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2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):平面向量的概念及其线性运算


第一节 平面向量的概念及其线性运算 [备考方向要明了] 考 什 么 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含 义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 怎 么 考 1.主要考查平面向量的有关 概念及线性运算、共线向量 定理的理解和应用,如 2012 年浙江 T5,辽宁 T3 等. 2.考查题型为选择题或填空 题. [归纳· 知识整合] 1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 定义 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为零的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线向量.规定:0 与任 一向量平行 相等向量 相反向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 [探究] 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗?两向量共线是指两向量的方向一致吗? 提示:方向相同或相反的一组非零向量,叫做平行向量,又叫共线向量,是同一个概念.显然 两向量平行或共线,其方向可能相同,也可能相反. 2.两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同? 提示:平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同,两向量平 行时,两向量可以在同一条直线上. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:a+b=b+ 加法 求两个向量和的运 算 a (2)结合律:(a+b)+c =a+(b+c) 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算叫 做 a 与 b 的差 (1)|λa|=|λ||a| 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相 同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相 反;当 λ=0 时,λa=0 λ ( μ a ) =( λ μ ) a (λ+μ)a=λa+μ a λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b) [探究] 3.λ=0 与 a=0 时,λa 的值是否相等? 提示:相等,且均为 0. 4.若|a+b|=|a-b|,你能给出以 a,b 为邻边的平行四边形的形状吗? 提示:如图,说明平行四边形的两条对角线长度相等,故四边形是矩 形. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. [探究] 5.当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λa,反之成立吗? 提示:成立. [自测· 牛刀小试] 1.下列说法中正确的是( ) A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为零 C.长度相等的两个向量是相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量 解析:选 B 由于零向量与任意向量平行,故选项 A 错误;长度相等且方向相同的两个向量 是相等向量,故 C 错误;方向相同或相反的两个非零向量是共线向量,故 D 错误. 2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于( ??? ? ) ??? ? 1 ??? ? A.- BC + BA 2 ??? ? 1 ??? ? C. BC - BA 2 解析:选 A ??? ? 1 ??? ? B.- BC - BA 2 ??? ? 1 ??? ? D. BC + BA 2 ??? ? ???


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