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人教版高中数学必修五典型例题学习方法技巧


高中数学必修五典型例题学习方法技巧 第一章 解三角形 一、基础知识【理解去记】 在本章中约定用 A , B , C 分别表示 △ ABC 的三个内角, a, b, c 分别表示它们所对的各边长, p? a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ ABC 外接圆半径)。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△ ABC 的面积为 S△ ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2 推论 2:在△ ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足 a b ? ,则 a=A. sin a sin(? ? a) 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到, 这里不再给出, 下证推论。 先证推论 1, 由正弦函数定义, 1 ab sin C ;再证推论 2,因为 B+C= ? -A,所以 sin(B+C)=sinA,即 2 a b ? sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推论 4,由正弦定理 ,所 sin A sin B sin a sin(? ? a) 1 1 ? 以 ,即 sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA,等价于 ? [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= ? [cos( ? sin A sin(? ? A) 2 2 ? -a+A< ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A, -a+A)-cos( ? -a-A)], 等价于 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A), 因为 0< ? -A+a, BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ ABC= 所以 a=A,得证。 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? cos A ? b2 ? c2 ? a2 ,下面用余弦定理证明几个常用的结论。 2bc ( 1 )斯特瓦特定理【了解】:在 △ ABC 中, D 是 BC 边上任意一点, BD=p , DC=q ,则 AD2= b2 p ? c2q ? pq. p?q (1) 【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ? ADB , 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ?ADB . ① 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ?ADC , ② ? 因为 ? ADB+ ? ADC= , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得 b2 p ? c2q ? pq. qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD = p?q 2 2 2 2 注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD ? (2) 海伦公式: 因为 S ?ABC 2 2 2 2 ? 2 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 ? b c sin A= b c (1-cos A)= b c ?1 ? [(b+c) ?? 4b 2 c 2 4 4 4 ? ? 16 -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). a?b?c . 2 所以 S△ ABC= p( p ? a)( p ? b)( p ? c). 这里 p ? 二、基础例题【必会】 1.面积法 例 1 (共线关系的张角公式)如图所

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