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高考数学复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲一元二次不等式文北师大版2

第 2 讲 一元二次不等式 1.(2015·高考上海卷)下列不等式中,与不等式 ( ) A.(x+8)(x2+2x+3)<2 C. 1 2 < x +2x+3 x+8 2 x+8 <2 解集相同的是 x +2x+3 2 B.x+8<2(x2+2x+3) D. x2+2x+3 1 > x+8 2 解析:选 B.依题意,注意到 x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,因此不等式 x+8 <2 等价于 x+8<2(x2+2x+3),故选 B. x +2x+3 2 2.已知关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)<0 的解集是(-∞,-1)∪ ? 1 ? ?- ,+∞?,则 a=( ? 2 ? A.2 C.- 1 2 ) B.-2 D. 1 2 1 解析:选 B.根据不等式与对应方程的关系知-1,- 是一元二次方程 ax2 2 1 ? 1? +x(a-1)-1=0 的两个根,所以-1×?- ?=- ,所以 a=-2,故选 B. 2 a ? ? ?x+2,x≤0, 3.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集为( - x + 2 , x>0 , ? A.[-1,1] C.[-2,1] B.[-2,2] D.[-1,2] ) 解析:选 A.法一:当 x≤0 时,x+2≥x2, 所以-1≤x≤0;① 当 x>0 时,-x+2≥x2,所以 0<x≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}. 法二:作出函数 y=f(x)和函数 y=x2 的图像,如图,由图知 f(x)≥x2 的解 集为[-1,1]. ?|3x-4|,x≤2, 4.(2016·广东省联合体联考)已知函数 f(x)=? 2 则使 ,x>2, ?x-1 f(x)≥1 的 x 的取值范围为( 5? ? A.?1, ? 3? ? ?5 ? C.(-∞,1)∪? ,+∞? ?3 ? ) ?5 ? B.? ,3? ?3 ? ?5 ? D.(-∞,1]∪? ,3? ?3 ? ?x>2, ?x≤2, 解析:选 D.不等式 f(x)≥1 等价于? 2 或? 解之得 x≤1 ≥1 ?|3x-4|≥1, ?x-1 5 ?5 ? 或 ≤x≤3,所以不等式的解集为(-∞,1]∪? ,3?,故选 D. 3 ?3 ? 5.关于 x 的不等式 x2-(a+1)x+a<0 的解集中,恰有 3 个整数,则 a 的取 值范围是( A.(4,5) C.(4,5] ) B.(-3,-2)∪(4,5) D.[-3,-2)∪(4,5] 解析:选 D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当 a>1 时得 1<x<a,此时解集 中的整数为 2,3,4,则 4<a≤5,当 a<1 时得 a<x<1,则-3≤a<-2,故 a∈[- 3,-2)∪(4,5]. 6.若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 均成立, 则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-2,2] B.(-2,2) D.(-∞,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) 解析:选 A.原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,①当 m=2 时,对任 意的 x 不等式都成立;②当 m-2<0 时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0, 所以-2<m<2, 综合①②,得 m 的取值范围是(-2,2]. ?-|x+1|,x≤0, 7.(2016·合肥一模)已知函数 f(x)=? 2 ?x -1,x>0, 则不等式 f(x)<0 的解集为________. 解析:若 x>0,由 f(x)<0 得 x2-1<0,解得 0<x<1.若 x≤0,由 f(x)<0 得- |x+1|<0,解得 x≤0 且 x≠-1,综上不等式的解为 x<1 且 x≠-1,即不等式的 解集为(-∞,-1)∪(-1,1). 答案:(-∞,-1)∪(-1,1) 1? ? 8.若 0<a<1,则不等式(a-x)?x- ?>0 的解集是________. a? ? 1? 1 1 ? 解析:原不等式即(x-a)?x- ?<0,由 0<a<1 得 a< ,所以 a<x< . a a a ? ? ? 1? ? ? ? 答案:?x?a<x< ? a ? ? ? ? ? 9.(2016·九江一模)若关于 x 的不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有 解,则实数 a 的取值范围是________. 解析: 不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1, 4)内有解等价于 a<(x2-4x-2)max, 令 g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),所以 g(x)<g(4)=-2,所以 a<-2. 答案:(-∞,-2) 10.已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则实数 x 的取值范围为________. 解析: 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数, 记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x +4), 则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,易知只需 f(-1)=x2-5x+ 6>0,且 f(1)=x2-3x+2>0 即可,联立不等式解得 x<1 或 x>3. 答案:{x|x<1 或 x>3} ? ? ? ?1 ? 11.若不等式 ax2+5x-2>0 的解集是?x? <x<2?. 2 ? ? ? ? ? (1)求实数 a 的值; (2)求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集. 1 解:(1)由题意知 a<0,且方程 ax2+5x-2=0 的两个根为 ,2,代入解得 a 2 =-2. (2)由(1)知不等式为-2x2-5x+3>0, 1 即 2x2+5x-3<0,解得-3<x< , 2 1? ? 即不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集为?-3, ?. 2? ? 1.已知集合 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R,A ∩B=(3,4],则有( A.a=3,b=4 C.a=-3,b=4 ) B

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