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【测控指导】2018版高中数学人教A版选修2-2课件:1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念_图文

1.1.1 变化率问题

1.1.2 导数的概念

-1-

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典例透析

1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

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1.如何理解瞬时变化率? 剖析:瞬时变化率的实质是平均变化率在自变量的改变量趋近于 0时的值,其作用是刻画函数在x=x0处变化的快慢. 2.如何理解导数的概念? 剖析:导数是研究在 x=x0 及其附近函数值的改变量 Δy 与自变量

的改变量 Δx 之比的极限,它是一个局部性的概念,即若 lim 它表示一个定数,则函数 f(x)在 取极限时,一定要把 式.
y 变形到当Δx→0 x

y 存在, Δ →0 x y x=x0 处的导数应是一个定数.当对 x

时,分母是一个非零常数的形

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3.如果函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数,那么函数f(x)在 任意闭区间[x1,x2]上的平均变化率的值的正负如何? 剖析:如果函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数,那么函数f(x) 在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数;反之,如果函数f(x) 在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数,那么f(x)在区间(∞,+∞)内也一定是增(或减)函数.

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证明:任取 x1∈R,x2∈R,且 x1<x2. 因为函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增(或减)函数, 所以 f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2)). 所以 即函数 f(x)在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数. 如果函数 f(x)在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数, 那么 又因为 x2>x1, 所以 f(x2)>f(x1)(或 f(x2)<f(x1)). 所以函数 f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数.
(2 )-(1 ) 2 -1 (2 )-(1 ) 2 -1

=

Δ Δ

>0 或

(2 )-(1 ) 2 -1

=

Δ Δ

<0 ,

>0 或

(2 )-(1 ) 2 -1

<0 .

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平均变化率的求法 【例 1】 求 y=f(x)=2x2+1 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当

x0=1,Δx=

1 时平均变化率的值. 2

分析:解答本题要紧扣平均变化率的定义,先求自变量的改变量, 再求函数值的改变量,然后代入公式求解. 2 解:因为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)2+1-(20 + 1) = 40·Δx+2(Δx)2, 所以函数 f(x)=2x2+1 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为

Δ 40 · Δ + 2(Δ)2 = = 40 + 2Δ . Δ Δ
1 2 1 2

当 x0=1,Δx= 时, 平均变化率为 4×1+2× = 5.

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反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄 清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步 骤是:

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【变式训练1】 已知函数y=f(x)=2x2+3x-5.
Δ ; Δ Δ (2)求当 x1=4,且 Δx=0.1 时,函数值的改变量 Δy 和平均变化率 . Δ

(1)求当 x1=4,且 Δx=1 时,函数值的改变量 Δy 和平均变化率

解:∵f(x)=2x2+3x-5, ∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1) 2 =2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(21 + 31 ? 5) =2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx =2(Δx)2+(4x1+3)Δx. Δ 21 (1)当 x1=4,Δx=1 时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,故 = = 21. (2)当 x1=4,Δx=0.1 时, Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92,
Δ 1

Δ 1.92 故 = = 19.2. Δ 0.1

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求函数在某点处的导数

【例 2】 求函数 y=f(x)=x? 在 = 1 处的导数.
分析:解答本题要紧扣导数的定义,函数 f(x)=x? 在x=1 处的导 数就是 f(x)=x? 在x=1 处的瞬时变化率.
1 1

1

解:∵Δy=(1+Δx)? =Δx+1?
1 1+Δ

=

1 1 ? 11+Δ 1 Δ Δ + , 1+Δ

Δ 1 ∴ = . Δ Δ 1 + Δ y 1 ∴ lim = 1 + = 2, Δ →0 x x →0 1 + Δ
从而 f'(1)=2.

Δ +

Δ 1 + Δ = 1 +

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反思由导数的定义,我们可以得到求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的 方法: (1)求函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率
Δ Δ

(3)取极限,得导数

(0 +Δ)-(0) ; Δ y f'(x0)= lim . Δ →0 x

=

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【变式训练 2】 求函数 y=
解:∵Δy=
4 (Δ+2)2

4 在 2
4

= 2 处的导数.
(Δ)2+4Δ (Δ+2)2

?

4 22

=

∴f'(2)=

y lim Δ →0 x

Δ Δ + 4 ∴ =? . 2 Δ (Δ + 2)
Δ+4
x →0 (Δ+2)2

(Δ+2)2

?1=?

,

= ?

= ?1.

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函数变化率的应用 【例3】 若某物体运动的方程如下:(位移s:m,时间t:s) 3 2 + 2, ≥ 3, s=f(t)= 29 + 3(-3)2 ,0 ≤ < 3. 求:(1)物体在[3,5]这段时间内的平均速度; (2)物体的初速度v0; (3)物体在t=1时的瞬时速度. 分析:解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式,再 根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度.

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解:(1)因为物体在[3,5]这段时间内时间的变化量为 Δt=5-3=2, 物体在[3,5]这段时间内位移的变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, Δ 48 所以物体在[3,5]这段时间内的平均速度为 = = 24(m/s). (2)求物体的初速度 v0,即求物体在 t=0 时的瞬时速度. 因为物体在 t=0 附近位移的平均变化率为
Δ 2

Δ (0 + Δ)-(0) 29 + 3[(0 + Δ)-3]2 -29-3(0-3)2 = = Δ Δ Δ
=3Δt-18, 所以物体在 t=0 处位移的瞬时变化率为

即物体的初速度 v0 为-18 m/s.

s lim = (3Δ ? 18) = ?18, Δ →0 t t →0

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(3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为物体在 t=1 时位移的瞬时变化 率. 因为物体在 t=1 附近位移的平均变化率为

所以物体在 t=1 时位移的瞬时变化率为

Δ (1 + Δ)-(1) = Δ Δ 29 + 3[(1 + Δ)-3]2 -29-3(1-3)2 = = 3Δ ? 12, Δ Δ lim = lim (3Δ ? 12) = ?12, Δ →0 Δ Δ →0

即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s. 反思求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度,很容易误认为 v0=0,有些函数解析式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直 线运动.

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【变式训练 3】 若以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体在 t s 时 的高度为 s=v0t? 2, 则物体在时刻0 处的瞬时速度为_______.
1 解析:∵Δs=v0(t0+Δt)? (0 + Δ)2 ? 2 1 =(v0-gt0)Δt? (Δ)2, 2 1 2 0 0 - 0 2

1 2

Δ 1 s ∴ = 0 ? 0 ? Δ. 故 lim = 0 ? 0. Δ → 0 Δ 2 t

答案:v0-gt0


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