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10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

§ 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考情考向分析 以理解和应用两个基本原理为主,常以实际 问题为载体,突出分类讨论思想,注重分析 最新考纲 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原 理,能正确区分“类”和“步”. 2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 问题、解决问题能力的考查,常与排列、组 合知识交汇;两个计数原理在高考中单独命 题较少,一般是与排列组合结合进行考查; 两个计数原理的考查一般以选择、填空题的 形式出现. 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. 3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以 做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完 成了才算完成这件事. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ ) (3)在分步乘法计数原理中, 事情是分步完成的, 其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事, 只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.( √ ) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i=1,2,3,?, n),那么完成这件事共有 m1m2m3?mn 种方法.( √ ) (5)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P12A 组 T5]已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从 M,N 这两个集合中各选 一个元素分别作为点的横坐标,纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象 限内不同的点的个数是( A.12B.8C.6D.4 答案 C 解析 分两步:第一步先确定横坐标,有 3 种情况,第二步再确定纵坐标,有 2 种情况,因 此第一、二象限内不同点的个数是 3×2=6,故选 C. 3. [P10A 组 T4]已知某公园有 4 个门, 从一个门进, 另一个门出, 则不同的走法的种数为( A.16 C.12 答案 C 解析 将 4 个门编号为 1,2,3,4,从 1 号门进入后,有 3 种出门的方式,共 3 种走法,从 2,3,4 号门进入,同样各有 3 种走法,共有不同走法 3×4=12(种). 题组三 易错自纠 4.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个 数为( ) B.13 D.10 ) ) A.24B.18C.12D.6 答案 B 解析 分两类情况讨论:第 1 类,奇偶奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 2 种 选择,共有 3×2×2=12(个)奇数;第 2 类,偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百 位有 1 种选择,共有 3×2×1=6(个)奇数.根据分类加法计数原理知,共有 12+6=18(个) 奇数. 5.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的 两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( A.24 种 C.36 种 答案 D 解析 需要先给 C 块着色,有 4 种方法;再给 A 块着色,有 3 种方法;再给 B 块着色,有 2 种方法;最后给 D 块着色,有 2 种方法,由分步乘法计数原理知,共有 4×3×2×2=48(种) 着色方法. 6.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数 字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个. 答案 12 解析 由题意知本题是一个分类计数问题. 当组成的数字有三个 1 ,三个 2 ,三个 3 ,三个 4 时共有 4 种情况.当有三个 1 时: 2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有 9 种,当有三个 2,3,4 时:2221,3331,4441, 有 3 种,根据分类加法计数原理可知,共有 12 种结果. B.30 种 D.48 种 ) 题型一 分类加法计数原理的应用 1.(2017· 郑州质检)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序 数对(a,b)的个数为( A.14B.13C.12D.10 答案 B 解析 当 a=0 时,关于 x 的方程为 2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均 满足要求;当 a≠0 时,Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1,-1),(- 1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上,满足要求的有序数对 共有 13 个,故选 B. 2.(2017· 济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2,且 a2>a3,则称这样的三位 数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为( A.240 C.729 答案 A 解析 若 a2=2,则百位数字只能选 1,个位数字可选 1 或 0,“凸数”为 120 与 121,共 2 个. 若 a2=3,则百位数字有两种选择, 个位数字有三种选择,则“凸数”有 2×3=6(个).若 B.204 D.920 ) ) a2=4,满足条件的“凸数”有 3×4=12(个),?,若 a2=9,满足条件的“

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