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三角函数的图像和变换以及经典习题和答案


【典型例题】 [例 1](1)函数 y ? 位是 (1)

3 x ? sin( ? ) 的振幅是 2 2 6
;初相是

;周期是 .

;频率是

;相

3 ; 2

1 x ? ? ; ? ; 4? 2 6 6

(2)函数 y ? 2sin(2 x ?

?

3

) 的对称中心是


;对称轴方程是

;单调增区间是 (2)(

k? ? k? 5? ? , 0), k ? Z ; x ? ? ,k ?Z ; 2 6 2 12

5? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? z ? ? 12 ? 12 ?

(3) 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量

? ? ? a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图 ? 6 ?
象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ? )

?

) 3 (3)C 提示:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 3

?

6

) )

B. y ? sin( x ?

?
6

)

D. y ? sin(2 x ?

?

? ? ? ? a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, 6 ? 6 ? 7? ? 3? ?( ? ) ? ,所以 ? ? 2 . 12 6 2
x ? (4) 为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像 3 6

上所有的点 (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移 (4)C





?
6

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3

?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6

? ?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

先 将 y ? 2 sin x, x ? R 的 图 象 向 左 平 移

y ? 2sin( x ? ), x ? R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标 6 x ? 不变)得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像 3 6

?

? 个单位长度,得到函数 6

1

[例 2] 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 3sin 2? x,(其中0 ? ? ? 1) , 若直线 x ?

?
3

为其一条

对称轴。 (1)试求 ? 的值 (2)作出函数 f ( x ) 在区间 [ ?? , ? ] 上的图象. 解: (1) f ( x) ? 2cos2 ? x ? 3sin 2? x ? 1 ? cos 2? x ? 3sin 2? x

? 2 s i n? (2 x? x?

?
6

?)

1 1

2?? ? ? ? )? 3 3 6 2? ? ? ? 1 3 ? ? ? k? ? , k ? Z?? ? ? k (k ? Z ) 3 6 2 2 2 1 0 ? ? ? 1? ? ? 2

?

是 y ? f ( x) 的一条对称轴? s i n (

[例 4]设函数 f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? x cos ? x ? a (其中 ? ? 0, a ? R ) 。且 f ( x ) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 [? 解: (I) f ( x) ?

? . 6

? 5?

, ] 上的最小值为 3 ,求 a 的值. 3 6

3 1 3 ? 3 cos 2? x ? sin 2? x ? ? ? ? sin(2? x ? ) ? ?a 2 2 2 3 2

依题意得 2? ?

?
6

?

?
3

?

?
2

?? ?

1 . 2

(II)由(I)知, f ( x) ? sin( x ?

?
3

)?

? 5? 3 ? ? .又当 x ? [? , ] 时, 3 6 2

x?

?
3

? [0,

7? 1 ? ? π 5π ? ] ,故 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,从而 f ( x) 在区间 ? ? , ? 6 2 3 ? 3 6?

上的最小值为 3 ? ?

1 3 3 ?1 ? ? a ,故 a ? . 2 2 2

【课内练习】 1.若把一个函数的图象按 a ? ( ? 象的函数解析式是
?
3

? ,-2)平移后得到函数 y ? cos x 的图象,则原图 3


?
3


?
?
3 3

(A)y ? cos(x ? ) ? 2 (B)y ? cos(x ? ) ? 2 (C)y ? cos(x ? ) ? 2 (D)y ? cos(x ? ) ? 2 1.D 提示:将函数 y ? cos x 的图象按 ? a 平移可得原图象的函数解析式

2

3.若函数 f(x)=sin(ω x+ ? )的图象(部分)如下图所示,则 ω 和 ? 的取值是 (



y

1 ? -? O2 3 3
A.ω =1, ? =
π 3

x

π 1 π 1 π C.ω = , ? = D.ω = , ? =- 2 2 3 6 6 2π π 2π 1 3.C 提示:由图象知,T=4( + )=4π = ,∴ω = . 2 3 3 ? 2π 1 2π 又当 x= 时,y=1,∴sin( × + ? )=1, 2 3 3 π π π + ? =2kπ+ ,k∈Z,当 k=0 时, ? = . 3 2 6

B.ω =1, ? =-

4.函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,得到的图象关于直线 x ? 则 ? 的最小值为 ( )

?
6

对称,

( A)

5? 12

(B)

11? 6

(C )

11? 12

( D) 以上都不对

4.A ∴ 2?

提示:平移后解析式为 y ? sin(2 x ? 2? ) ,图象关于 x ?

?
6

对称,

?
6

? 2? ? k? ?

?
2

(k ?Z ) ,∴ ? ? ?

∴当 k ? ?1 时, ? 的最小值为

5? . 12

k ? ? ? (k ?Z ) , 2 12

8.若函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2a(sin x ? cos x) ? a ? b 的定义域为 [0, 为 [?5,1] ,求 a , b 的值. 解:令 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

?
2

] ,值域

? t 2 ?1 ,又 x ? [0, ] ,故 t ?[1, 2] 2 2

所以 y ? at ? 2at ? b ? a(t ?
2

2 2 1 ) ? b ? a ,由题意知: a ? 0 2 2

1.

当 a ? 0, t ?[1, 2] 得: ?

?(1 ? 2a) ? b ? ?5 ? 解之得 a ? 6( 2 ? 1), b ? 1 ? ?b ? 1

2.

当 a ? 0, t ?[1, 2] 得: ?

? ?(1 ? 2a) ? b ? 1 解之得 a ? ?6( 2 ? 1), b ? ?5 (舍 ? ?b ? ?5

去) 综上知: a ? 6( 2 ? 1), b ? 1
3

4


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