线的位置关系.当方程组无解时,两直线平行;当 方程组仅有一组解时,两直线相交;当方程组有无数组解时, 两直线重合.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

若直线 y=kx+3 与直线 y=1kx-5 的交点在直线 y=x 上, 则 k 的值为________.

[答案]

3 5

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

[解析]

由???y=1kx-5, ??y=x

得 x=y=15-kk.

将????15-kk,1-5kk????代入 y=kx+3, 得15-kk=15-k2k+3,解得 k=35.

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
三线共点问题 设三条直线 x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5 交 于一点,求 k 的值. [思路分析] 先求出两条直线的交点,然后代入第三条直 线方程求出k的值.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

[规范解答] 解方程组?????2x-x+2kyy==13,,

得????x=kk++64, ???y=k+1 4.

即前两条直线的交点为(kk++64,k+1 4).

因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,故

有 3k·kk++64+k+4 4=5,解得 k=1 或 k=-136.

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[规律总结] 1.求解三线共点问题的一般方法是:先求出 其中两条直线的交点,然后令该交点在第三条直线上.
2.给出三条直线方程,方程中含有参数,且三条直线构 成三角形,求参数满足的条件,可以先找构不成三角形的条 件,然后求其反面.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
试求三条直线l1:ax+y+1=0.l2:x+ay+1=0.l3:x+y+ a=0构成三角形时a满足的条件.
[解析] 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相 交且不共点.
①若 l1,l2,l3 交于一点,由?????xx++ay+y+a1==00,, 解得?????yx==1-,a-1,
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
将l2,l3的交点(-a-1,1)代入l1的方程, 解得a=1,或a=-2. ②若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1. 当a=1时,l1,l2重合. ③若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1. 当a=1时,l2,l3重合.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
④若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1. 当a=1时,l1,l3重合. 综上,a=1时,l1,l2,l3重合; 当a=-1时,l1∥l2; a=-2时,三条直线交于一点,所以要使三条直线能构成 三角形,需a≠±1,且a≠-2.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
过定点问题 求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x+(m +3)y-(m-11)=0 都经过一个定点,并求出这个定点的坐标. [思路分析] 当m取不同值时,得不同直线,这些直线都 过定点.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[规范解答] 解法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m- 11)=0,
令 m=0,得 x-3y-11=0; 令 m=1,得 x+4y+10=0. 解方程组?????xx-+34yy-+1110==00,, 得两直线的交点坐标为(2,-3).
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得 (2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11) =4m-2-3m-9-m+11=0. 这表明不论 m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
解法二:将已知方程以 m 为未知数, 整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 由于 m 取值的任意性, 有?????-2x+x+y-3y+1=110=,0, 解得?????yx==-2,3. 所以所给的直线不论 m 取什么实数,都经过定点(2,-3).
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[规律总结] (1)分别令参数为两个特殊值,得方程组求出 点的坐标,代入原方程满足,则此点为定点;
(2)曲线过定点,即与参数无关,则参数的同次幂的系数为 0,从而求出定点.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
求证:无论m取何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都恒 过定点.
[解析] 证法一:取 m=1,直线为 y=-4,再取 m=12, 直线为 x=9,两直线的交点为 P(9,-4),将点 P 的坐标代入 原方程左端得(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)×9-(2m-1)×4= m-5.
故不论 m 取何值,点 P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m- 1)y=m-5 上即此直线过定点(9,-4).
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

证法二:把原方程写成(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

此方程对任意实数 m 都成立,则必有

??x+2y-1=0, ???x+y-5=0,

解得?????yx==-9,4.

所以无论 m 取何值,此直线恒过定点 P(9,-4).

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
对称问题 求点 A(-2,3)关于直线 l∶3x-y-1=0 对称的 点 A′的坐标. [思路分析] 写出AA′的方程,求出AA′与l的交点,转化为 点的对称问题.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

[规范解答] 解法一:由题意,设 A′(x0,y0),直线 AA′ 的方程为 y-3=-13(x+2),与 3x-y-1=0 联立方程组得

???y-3=-13?x+2?, ??3x-y-1=0,

解得?????yx==21., 所以直线 AA′与 l 的交点

坐标为 P(1,2).因为点 A,A′关于直线 l 对称,也关于点 P 对

称,所以???????xy00-+22 23= =12, ,

解得?????xy00= =41., 所以点 A 关于直线 l 的

对称点为 A′(4,1).

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2

解法二:设 A′(x0,y0),则 kAA′=-13,且 AA′的中点在 直线 l 上.

所以???????yx300×-+x320=-2 -2-13y0+2 3-1=0



解得?????xy00= =41 , 所以 A′点的坐标为(4,1).

第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[规律总结] 运用两直线的交点和对称的性质求点的坐 标.解决此类问题要注意点关于直线对称的几何特征是垂直且 平分.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
一光线从 M(-3,1)发出,经 x 轴反射后,射到 y 轴上,再 经 y 轴反射后,反射光线的斜率为-12,求光线与 x 轴交点的坐 标.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
[解析] 设光线与 x 轴交点 A(a,0),M 点关于 x 轴对称点为 M′(-3,-1),则 kM′A=a+1 3.
又经 y 轴反射前后光线与 y 轴夹角相等, ∴kM′A=12,即a+1 3=12,∴a=-1. 即光线与 x 轴的交点坐标为(-1,0).
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
易错疑难辨析
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
已知直线 l1∶x+my+6=0,l2∶(m-2)x+3y+ 2m=0,当 m 为何值时,直线 l1 与 l2:①相交;②平行;③重 合?
[错解] (1)由m-1 2≠m3 ,得 m≠-1 且 m≠3,这时 l1 与 l2 相交;(2)当 m=-1 时,l1 与 l2 平行;(3)当 m=3 时,l1 与 l2 重合.
[辨析] 错误在于忽略了对直线方程中系数为0时的讨论.
第二章 §1 1.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修2
课后强化作业
(点此链接)
第二章 §1 1.4


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com