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(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第5讲 圆锥曲线中的定点、定值与范围课件 理


专题九 解析几何

第 5讲

圆锥曲线中的定点、定值与范围

专题九 解析几何

2016考向导航 历届高考考什么? 1.圆锥曲线中的定点 问题 2.圆锥曲线中的定值 问题 3.圆锥曲线中的范围( 最值)问题 卷Ⅱ,T20 卷Ⅰ, T20(2) 卷Ⅱ,T20(2) 卷Ⅰ,T20(2) 2015 三年真题统计 2014 2013

专题九 解析几何

2016会怎样考?

圆锥曲线中定点、定2值和范围问题是考试的重点,理清元 素之间的关系,是有效、快速求解的关键

1.必记概念与定理 (1)圆锥曲线的最值与范围问题 ①几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则 考虑利用图形性质来解决; ②代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值. (2)圆锥曲线的定点与定值问题 ①定点:是在变化中所表现出来的不变的点,那么就可以用变量 表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、 数量积、 比例关系中不受变量所影响的某个点, 就是要求的定点.

②定值:是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度 数、直线的斜率等 )的大小或某些代数表达式的值等和题目中 的参数无关,不随参数的变化而变化,而始终是一个确定的 值. (3)圆锥曲线中的存在性问题 ①所谓存在性问题, 就是判断满足某个(某些 )条件的点、 直线、 曲线(或参数 )等几何元素是否存在的问题. ②这类问题通常以开放性的设问方式给出,若存在符合条件 的几何元素或参数值,就求出这些几何元素或参数值;若不 存在,则要求说明理由.

(4)圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、 曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直 线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直 线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等 ).

2.辨明易错易混点 (1)建立求解目标的函数关系式,关键是选择合理的变元,如 果变元不能完全表达求解目标,则解题就无法进行,解最值 和范围问题要注意选取的变元一定要完全表达求解目标所需 的各个量,同时不应忽视变元的范围. (2)求解定点、定值 问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例 关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响 的量.

考点一

圆锥曲线中的定值问题

(2015· 高考全国卷Ⅱ, 12 分 )已知椭圆 C:9x2+ y2= m2(m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两 个交点 A, B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m ? (2)若 l 过点? 3 , m? ?,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能, 说明理由.

[解 ]

(1)证明:设直线 l:y= kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),

B(x2, y2), M(xM, yM). 将 y=kx+ b 代入 9x2+ y2= m2,得 (k2+ 9)· x2+2kbx+ b2-m2 x1+x2 - kb 9b = 0,故 xM= = 2 , yM= kxM+b= 2 . 2 k +9 k +9 yM 9 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- , xM k 即 kOM?k=-9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.

(2)四边形 OAPB 能为平行四边形. m ? 因为直线 l 过点? 3 , m ? ?,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点 的充要条件是 k>0, k≠3. 9 由 (1)得 OM 的方程为 y=- x. k 设点 P 的横坐标为 xP. 9 ? 2 2 ?y=- kx, k m 2 由? 得 xP= 2 , 9k + 81 2 2 2 ? ? 9x + y = m , 即 xP= ± km 3 k +9
2

.

m( 3-k) m ? ? 将点? 3 , m?的坐标代入直线 l 的方程得 b= , 3 k(k-3)m 因此 xM= . 3(k2+ 9) 四边形 OAPB 为平行四边形,当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM. k(k-3)m 于是 =2? , 解得 k1=4- 7, k2= 4+ 7. 2 2 3(k + 9) 3 k +9 ± km 因为 ki>0, ki≠3, i=1,2,所以当直线 l 的斜率为 4- 7或 4+ 7时,四边形 OAPB 为平行四边形.

[名师点评] 求解圆锥曲线的定值问题的基本思想方法 (1)设置问题,列出一般性式子; (2)化简所列式子, “自然出现”常数(定值); (3)有的问题事实上就是恒成立问题,可用恒成立思想与方法 解决.

已知双曲线 C: 9x2- y2= m2(m>0)的左,右顶点分别为 A, B, P 是双曲线上非顶点的任意一点. (1)求证直线 PA 的斜率与 PB 的斜率乘积为定值; (2)设 PO 与 C 的另一个交点为 Q,①求证四边形 PAQB 为平 行四边形.②若四边形 PAQB 的面积最大值为 6,求双曲线 方程.

解:(1)证明:由双曲线方程 9x2-y2= m2(m>0)知左、右顶点 m m 的坐标分别为 A(- , 0), B( , 0). 3 3 设 P(x0, y0)是 C 上不同于 A, B 的任意一点.
2 2 则 9x2 - y = m . 0 0

y2 0 ∴ kPA?kPB= ? = m m 2 m2 x0+ x0- x0- 3 3 9 y0 y0
2 9y0 9 y2 0 = 2 = =9. 2 9x0- m2 y0

所以直线 PA 的斜率与 PB 的斜率乘积为定值 9.

(2)①证明:由双曲线的对称性质知, P 与 Q 关于原点 O 对 称.即 OP= OQ,又 OA= OB, ∴四边形 PAQB 为平行四边形. ② S?PAQB= |AB|· |y0| 2m 2 = 9x2 - m 0 3 2 2 = - m4+ 9x2 m 0 3 2 = 3 9 2 2 81 4 -(m - x0) + x 0. 2 4
2

9 2 2 9 2 ∴当 m = x0时, Smax= ? x0= 3x2 0= 6. 2 3 2
2 2 ∴ x2 0= 2,此时 m =9. 2 y 此时双曲线方程为 9x2- y2=9,即 x2- = 1. 9

1.已知动点 Q 与两定点 (- 2,0),( 2,0)连线的斜率的乘 1 积为- ,点 Q 形成的轨迹为 M. 2 (1)求轨迹 M 的方程; → → (2)过点 P(-2,0)的直线 l 交 M 于 A, B 两点,且PB= 3PA, 平行于 AB 的直线与 M 位于 x 轴上方的部分交于 C, D 两点, 过 C, D 两点分别作 CE, DF 垂直 x 轴于 E, F 两点,求四 边形 CEFD 面积的最大值.

y y 1 解:(1)设 Q(x,y),则 ? =- (x≠ ± 2),化简得 2 x+ 2 x- 2 x2 2 轨迹 M 的方程为 + y = 1(x≠ ± 2). 2 (2)由 (1)知直线 l 的斜率不为 0, 设直线 l 的方程为 x=my-2, 代入椭圆方程得 (m2+ 2)y2-4my+ 2=0, Δ =8(m2-2). 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 4m 2 则 y1+y2= 2 ①, y1y2= 2 ②. m +2 m +2 → → 由PB= 3PA,得 y2= 3y1③ . 由①②③可得 m2=4.经检验,满足 Δ>0.

不妨取 m= 2,设直线 CD 的方程为 x=2y+ n,代入椭圆方程 得 6y2+ 4ny+ n2- 2= 0,Δ =8(6- n2), 设 C(x3, y3), D(x4, y4), n2- 2 2 则 y3+y4=- n, y3y4= , 3 6 又由已知及 Δ>0,可得 2<n2<6. 又 |x3- x4|= 2|y3- y4| 2 12- 2n2 = , 3 1 则 S 四边形 CEFD= |y3+ y4||x3-x4| 2

2 2 2 2 2 6 2 2 2 = n ( 6- n )≤ ? = , 9 9 2 3 当且仅当 n2= 3 时等号成立. 2 2 所以四边形 CEFD 面积的最大值为 . 3

x2 2 2.如图, 已知双曲线 C:2- y =1(a>0) a 的右焦点为 F.点 A, B 分别在 C 的两 条渐近线上, AF⊥ x 轴, AB⊥ OB, BF∥ OA(O 为坐标原点 ). (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0, y0)(y0≠0)的直线 l: 2 - y0y= 1 与直线 a 3 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 2 |MF| 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF|

解:(1)设 F(c,0),因为 b=1, 所以 c= a2+1, 1 直线 OB 方程为 y=- x, a 1 直线 BF 的方程为 y= (x- c), a c c? ? 解得 B 2,- . ? 2a ? 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? -- ? 2a ? 3 a c? ? 则 A c, , kAB= = . ? a? c a c- 2

3 ? 1? 又因为 AB⊥ OB,所以 ??-a?=- 1, a 解得 a2= 3, x2 2 故双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 (2)证明:由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 x0x-3 x0x - y0y= 1(y0≠ 0),即 y= . 3 3 y0 因为直线 AF 的方程为 x= 2, 2x0- 3? ? 所以直线 l 与 AF 的交点 M 2, ; 3 y ? 0 ?

3 ? ? x - 3 3 0 ?. 直线 l 与直线 x= 的交点为 N?3 2 2 ?2, 3y ? ? 0 ? ( 2x0- 3) 2 2 2 ( 3 y ) |MF| 0 则 = 3 |NF|2 ( x0-3) 2 2 1 + 4 ( 3y0) 2 ( 2x0- 3) 2 = 2 9y0 9 + ( x0-2)2 4 4
2 4 ( 2x0- 3) = · 2 . 3 3y0+ 3( x0-2)2

因为 P(x0, y0)是 C 上一点,
2 x0 则 - y2 0= 1,代入上式得 3

( 2x0- 3) 2 |MF|2 4 = ·2 |NF|2 3 x0 - 3+ 3( x0-2) 2
2 4 ( 2x0- 3) 4 = · 2 = , 3 4x0- 12x0+ 9 3

|MF| 2 2 3 所求定值为 = = . 3 |NF| 3

考点二

圆锥曲线过定点问题

已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点 2 到焦点的距离的最小值为 2- 1,离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P,Q 两点,试问:在 x 轴上是 → → 否存在一个定点 M,使MP?MQ为定值?若存在,求出这个 定点 M 的坐标;若不存在,请说明由.

[解 ]

x 2 y2 (1)设椭圆 E 的方程为 2+ 2 a b

? ? a-c= 2-1, = 1(a>b>0),由已知得?c 2 ? ?a= 2 , ?a= 2, 解得? ?c= 1.
所以 b2= a2- c2= 1. x2 2 所以椭圆 E 的方程为 + y =1. 2

(2)假设存在符合条件的点 M(m,0), 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), → → → → 则MP= (x1- m, y1), MQ= (x2- m, y2), MP? MQ= (x1- m)(x2 - m)+ y1y2=x1x2- m(x1+ x2)+m2+ y1y2. ①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y= k(x- 1),由
2 x ? ? 2 + y2= 1, ?

? ?y=k(x-1),

得 x2+ 2k2(x-1)2-2=0,

即 (2k2+ 1)x2- 4k2x+2k2-2=0,

2 2 k -2 4k 则 x1+ x2= 2 , x1x2= 2 , 2k + 1 2k + 1 2

y1y2=k2(x1- 1)(x2-1)= k2[x1x2- (x1+x2)+1] k2 =- 2 , 2k + 1
2 2 4k2 k → → 2k - 2 所以MP?MQ= 2 - m· 2 + m2- 2 = 2k + 1 2k + 1 2k + 1

( 2m2-4m+ 1) k2+(m2- 2) . 2 2k + 1 → → 因为对于任意的 k 的值,MP?MQ为定值, 5 所以 2m - 4m+1=2(m -2),得 m= . 4
2 2

5 7 → → ? ? 所以 M 4, 0 ,此时MP?MQ=- . ? ? 16 ②法一:当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,则 1 5 x1+x2= 2, x1x2=1, y1y2=- ,由 m= , 2 4 7 → → 得MP? MQ=- . 16 法二:当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x= 1, 2 2 则 x1= x2=1, y1= , y2=- , 2 2

5 若 m= , 4 → → 则MP? MQ= (x1- m, y1)· (x2- m, y2) 1 2 1 2 = (- , )· (- ,- ) 4 2 4 2 1 1 7 = - =- . 16 2 16 5 ? 综上,符合条件的点 M 存在,且坐标为 4, 0 ?. ? ?

[名师点评] 求圆锥曲线恒过定点问题的思想方法 (1)从目标出发,引进参数(一般是直线的斜率或倾斜角); (2)根据条件列出关系式; (3)化成恒等问题(一般化成 f(x,y)+λg(x,y)=0 恒成立);
? ?f( x, y)= 0 (4)由? 求出点(x, y),即是恒过的点. ? ?g(x, y)= 0

x 2 y2 1 椭圆 C: 2+ 2= 1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且与对 2 a b 称轴垂直的弦长为 3. (1)求椭圆的方程. (2)过椭圆 C 的上顶点 B 的两条互相垂直的直线分别交 C 于 M、 N 两点,求证直线 MN 恒过定点,并求出该定点坐标.

x 2 y2 解:(1)椭圆 C: 2+ 2= 1 的右焦点 F(c, 0),过 F 与对称轴 a b 垂直的直线方程为 x= c. x 2 y2 c 1 3 将 x= c 代入 2+ 2=1,由 e= 且 e= ,得 y= ± b, 2 2 a b a 又∵过右焦点 F 且与对称轴垂直的弦长为 3, ∴ 2|y|= 3,即 b= 3,再由 a2= b2+c2,解得 a= 2, x 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + = 1. 4 3

(2)证明:由题意知,过点 B 互相垂直的两条直线的斜率都存 1 在,设它们的斜率分别为 k 与- . k 1 则其方程分别为 y= kx+ 3与 y=- x+ 3. k
2 2 x y ? ? 4 + 3 =1 ?- 8 3k 由? 解得交点 M? 2, ? 3 +4 k ? ?y= kx+ 3

- 4 3k2+3 3? ?, 2 3+4k ?

? 8 3k 3 3k2-4 3 ? 同理可得 N? 2 , ?, 2 3k + 4 ? ?3k + 4
则直线 MN 的斜率 k′ 3 3k2-4 3 - 4 3k2+3 3 - 3k2+ 4 3 +4 k 2 8 3k - 8 3k - 3k2+ 4 3+4k2



3(k2- 1) = , 7k - 4 3k2+3 3 ∴直线 MN 的方程为 y- 3+4k2

3(k2- 1) - 8 3k = (x - ), 7k 3+4k2 令 x= 0,得 y=- 故不论 k 为何值, 直线 MN 恒过定点?0,- 3 , 7 3? . 7 ?

?

考点三 圆锥曲线中的范围问题

x 2 y2 过椭圆 C: 2+ 2= 1(a>b>0)上顶点 B 与左焦点 F 且斜 a b 4 率为 1 的直线 l 与 C 的另一个交点为 A, |AB|= 2, 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)P 是以 O 为圆心,且与直线 l 相切的圆上一点,求 |PA|2+ |PB|2 的范围.

[解 ]

(1)由题意知 B(0, b), F(- c,0),

b-0 ∵直线 l 的斜率为 1,∴ = 1,即 b= c, 0+ c x 2 y2 ∴椭圆方程为 2+ 2= 1,① 2b b 直线 l 的方程为 y= x+b,代入①得 3x2+ 4bx= 0, 4b 解之得 x= 0 或 x=- ,当 x= 0 时不合题意, 3 4b b? ? 则 A 点的坐标为?- 3 ,-3?, ∴ |AB|=
2 2 4 b ?- b ? +?- - b? ? 3 ? ? 3 ?

4 = 2, 3 ∴ b= 1,∴ a2=2, x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 + y = 1. 2 4 1? ? (2)法一:由 (1)知 A -3,-3 , ? ? B(0, 1),直线 l 的方程为 x- y + 1= 0, 1 2 则圆的半径 r= = , 2 2

1 ∴圆 O 的方程为 x + y = . 2
2 2

1 设 P(x0, y0)是圆 O: x + y = 上的点, 2
2 2



1 2 2 x0+ y0= , 2

∴ |PA|2+ |PB|2
2 2 4 1 2 =?x0+3? + ?y0+3 ? +x2 + ( y - 1) 0 0 ? ? ? ?

8 4 26 2 2 = 2x0+ 2y0+ x0- y0+ 3 3 9 8 4 35 = x 0 - y0 + . 3 3 9

2 2 2 8 4 8 4 2 ? ∵由二维柯西不等式可得?3x0-3y0 ? ≤ ? ? + ?- ? ? (x2 + y ? ? ??3 ? ? 3 ? ? 0 0 ) 40 = , 9

2 10 8 4 2 10 ∴- ≤ x0- y0≤ , 3 3 3 3 35 2 10 35 2 10? ? ∴ |PA| + |PB| 的范围为 - . , + ?9 3 9 3 ?
2 2

4 1? ? 法二:∵ A -3,-3 , B(0,1), ? ? 直线 l 方程为 x- y+1= 0, 1 2 ∵⊙ O 与直线 l 相切,∴半径 r= = , 2 2

设 P?

2 2 ? cos θ , sin θ ,则 ?2 2 ?
2

2 4 |PA|2+ |PB|2= ? cos θ + ? + ?2 3? 1? ? 2 ? 2 ? sin θ + + cos θ + ?2 3? ? 2 ?
2 2

? 2 ? sin θ - 1 ?2 ?

2

4 2 35 = 2cos θ - 2sin θ + 3 3 9 2 10 35 = cos(θ+ φ)+ , 3 9

2 5 5 其中 cos φ = , sin φ = , 5 5 ∵-1≤ cos(θ+ φ)≤ 1, ∴ |PA|2+ |PB|2 的取值范围是

?35 2 10 35 2 10?. ?9- 3 ,9+ 3 ?

[名师点评 ] 圆锥曲线中求范围问题的思想方法 (1)从目标关系出发,引进参数; (2)根据条件列出目标函数(或目标式子 ); (3)根据目标函数(式子 )选择求其值域 (范围)的数学方法并讨论 特殊情况.

如图, 动点 M 与两定点 A(-1, 0)、 B(2,0)构成△ MAB,且∠ MBA= 2∠ MAB.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=-2x+ m 与 y 轴 |PR| 相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且 |PQ|< |PR|,求 |PQ| 的取值范围.

解:(1)设 M 的坐标为(x, y),显然有 x>0,且 y≠ 0. 当∠MBA= 90°时,点 M 的坐标为(2,± 3). 当∠MBA≠ 90°时,x≠2,由∠ MBA= 2∠ MAB,有 tan∠ 2tan∠ MAB MBA= , 1- tan2∠ MAB |y| 2 x+1 |y| 即- = 2. | y | x-2 1-?x+1 ? ? ? 化简可得 3x2- y2-3= 0.

而点(2,± 3)在曲线 3x2- y2- 3= 0 上, 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2- y2-3= 0(x>1).
? ?y=- 2x+ m, (2)由? 2 2 消去 y,可得 ? ?3x - y - 3= 0

x2-4mx+m2+ 3= 0.(*) 由题意,方程(*)有两根且均在 (1,+∞)内,设 f(x)= x2- 4mx + m2+ 3,

? ? 所以? f( 1)= 1 -4m+ m +3>0, ? ?Δ =(-4m) -4(m +3)>0.
- 4m - >1, 2
2 2 2 2

解得 m>1 且 m≠2. 设 Q, R 的坐标分别为 (xQ, yQ), (xR, yR), 由 |PQ|<|PR|有 xR= 2m+ 3( m2-1), xQ=2m- 3( m2-1),
2 2+ |PR| xR 2m+ 3( m -1) 所以 = = = 2 |PQ| xQ 2m- 3( m -1) 2-

1? ? 3?1-m2? 1? ? 3?1-m2?

=-1+ 2-

4 1? ? 1 - 3? m2 ?



由 m>1 且 m≠ 2,有

1<- 1+ 2-

4 1? ? 3?1-m2 ? 4 1? ? 3?1-m2 ?

<7+4 3,

且-1+ 2-

≠ 7.

|PR| 所以 的取值范围是 (1,7)∪ (7,7+4 3). |PQ|


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