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指数函数及其性质(高一上公开课)


折纸游戏: 一位数学家说,如果我可以将一张纸折 38次,那么今天晚上我就可以顺着这个纸折 的梯子爬到月亮上去了!

思考1 将一页白纸连续对折。设这页纸的厚度为
1个单位,则对折后纸的厚度与对折次数的函数关 系是怎样的?
设对折次数用x表示,厚度用y表示 则 对折1次, 经过2次, 归纳出:对折x次,

y?2

1
2

y ? 2? 2 ? 2
x

y ? 2 ,x ? N

?

思考2 将一页白纸连续对折。设这页纸的面积为
1个单位,则对折后纸的面积与对折次数的函数关 系是怎样的?
设对折次数用x表示,面积用y表示 则 对折1次, 经过2次,
1 1 y? ( ) 2 1 1 1 2 y? ? ? ( ) 2 2 2

1 x ? y ? ( ) , x ? N 归纳出:对折x次, 2
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?

底数是常数,指数是变量

2.1.2 指数函数及其性质
授课教师:

定义:一般地,函数
y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 叫做指数函数
注意:

(1) 规定a ? 0, a ? 1 x ? x ? 0 a 恒等于零 a ? 0? 无意义 ?x ? 0

a ? 0 无意义

a ? 1 是一个常值函数,无研究必要

a ? 0, a ? 1; (2)形式的严格性:
指数是自变量x,且 x ? R;

整个式子的系数是1

指数函数的形式特征:

系数为1

y=1 ·a

x

自变量

常数

1:指出下列函数那些是指数函数:

(1) y ? 4 ;
x

(2) y ? x ;
4

(3) y ? ?4 x ;
?1? (6) y ? ? ? ?? ?
x

(4) y ? (?4) ;
x

(5) y ? 2 2 x ;
x

(7) y ? x x ;

1 (8) y ? (2a ? 1) (a ? , a ? 1) 2

答案:(1)(5)(6)(8)是指数函数

2:函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3) ? a x是指数函数,则 a ? 2
3:已知y=f(x)是指数函数,且f(2)=4,求函数 y=f(x)的解析式。

?????

y?2

x

? 画出下列指数函数的图象

1 x 1 x x y?2 ,y?( ) ,y?3 ,y?( ) 2 3
x

x
y?2
x

1 y ? ( )x 2

y ?3

x

… -3 1 … 8 … 8 1 … 27

-2
1 4

-1

1 2
1 3

4

2
3

1 9

0 1 1 1 1

1 2
1 2

2 4
1 4

3
1 3

9
1 9

… … 1 … 8 27 … 3 8
1 27

1 y ? ( )x 3

… 27 9



y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

指数函数

的图像及性质

a>1

图 象
y=1

y

0<a<1
y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1)

y

(0,1)

y=1 x

(0,1)

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

0

x

0 y > 1; 当 x < 0 时,
当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

? 例题: 比较下列各题
中两值的大小
(1) 1.72.5 与 1.73; (2) 0.8-01与0.8-02

同底指数幂比大 小,构造指数函数, 利用函数单调性

特征:同底比较大小

练习:
1 1 比较a 3 与a 2 的大小关系(a ? 0且a ? 1)

小结归纳:
? 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? ? 你又掌握了哪些数学思想方法? ? 你能将指数函数的学习与实际生活联系起 来吗?

布置作业: 习题2-1A组第5、6题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?

x x y ? a , y ? b , 思考设a,b,c,d都是不等于1的正数,函数: y ? c x , y ? d x在同一直角坐标系中的图象如图所示. 则a,b,c,d的大小关系是 b ? a ? d ? c

y?c y?d
x

x

Y

y?b

x

b a

y?a

x

d c
O X

X=1

谢谢你听完这节课,再见。


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