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2013理科二模-上海市虹口区高三数学

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——虹口区数学(理科)

2013 年上海市虹口区高三年级二模试卷——数学(理科)
2013 年 4 月

(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)

1、函数 f (x) ? (2k ?1)x ?1在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是



2、已知复数 z ? (1 ? i)3 ,则 z ?



1? i

3、已知 cos? sin? ? 1 ,则 cos2(? ? ? ) ?



sin ? cos? 3

4、设

(1

?

2

x

)

n

展开式中二项式系数之和为

a

n

,各项系数之和为

b

n

,则

lim
n??

an an

? bn ? bn

?



5、已知双曲线与椭圆 x2 ? y2 ?1有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ? 1 x ,则此双曲线方程

16 6

2





6、如果 log a 4b ? ?1,则 a ? b 的最小值为



7、数列?an ?的通项 an

?

n ? sin

n? 2

,前 n 项和为 S n

,则 S13

?



8、设 F1 、 F2 是椭圆

x2 4

?

y2

? 1的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1PF2

?

? 2

,则 ?F1PF2 的面

积等于



9、从集合?1, 2, 3?的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素个数为? ,则

? 的数学期望 E? ?



10、对于 x ? R ,不等式 2 ? x ? 1? x ? a2 ? 2a 恒成立,则实数 a 的取值范围是



11、在 ?ABC中, AB ? 1, AC ? 2 , (AB ? AC) ? AB ? 2 ,则 ?ABC面积等于



12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积最大值等





13、设 an ? log n?1 (n ? 2) (n ? N ? ) ,称 a1a2a3 ?ak 为整数的 k 为“希望数”,则在 (1, 2013 ) 内所有“希

望数”的个数为



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14、已知函数

f

(x)

?

x2

? (a ?1)x ? 2a 2x2 ? ax ? 2a

?

2

的定义域是使得解析式有意义的 x

的集合,如果对于定义域

内的任意实数 x ,函数值均为正,则实数 a 的取值范围是



二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

15、直线

?x

? ?

y

? ?

1? 1?

2t t

的倾斜角等于(



? A.

? B.

C. arctan 1

D. arctan2

6

3

2

16、已知函数 y ? 2sin(x ? ? ) cos(x ? ? ) 与直线 y ? 1 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为

2

2

2

M1 , M 2 , M 3 ,……,则 M1M13 等于( )

A. 6?

B. 7?

C. 12?

D. 13?

17、若 ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? , m? R ,如果有? 3 ? sin? ? m ? 0 , (? ? ? )3 ? cos? ? m ? 0 ,

2

2

2

则 cos(? ? ? ) 值为( ).

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 1

2

18、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱.上.到异面直线 AB , CC1的距离相等的点的个数为( )

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

三、解答题(满分 74 分)
19、(本题满分 12 分)如图, PA ? 平面 ABCD,矩形 ABCD的边 长 AB ? 1, BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)证明: PE ? DE ; (2)如果 PA ? 2,求异面直线 AE 与 PD所成的角的大小.
B

P
A E

D C

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20、(本题满分 14 分)在 ?ABC中,角 A ,B ,C 所对的边长分别为 a ,b ,c ,向量 m ? (2sin B, 2cosB) , n ? ( 3 cosB, ? cosB) ,且 m ? n ? 1 . (1)求角 B ; (2)若 b ? 2,求 ?ABC的面积的最大值.
21、(本题满分 14 分)已知复数 zn ? an ? bn ? i ,其中 an ? R , bn ? R , n ? N ? , i 是虚数单位,且 zn?1 ? 2zn ? zn ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列?an ?, ?bn ?的通项公式;
(2)求和:① a1a2 ? a2a3 ? ? ? an an?1 ;② b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1)n?1bnbn?1 .
22、(本题满分 16 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) . (1)当直线 l 过点 M ( p, 0) 时,证明 y1 ? y2 为定值; (2)当 y1 y2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p, 0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l? 交抛物线 C 于两个不同点 D 、 E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 N .问是否存在一条直线和一个 定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.

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23、(本题满分 18 分)定义域为 D 的函数 f (x) ,如果对于区间 I 内 (I ? D) 的任意两个数 x1 、 x2 都有

f

( x1

? 2

x2

)

?

1[ 2

f

(x1 )

?

f

(x2 )]成立,则称此函数在区间 I

上是“凸函数”.

(1)判断函数 f (x) ? lg x 在 R? 上是否是“凸函数”,并证明你的结论; (2)如果函数 f (x) ? x2 ? a 在[1, 2] 上是“凸函数”,求实数 a 的取值范围;
x (3)对于区间[c, d ]上的“凸函数” f (x) ,在[c, d ]上任取 x1 , x2 , x3 ,……, xn .



证明:

当n

?

2k ( k ? N ? )时,

f ( x1

? x2

??? xn ) ? n

1 n

[

f

(

x1

)

?

f (x2) ???

f (xn )]成立;

② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n ,

证明:

f

( x1

?

x2

??? n

xn

)

?

1[f n

(x1 ) ?

f

(x2 )

???

f

(xn )]也成立.

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高中数学辅导:

虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(理)

一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)

1、(? ?, 1 ) ; 2
6、1; 7、7;

2、2; 8、1;

3、? 7 ; 9 9、 12 ; 7

4、?1;

5、x 2 ? y 2 ? 1 ; 82

10、[?1, 3] ;

11、 3 ; 2

12、 2 2 ; 3

13、9;

14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

15、 C ; 16、A;

17、 B ;

18、 C ;

三、解答题(满分 74 分)

P

19、(12 分) 解:(1)连 AE ,由 AB ? BE ?1,得 AE ? 2 ,

同理 DE ? 2 ,? AE2 ? DE2 ? 4 ? AD2 ,由勾股定理逆定

A

D

理得 ?AED ? 90? ,? DE ? AE.……………………3 分
B
由 PA ? 平 面 A B C D, 得 PA ? DE . 由 DE ? AE ,

E

C

PA ? DE PA? AE ? A,得 DE ? 平面 PAE.? PE ? DE .…………6 分

(2)取 PA的中点 M ,AD的中点 N ,连 MC 、NC 、MN 、AC .? NC // AE ,MN // PD ,

? ?MNC 的大小等于异面直线 PD与 AE 所成的角或其补角的大小.………………8 分

由 PA ? 2,AB ? 1,BC ? 2 ,得 NC ? MN ? 2 ,MC ? 6 ,? cos?MNC ? 2 ? 2 ? 6 ? ? 1 ,
2? 2? 2 2

?MNC ? 2? .?异面直线 PD与 AE 所成的角的大小为 ? .…………12 分

3

3

注:用向量解相应给分.

20、(14 分)解:(1)? m ? n ? 1 ,? 2sin B ? 3 cos B ? 2 cos2 B ? 1 , 3 sin 2B ? cos 2B ? 2 ,

sin(2B ? ? ) ? 1 ,……………………5 分 6

又 0 ? B ? ? ,? ? ? ? 2B ? ? ? 11? ,? 2B ? ? ? ? ,? B ? ? ………………7 分

6

66

62

3

(2)? b ? 2,b2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? cosB ,? 4 ? a2 ? c2 ? 2ac ? cos? ,即 4 ? a2 ? c2 ? ac …9 分 3

? 4 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.…12 分

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高中数学辅导:

S?

?

1 ac ? sin 2

B

?

3 ac ? 4

3 ,当 a ? b ? c ? 2 时, (S?ABC )max ?

3 .…………14 分

21、(14 分)解:(1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 .

由 zn?1 ? 2zn ? zn ? 2i 得 an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,

?

???bann??11

? ?

3an bn ?

2

………………3



?数列?an ?是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列?bn ?是以 1 为首项公差为 2 的等差数列,

? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1 .……………………6 分

? ? (2)①由(1)知 an

?

3n?1 ,?

ak ak ?1 ak ?1ak

? 32 ,?数列

an an?1

是以 3 为首项,公比为 32 的等

比数列.?

a1a2

?

a2 a3

???

an an?1

?

3(1 ? 32n ) 1?9

?

32n?1 8

?

3 8

.………………9



②当 n ? 2k , k ? N ? 时,

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1)n?1bnbn?1 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k?1b2k ? b2k b2k?1 )

?

?4b2

? 4b4

? ? ? 4b2k

?

?4(b2

? b4

? ? ? b2k )

?

?4 ? k(b2

? b2k ) 2

?

?8k 2

? 4k

?

?2n 2

? 2n

当 n ? 2k ?1, k ? N ? 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1)n?1bnbn?1
? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k?1b2k ? b2k b2k?1 ) ? b2k?1b2k?2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ?1)(4k ? 3) ? 2n2 ? 2n ?1 又 n ? 1也满足上式

? b1b2

? b2b3

?

b3b4

? b4b5

???

(?1) n?1 bnbn?1

?

??2n 2 ? ???? 2n 2

2n ? 1 ? 2n

当n为奇数时………14 当n为偶数时



?x ? my ? p

22、(16 分)解:(1)l 过点 M ( p,

0) 与抛物线有两个交点,设 l

:

x

?

my

?

p

,由

? ?

y

2

?

2 px

得 y 2 ? 2 pmy ? 2 p 2 ? 0 ,? y1 ? y2 ? ?2 p 2 .……………………4 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意).

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高中数学辅导:

?y ? kx? b



? ?

y

2

?

2 px

得 ky2

? 2 py

? 2 pb

?

0 .? y1 y2

?

2 pb k

?

? p ,从而 b

?

?k 2

.………6



从而

y

?

kx

?

k 2

,得

(x

?

1)k 2

?

y

?

0

,即

??x ? ?? y

? ?

1 2 0

,即过定点 (1 2

,

0) .………………8 分

当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x0 , 代 入 y 2 ? 2 px 得 y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 ,

? y1 y2 ?

2 px0 ? (?

2 px0

)

?

?2 px0

?

?p

,从而 x0

?

1 2

,即 l

:

x

?

1 2

,也过 (1 , 2

0) .

综上所述,当

y1 y2

?

? p 时,直线 l 过定点 (1 , 2

0) .…………10 分

(3)依题意直线 l

的斜率存在且不为零,由(1)得点 P

的纵坐标为

yP

?

1 2

( y1

?

y2 )

?

pm ,

代入 l : x ? my ? p 得 xP ? pm2 ? p ,即 P( pm2 ? p, pm) .

由于 l? 与 l 互相垂直,将点 P 中的 m

用?

1 m

代,得 Q( p m2

?

p,

? p ) .…………12 分 m

设 N(x,

y)

,则

???x ?

? ??

y

? ?

1p 2 (m2

?

1 ( pm ? 2

p? p) m

pm2

?

p) 消m



y2

?

p (x ? 2 p) 2

………………14



由抛物线的定义知存在直线 x ? 15 p ,点 (17 p , 0) ,点 N 到它们的距离相等.………16 分

8

8

23、(18 分)解:(1)设 x1 , x2 是 R? 上的任意两个数,则

f (x1 ) ?

f

(x2

)

?

2

f

(

x1

? 2

x2

)

?

lg

x1

?

lg

x2

? 2 lg

x1 ? x2 2

? lg 4x1x2 (x1 ? x2 )2

? lg1 ? 0

?

f ( x1

? x2 ) ? 2

1 2 [ f (x1 ) ?

f (x2 )].?函数

f (x) ? lg x 在 R? 上是

“凸函数”.……4 分

(2)对于 [1,

2] 上的任意两个数

x1 ,

x2

,均有

f

( x1

? 2

x2 )

?

1[ f 2

(x1 ) ?

f

(x2 )] 成立,即

( x1 ? x2 )2 ? 2

a x1 ? x2

?

1 2

[(x12

?

a x1

)

?

( x22

?

a x2

)]

,整理得

(x1

?

x2

)2

a

?

?

1 2

(x1

?

x2

)

2

x1 x2

( x1

?

x2

)

2

………………7 分

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高中数学辅导:

若 x1 ? x2 , a 可以取任意值.



x1

?

x2 ,得 a

?

?

1 2

x1 x2 (x1

?

x2 ) ,?

?8

?

?

1 2

x1 x2 (x1

?

x2 )

?

?1,?

a

?

?8 .

综上所述得 a ? ?8.………………10 分

(3)①当 k

? 1 时由已知得

f

( x1

? x2 2

)

?

1[ f 2

(x1 ) ?

f

(x2 )]成立.

假设当 k

?

m

(m ?

N?)

时,不等式成立即

f

( x1

?

x2 ??? 2 m?1

x2k

)

?

1 2m

[

f

(x1 ) ?

f

(x2

)

???

f

(x2m

)]

成立.

那么,由 c ? x1 ? x2 ? ? ? x2m ? d , c ? x2m ?1 ? x2m ?2 ? ? ? x2m ?2m ? d

2m

2m

得 f ( x1 ? x2 ? ? ? x2m?1 ) ? f {1 [ x1 ? x2 ? ? ? x2m ? x2m ?1 ? x2m ?2 ? ? ? x2m ?2m ]}

2 m?1

2

2m

2m

? 1 [ f ( x1 ? x2 ? ? ? x2m ) ? f ( x2m ?1 ? x2m ?2 ? ? ? x2m ?2m )]

2

2m

2m

?

11 {
2 2m

[f

(x1) ?

f

(x2 ) ???

f

(x2m )]?

1 2m

[f

(x2m ?1 ) ?

f

(x2m?2 ) ? ??

f

(x2m?1 )]}

?

1 2 m?1

[

f

(x1 ) ?

f

(x2 )

???

f

(x2m?1 )].

即 k ? m ?1时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.……………………15 分

②比如证明 n ? 3不等式成立.由①知 c ? x1 ? d , c ? x2 ? d , c ? x3 ? d , c ? x4 ? d ,



f

( x1

?

x2

? 4

x3

?

x4

)

?

1[ 4

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

f

(x3 ) ?

f

(x4 )] 成立.

?

c

?

x1

?

d

,c

?

x2

?

d

,c

?

x3

?

d

,c

?

1 3

(

x1

?

x2

?

x3 )

?

d



?

f

( x1

?

x2 3

?

x3 )

?

f

(

x1

?

x2 3

?

x3

? 4

x1

?

x2

?

x3 )

?

1[ 4

f

( x1

?

x2 3

?

x3 ) ?

f

(x1) ?

f

(x2 ) ?

f

(x4 )],

从而得

f

( x1

?

x2 3

?

x3

)

?

1[ 3

f

(x1 ) ?

f

(x2 ) ?

f

(x3 )] .………………18



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