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高中数学(人教版)必修二《立体几何》综合提升卷


高中数学(人教版)必修二《立体几何》综合提升卷
一.选择题(共 13 小题,满分 65 分,每小题 5 分) 1. (5 分)设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,∠BCA=90°,BC=CA=2,若 该棱柱的所有顶点都在体积为 弦值为( A. B. ) C. D. 的球面上, 则直线 B1C 与直线 AC1 所成角的余

2. (5 分)设 l、m、n 表示不同的直线,α、β、γ 表示不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,α∩γ=n,且 n∥β,则 m∥l. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

3. (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.π

4. (5 分)如图,平面 PAB⊥平面 α,AB? α,且△PAB 为正三角形,点 D 是平面 α 内的动点,ABCD 是菱形,点 O 为 AB 中点,AC 与 OD 交于点 Q,I? α,且 l⊥ AB,则 PQ 与 I 所成角的正切值的最小值为( )

第 1 页(共 34 页)

A.

B.

C.

D .3

5. (5 分)如图,在直四棱柱(侧棱与底面垂直的四棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1 中, 已知 DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,给出以下结论: (1)异面直线 A1B1 与 CD1 所成的角为 45°; (2)D1C⊥AC1; (3)在棱 DC 上存在一点 E,使 D1E∥平面 A1BD,这个点为 DC 的中点; (4)在棱 AA1 上不存在点 F,使三棱锥 F﹣BCD 的体积为直四棱柱体积的 . 其中正确的个数有( )

A.1

B.2

C.3

D.4 ,BD⊥CD.将四边形

6. (5 分)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,

ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论: ①A′C⊥BD; ②CA′与平面 A′BD 所成的角为 30°; ③∠BA′C=90°; ④四面体 A′﹣BCD 的体积为 . 其中正确的有( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 7. (5 分) 如图, 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E 是 CD 上一点, AB=AD=3, AA1=2, CE=1,P 是 AA1 上一点,且 DP∥平面 AEB1,F 是棱 DD1 与平面 BEP 的交点,则 DF 的长为( )
第 2 页(共 34 页)

A.1

B.

C.

D.

8. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个多面体的三 视图,若该多面体的所有顶点都在球 O 表面上,则球 O 的表面积是( )

A.36π B.48π C.56π D.64π 9. (5 分)如图,已知棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A′B′C′D′,M 是正方形 BB′C′C 的 中心,P 是△A′C′D 内(包括边界)的动点.满足 PM=PD,则点 P 的轨迹长度是 ( )

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图. 其中真命题的个数是 ( )

第 3 页(共 34 页)

A.3

B.2

C.1

D.0

11. (5 分)已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°,动点 P、Q 分别在面 α、β 内,P 到 β 的 距离为 ,Q 到 α 的距离为 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为( )

A.1

B.2

C.

D.4

12. (5 分)一个正方体的展开图如图所示,B,C,D 为原正方体的顶点,A 为原 正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

13. (5 分)异面直线 a,b 成 80°角,点 P 是 a,b 外的一个定点,若过 P 点有且 仅有 2 条直线与 a,b 所成的角相等且等于 θ,则 θ 属于集合( A.{θ|0°<θ<40°} B.{θ|40°<θ<50°} <θ<90°} C.{θ|40°<θ<90°} ) D . {θ|50°

二.解答题(共 7 小题,满分 85 分) 14. (10 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在四边形 ABCD 内 及其边界上运动,且点 P 到点 B1 的距离为 .

第 4 页(共 34 页)

(1)要使 A1C1⊥平面 BB1P,则点 P 在何位置? (2)设直线 B1P 与平面 ACD1 所成的角为 θ,求 sinθ 的取值范围.

15. (10 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 ∠ACB=∠ACD= .

,BC=CD=2,

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P﹣BDF 的体积.

16. (10 分)如图所示的几何体是由以等边三角形 ABC 为底面的棱柱被平面 DEF 所截而得,已知 FA⊥平面 ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,O 为 AB 的中点. (Ⅰ)求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角的余弦值; (Ⅱ)在 DE 上是否存在一点 P,使 CP⊥平面 DEF?如果存在,求出 DP 的长; 若不存在,说明理由.

17. (10 分)如图,长方形框架 ABCD﹣A′B′C′D′,三边 AB、AD、AA′的长分别为
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6、8、3.6,AE 与底面的对角线 B′D′垂直于 E. (1)证明 A′E⊥B′D′; (2)求 AE 的长.

18. (12 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 E、F、G 分别是棱 AB、AD、D1A1 的中点. (1)求证:BG∥平面 A1EF: (2)若 P 为棱 CC1 上一点,求当 等于多少时,平面 A1EF⊥平面 EFP?

19. (15 分) ABCD 为平行四边形, P 为平面 ABCD 外一点, PA⊥面 ABCD, 且 PA=AD=2, AB=1,AC= .

(1)求证:平面 ACD⊥平面 PAC; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值; (3)设二面角 A﹣PC﹣B 的大小为 θ,试求 tanθ 的值.

第 6 页(共 34 页)

20. (18 分)如图,△ABC 各边长均为 4,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A﹣DC﹣B.

(1)证明:平面 ADF⊥平面 BCD; (2)求三棱锥 C﹣DEF 的体积; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?如果存在,求出 不存在,请说明理由. 的值;如果

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高中数学(人教版)必修二《立体几何》综合提升卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 13 小题,满分 65 分,每小题 5 分) 1. (5 分) (2016 秋?小店区校级期中) 设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直, ∠BCA=90°,BC=CA=2,若该棱柱的所有顶点都在体积为 B1C 与直线 AC1 所成角的余弦值为( A. B. C. D.
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的球面上,则直线



【考点】LM:异面直线及其所成的角.

【专题】35 :转化思想;41 :向量法;44 :数形结合法;5F :空间位置关系 与距离. 【分析】根据题意画出图形,结合图形得出 AB 为截面圆的直径,求出 AB 的值 以及三棱柱外接球的半径 R;再利用三角形以及空间向量的知识求出向量 夹角的余弦值的绝对值即可. 【解答】解:∵∠BCA=90°,BC=CA=2, ∴AB=2 ,且为截面圆的直径; , 与

又三棱柱外接球的体积为 ∴ π?R3= ,

解得外接球的半径为 R=2;

△ABC1 中,AB⊥BC1,AB=2 ∴BC1= =2 ;

,AC1=2R=4,

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又 ∴

= ?

+ =

, ?(﹣ ﹣0

=

+ )﹣

=﹣ ?

﹣ ﹣

, ﹣ ?

=0﹣0﹣ =﹣8, | |=| |=

=



∴异面直线 B1C 与 AC1 所成的角 θ 的余弦值为: cosθ=| 故选:B. 【点评】 本题考查了异面直线所成角的计算问题,解题时可以利用两向量所成的 角进行计算,是综合性题目. |=| |= .

2. (5 分) (2014?红岗区校级模拟)设 l、m、n 表示不同的直线,α、β、γ 表示 不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,α∩γ=n,且 n∥β,则 m∥l. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系;2K:命题的真假判断与应用; LP:空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】16 :压轴题. 【分析】 本题考查的是直线之间, 直线与平面之间的位置关系, 可借助图象解答. 【解答】解:易知命题①正确;在命题②的条件下,直线 l 可能在平面 α 内,故 命题为假;在命题③的条件下,三条直线可以相交于一点,故命题为假;在命题 ④中,由 α∩γ=n 知,n? α 且 n? γ,由 n? α 及∥βα∩β=m,得 n∥m,同理 n ∥l,故 m∥l,命题④正确.
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故答案选 B. 【点评】 本题主要考查了直线与直线间的位置关系,以及直线与平面间的位置关 系,注意二者的联系与区别.

3. (5 分) (2016?永州模拟)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( )

A.

B.

C.

D.π
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【考点】L!:由三视图求面积、体积.

【专题】17 :选作题;31 :数形结合;44 :数形结合法;5F :空间位置关系 与距离. 【分析】由三视图知该几何体是一个组合体:左边是半个圆锥,右边是四分之一 个圆柱,由三视图求出几何元素的长度,由柱体、锥体体积公式求出几何体的体 积, 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体: 左边是半个圆锥,右边是四分之一个圆柱(斜切半圆柱) , 且圆柱的底面半径是 1、母线长是 2;圆锥的底面半径、高都是 1, ∴几何体的体积 V= = = ,

故选:C.

【点评】 本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关 键,考查空间想象能力.
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4. (5 分) (2017?宁波模拟)如图,平面 PAB⊥平面 α,AB? α,且△PAB 为正三 角形,点 D 是平面 α 内的动点,ABCD 是菱形,点 O 为 AB 中点,AC 与 OD 交于 点 Q,I? α,且 l⊥AB,则 PQ 与 I 所成角的正切值的最小值为( )

A.

B.

C.

D .3
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【考点】LM:异面直线及其所成的角.

【专题】15 :综合题;35 :转化思想;41 :向量法;53 :导数的综合应用; 5G :空间角. 【分析】 由题意画出图形, 建立空间直角坐标系, 设 AB=2, ∠OAD=θ (0<θ<π) , 把异面直线所成角的余弦值化为含有 θ 的三角函数式,换元后利用导数求最值. 【解答】解:如图,不妨以 CD 在 AB 前侧为例. 以 O 为原点,分别以 OB、OP 所在直线为 y、z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB=2,∠OAD=θ(0<θ<π) ,则 P(0,0, D(2sinθ,﹣1+2cosθ,0) , ∴Q( ∴ 设 α 与 AB 垂直的向量 , ,0) , , ,则 PQ 与 l 所成角为 α. ) ,

则|cosα|=|

|=|

|=

=



令 t=cosθ(﹣1<t<1) ,则 s= 令 s′=0,得 t=8﹣ ∴当 t=8﹣ ,

,s′=



时,s 有最大值为 16﹣6

. .

则 cosα 有最大值为

,此时最小值最小为

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∴正切值的最小值为 故选:B.

=



【点评】本题考查异面直线所成角,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用 空间向量及导数求最值,属难题.

5. (5 分) (2013?浙江模拟) 如图, 在直四棱柱 (侧棱与底面垂直的四棱柱) ABCD ﹣A1B1C1D1 中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,给出以下结论: (1)异面直线 A1B1 与 CD1 所成的角为 45°; (2)D1C⊥AC1; (3)在棱 DC 上存在一点 E,使 D1E∥平面 A1BD,这个点为 DC 的中点; (4)在棱 AA1 上不存在点 F,使三棱锥 F﹣BCD 的体积为直四棱柱体积的 . 其中正确的个数有( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】LS:直线与平面平行的判定;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LM:异面 直线及其所成的角;LX:直线与平面垂直的性质.
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【专题】11 :计算题;14 :证明题;16 :压轴题. 【分析】直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断(1)的正误;通过直线
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与平面的位置关系判断(2)的正误;通过直线与平面的平行判断(3)的正误; 几何体的体积判断(4)的正误即可. 【解答】 解: (1 ) 由题意可知 DC=DD1=2AD=2AB, AD⊥DC, AB∥DC,所以△DD1C1 是等腰直角三角形, A1B1∥C1D1, 异面直线 A1B1 与 CD1 所成的角为 45°, 所以 (1) 正确. (2) 由题意可知, AD⊥平面 DD1C1C, 四边形 DD1C1C 是正方形, 所以 D1C⊥DC1, 可得 D1C⊥AC1; (2)正确; 对于(3)在棱 DC 上存在一点 E,使 D1E∥平面 A1BD,这个点为 DC 的中点,因 为 DC=DD1=2AD=2AB,如图 HG (4)设 AB=1,则棱柱的体积为: 积为: = ,显然体积比为 ,所以 E 为中点,正确. = ,当 F 在 A1 时,A1﹣BCD 的体 ,所以在棱 AA1 上存在点 F,使

三棱锥 F﹣BCD 的体积为直四棱柱体积的 ,所以(4)不正确. 正确结果有(1) 、 (2) 、 (3) . 故选 C.

【点评】本题考查棱柱的结构特征,几何体的体积的求法,直线与平面的位置关 系的判断,考查空间想象能力计算能力.

6. (5 分) (2011?上饶校级模拟) 如图, 四边形 ABCD 中, AB=AD=CD=1,



BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论: ①A′C⊥BD; ②CA′与平面 A′BD 所成的角为 30°;
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③∠BA′C=90°; ④四面体 A′﹣BCD 的体积为 . 其中正确的有( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】LM:异面直线及其所成的角;L3:棱锥的结构特征;LF:棱柱、棱锥、 棱台的体积.
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【专题】11 :计算题;16 :压轴题. 【分析】根据题意,依次分析命题:对于①可利用反证法说明真假,若①成立可 得 BD⊥A'D,产生矛盾;对于②由 CA'与平面 A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知②的 真假;对于③△BA'D 为等腰 Rt△,CD⊥平面 A'BD,得 BA'⊥平面 A'CD,根据线 面垂直可知∠BA′C=90°,对于④利用等体积法求出所求体积进行判定即可,综合 可得答案. 【解答】解:若①成立可得 BD⊥A'D,产生矛盾,故①不正确; 由 CA'与平面 A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知②不正确; 由题设知:△BA'D 为等腰 Rt△,CD⊥平面 A'BD,得 BA'⊥平面 A'CD,于是③正 确; ,④不正确. 其中正确的有 1 个 故选 D. 【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及三棱锥的体积的计算,同 时考查了空间想象能力, 论证推理能力, 解题的关键是须对每一个进行逐一判定.

7. (5 分) (2017 春?保定期中)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 CD 上 一点,AB=AD=3,AA1=2,CE=1,P 是 AA1 上一点,且 DP∥平面 AEB1,F 是棱 DD1 与平面 BEP 的交点,则 DF 的长为( )

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A.1

B.

C.

D.
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【考点】L2:棱柱的结构特征.

【专题】31 :数形结合;49 :综合法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】在棱 AB 上取点 M,使得 BM=1, 过点 M 作 MN∥BB1,交 AB1 于 N,连接 EM、EN, 证明平面 EMN∥平面 ADD1A1,求出 MN 的值, 由 AP=MN 得出 DP∥平面 AEB; 再取 DG=AP,连接 CG,利用平行关系求出 DF 的长. 【解答】解:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB 上取点 M,使得 BM=1, 过点 M 作 MN∥BB1,交 AB1 于 N,连接 EM、EN,如图所示; 则平面 EMN∥平面 ADD1A1; ∵BB1=2AM=2BM, ∴MN= , ∴当 AP=MN= 时,DP∥EN, 即 DP∥平面 AEB; ∵F 是棱 DD1 与平面 BEP 的交点, ∴EF∥BP; 取 DG=AP= ,连接 CG,则 CG∥BP, ∴EF∥CG, ∴DF= DG= . 故选:B.

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【点评】 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了求线段长的 应用问题,是综合题.

8. (5 分) (2016?丹东二模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的 是某个多面体的三视图,若该多面体的所有顶点都在球 O 表面上,则球 O 的表 面积是( )

A.36π B.48π C.56π D.64π 【考点】L!:由三视图求面积、体积;LG:球的体积和表面积.
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【专题】 15 : 综合题; 31 : 数形结合; 46 : 分割补形法; 58 : 解三角形; 5F : 空间位置关系与距离. 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为 4 的正方体一部分, 画出直观图, 由正方体的性质求出球心 O 到平面 ABC 的距离 d、边 AB 和 AC 的值,在△ABC 中,由余弦定理求出 cos∠ACB 后,求出∠ACB 和 sin∠ACB,由正弦定理求出△ ABC 的外接圆的半径 r,由勾股定理求出球 O 的半径,由球的表面积公式求解. 【解答】解:根据三视图知几何体是: 三棱锥 D﹣ABC 为棱长为 4 的正方体一部分,直观图如图所示: ∵该多面体的所有顶点都在球 O,且球心 O 是正方体的中心, ∴由正方体的性质得,球心 O 到平面 ABC 的距离 d=2,
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由正方体的性质可得, AB=BD= = ,AC= ,

设△ABC 的外接圆的半径为 r, 在△ABC 中,由余弦定理得, cos∠ACB= = , = =2 ,则 r= , = ,

∴∠ACB=45°,则 sin∠ACB= 由正弦定理可得,2r=

即球 O 的半径 R=

=



∴球 O 的表面积 S=4πR2=56π, 故选:C.

【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积,正弦定理、余弦定理,以及 正方体的性质, 结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键,考查空间 想象能力.

9. (5 分) (2016?衢州模拟)如图,已知棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A′B′C′D′,M 是正方形 BB′C′C 的中心,P 是△A′C′D 内(包括边界)的动点.满足 PM=PD,则 点 P 的轨迹长度是( )

第 17 页(共 34 页)

A.

B.

C.

D.
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【考点】L2:棱柱的结构特征.

【专题】15 :综合题;35 :转化思想;49 :综合法;5F :空间位置关系与距 离. 【分析】满足 PM=PD 的点 P 的轨迹是过 MD 的中点,且与 MD 垂直的平面,根 据 P 是△A′C′D 内(包括边界)的动点,可得点 P 的轨迹是两平面的交线 ST.T 在中点,S 在 4 等分点,利用余弦定理,求出 ST 即可. 【解答】 解: 满足 PM=PD 的点 P 的轨迹是过 MD 的中点, 且与 MD 垂直的平面, ∵P 是△A′C′D 内(包括边界)的动点, ∴点 P 的轨迹是两平面的交线 ST.T 在中点, S 在 4 等分点时,SD=3 ∴SD=3 ∴ST= 故选:D. ,TD=2 = . ,SM= =3 ,满足 SD=SM

【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查轨迹的求解,考查余弦定理,考查学生 的计算能力,属于中档题.

10. (5 分) (2011?山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命 题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;
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②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图. 其中真命题的个数是 ( )

A.3

B.2

C.1

D.0
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【考点】L7:简单空间图形的三视图. 【专题】5Q :立体几何.

【分析】由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱 柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形, 一个圆可以判断③的真假. 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟 练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形 的形状是解答本题的关键. 【解答】解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条 件,故①为真命题; 存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题; 对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也 满足条件,故③为真命题; 故选:A 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体 的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题 的关键.

11. (5 分) (2009?全国卷Ⅰ)已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°,动点 P、Q 分别在面 α、β 内,P 到 β 的距离为 小值为( ) ,Q 到 α 的距离为 ,则 P、Q 两点之间距离的最

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A.1

B.2

C.

D.4
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【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系. 【专题】11 :计算题;16 :压轴题.

【分析】分别作 QA⊥α 于 A,AC⊥l 于 C,PB⊥β 于 B,PD⊥l 于 D,连 CQ,BD 则∠ACQ=∠PBD=60°,在三角形 APQ 中将 PQ 表示出来,再研究其最值即可. 【解答】解:如图 分别作 QA⊥α 于 A,AC⊥l 于 C,PB⊥β 于 B,PD⊥l 于 D, 连 CQ,BD 则∠ACQ=∠PDB=60°, ∴AC=PD=2 又∵ 当且仅当 AP=0,即点 A 与点 P 重合时取最小值. 故答案选 C. ,

【点评】 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之 间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

12. (5 分) (2008?四川)一个正方体的展开图如图所示,B,C,D 为原正方体 的顶点,A 为原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的余
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弦值为(



A.

B.

C.

D.
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【考点】LM:异面直线及其所成的角. 【专题】11 :计算题;16 :压轴题.

【分析】先还原正方体,将对应的字母标出,CD 与 AB 所成角等于 BE 与 AB 所 成角,在三角形 ABE 中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可. 【解答】解:还原正方体如右图所示设 AD=1, 则 ,AF=1, ,

AE=3,CD 与 AB 所成角等于 BE 与 AB 所成角, 所以余弦值为 故选 D. ,

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推 理论证能力,属于基础题.

13. (5 分) (2008?上海模拟)异面直线 a,b 成 80°角,点 P 是 a,b 外的一个定 点,若过 P 点有且仅有 2 条直线与 a,b 所成的角相等且等于 θ,则 θ 属于集合 ( ) C.{θ|40°<θ<90°} D . {θ|50°

A.{θ|0°<θ<40°} B.{θ|40°<θ<50°} <θ<90°} 【考点】LM:异面直线及其所成的角. 【专题】11 :计算题;16 :压轴题.
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【分析】先将异面直线 a,b 平移到点 P,求出∠BPE 的角平分线和∠EPD 的角平 分线与 a 和 b 的所成角,介于两者之间有且只有两条,小于最小的则不存在,大 于最大的小于 90°则有 4 条,等于 90°有且只有一条. 【解答】解:先将异面直线 a,b 平移到点 P,则∠BPE=80°,∠EPD=100° 而∠BPE 的角平分线与 a 和 b 的所成角为 40°, 而∠EPD 的角平分线与 a 和 b 的所成角为 50° 当 θ∈{θ|40°<θ<50°} ∴直线与 a,b 所成的角相等且等于 θ 有且只有 2 条, 使直线在面 BPE 的射影为∠BPE 的角平分线, 故选 B.

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,以及射 影等知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查转化思想,属于 基础题.

二.解答题(共 7 小题,满分 85 分) 14. (10 分) (2015 春?广安校级月考)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在四边形 ABCD 内及其边界上运动,且点 P 到点 B1 的距离为 (1)要使 A1C1⊥平面 BB1P,则点 P 在何位置? (2)设直线 B1P 与平面 ACD1 所成的角为 θ,求 sinθ 的取值范围. .

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【考点】LW:直线与平面垂直的判定.

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【专题】31 :数形结合;49 :综合法;5F :空间位置关系与距离; 5G :空 间角;5H :空间向量及应用. 【分析】 (1)以点 B 为圆心,以 BA 为半径画圆弧 AC,交 BD 连线于点 P,点 P 即为所求,证明 B1P= ,且 A1C1⊥平面 BB1P 即可; 与平面 ACD1 的法向量 所成角的余弦

(2)建立空间直角坐标系,求出向量

值,即可得出直线 B1P 与平面 ACD1 所成角 θ 的正弦值取值范围. 【解答】解: (1)根据题意,以点 B 为圆心,以 BA 为半径画圆弧 AC,交 BD 连 线于点 P, 如图所示,则点 P 即为所求. ∵BP=BA=1,∴B1P= ;

又 BD⊥AC,AC∥A1C1, ∴BP⊥A1C1; 又 BB1⊥A1C1,且 BC∩BB1=B, ∴A1C1⊥平面 BB1P; (2)建立如图所示的空间直角坐标系; 则 B(0,0,0) ,A(﹣1,0,0) ,C(0,1,0) , B1(0,0,1) ,D1(﹣1,1,1) , 设点 P(cosα,sinα,0) ,则 α∈[ ∴ =(1,1,0) , ,π]; =(cosα,sinα,﹣1) ;

=(0,1,1) ,

设平面 ACD1 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,即 ,

令 x=1,则 y=﹣1,z=1,∴ =(1,﹣1,1) ; ∴cos< , >=

=
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= ∵α∈[

; ,π],∴α+ ∈[ , ], ﹣1,﹣2]; , ], ],

∴cos(α+ ∴ cos(α+

)∈[﹣1,﹣ )﹣1∈[﹣

∴cos<

, >∈[

∵直线 B1P 与平面 ACD1 所成的角 θ, ∴sinθ=|cos< , >|∈[ , , ]. ],

sinθ 的取值范围是[

【点评】 本题考查了空间直线与平面垂直的判断问题,也考查了空间角的计算问 题,是综合性题目.解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

15. (10 分) (2013?重庆) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, PA=2 BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= .



(Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P﹣BDF 的体积.

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【考点】LW:直线与平面垂直的判定;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】16 :压轴题;5F :空间位置关系与距离.

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【分析】 (Ⅰ)由等腰三角形的性质可得 BD⊥AC,再由 PA⊥底面 ABCD,可得 PA ⊥BD.再利用直线和平面垂直的判定定理证明 BD⊥平面 PAC. (Ⅱ)由侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,可得三棱锥 F﹣BCD 的高是三棱锥 P﹣ BCD 的高的 .求出△BCD 的面积 S△BCD,再根据三棱锥 P﹣BDF 的体积 V=VP﹣BCD ﹣VF﹣BCD= ﹣ ,运算求得结果. ,

【解答】 解: (Ⅰ) ∵BC=CD=2, ∴△BCD 为等腰三角形, 再由 ∴BD⊥AC. 再由 PA⊥底面 ABCD,可得 PA⊥BD. 而 PA∩AC=A,故 BD⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, ∴三棱锥 F﹣BCD 的高是三棱锥 P﹣BCD 的高的 . △BCD 的面积 S△BCD= BC?CD?sin∠BCD= ∴三棱锥 P﹣BDF 的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD= × = = . = ﹣ .

=

【点评】 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,用间接解法求棱锥的 体积,属于中档题.

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16. (10 分) (2010?宿城区校级模拟)如图所示的几何体是由以等边三角形 ABC 为底面的棱柱被平面 DEF 所截而得,已知 FA⊥平面 ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O 为 AB 的中点. (Ⅰ)求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角的余弦值; (Ⅱ)在 DE 上是否存在一点 P,使 CP⊥平面 DEF?如果存在,求出 DP 的长; 若不存在,说明理由.

【考点】LW:直线与平面垂直的判定;MJ:与二面角有关的立体几何综合题.
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【专题】11 :计算题;15 :综合题;16 :压轴题;35 :转化思想. 【分析】 (Ⅰ)根据题意建立空间直角坐标系,通过法向量求出平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角的余弦值. (Ⅱ)假设在 DE 存在一点 P,设出坐标,根据 CP⊥面 DEF,得到所以 DEF 的法向量 n2 共线,求出 λ,得到 DP 即可. 【解答】解:以 O 为原点,OB,OC,Oz 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, C(0, ,0) ,D(1,0,1) ,E(0, ,3 ) ,F(﹣1,0,2) . 与平面

(Ⅰ)平面 ABC 的法向量为 n1=(0,01) . 设平面 DEF 的法向量为 n2=(x,y,z) , 由 得 所以 ,2) . = = ,所以平面 DEF 与平面 ABC 相交 =(﹣1, ,2) .

取 x=1,得 n2=(1,﹣ 所以 cos<m1,m2>=

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所成锐角二面角的余弦值为



(Ⅱ)假设在 DE 存在一点 P,设 P(x,y,z) , 因为 =λ ,故(x﹣1,y,z﹣1)=λ(﹣1, ,2) , λ﹣ ,2λ+1) .

所以 P(﹣λ+1,

λ,2λ+1) ,所以 CP=(﹣λ+1,

因为平 CP⊥面 DEF,所以 所以 所以 = = =

与平面 DEF 的法向量 n2 共线, ,解得 λ= , .

,即|DP|= |DE|,所以 DP=

【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定,以及与二面角相关的立体几何问题综 合运用. 通过数形结合, 以及对知识的综合考查, 达到考查学生基本能力的目的, 属于中档题.

17. (10 分) (1980?全国)如图,长方形框架 ABCD﹣A′B′C′D′,三边 AB、AD、 AA′的长分别为 6、8、3.6,AE 与底面的对角线 B′D′垂直于 E. (1)证明 A′E⊥B′D′; (2)求 AE 的长.

【考点】L3:棱锥的结构特征.

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【专题】11 :计算题;14 :证明题;16 :压轴题. 【分析】 (1)先由 AA'⊥平面 A'B'C'D',可转化为 AA'⊥B'D',又 AE⊥B'D',由线 面垂直的判断定理可得 B'D'⊥平面 AA'E,得证. (2)先由等面积法 A'B'?A'D'=A'E?B'D'求得 A'E,再由勾股定理求得 AE. 【解答】 (1)证明:AA'⊥平面 A'B'C'D',∴AA'⊥B'D'. 又 AE⊥B'D',∴B'D'⊥平面 AA'E, 因此 B'D'⊥A'E
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(2)解:A'B'?A'D'=A'E?B'D'(都是△A'B'D'面积的 2 倍) ∴6×8=A'E× ∴A'E=4.8 ∴AE= . ,

【点评】本题主要考查长方体的结构特征,主要涉及了线线,线面,面面垂直的 关系,以及基本量的关系.属中档题.

18. (12 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 E、F、G 分别是棱 AB、AD、D1A1 的中点. (1)求证:BG∥平面 A1EF: (2)若 P 为棱 CC1 上一点,求当 等于多少时,平面 A1EF⊥平面 EFP?

【考点】LZ:平面与平面垂直的性质;LS:直线与平面平行的判定.

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【专题】35 :转化思想;44 :数形结合法;5F :空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连接 BD、DG,证明平面 BGD∥平面 A1EF,再证明 BG∥平面 A1EF; (2)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 利用平面 A1EF 的法向量与平面 EFP 的法向量互相垂直,即可求出 的值.

【解答】解: (1)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是棱 AB、AD、D1A1 的中点, 连接 BD、DG,则 EF∥BD, GD∥A1F, 又 BD?平面 A1EF,EF? 平面 A1EF,所以 BD∥平面 A1EF; 同理,GD∥平面 A1EF, 且 BD∩GD=D,BD? 平面 BGD,GD? 平面 BGD,
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所以平面 BGD∥平面 A1EF, 又 BG? 平面 BGD, 所以 BG∥平面 A1EF; (2)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,CP=t(0≤t≤1) , A1(1,0,1) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) , D(0,0,0) ,E(1, ,0) ,F( ,0,0) ,P(0,1,t) ; =(﹣ ,﹣ ,0) , =(0,﹣ ,1) ,

设平面 A1EF 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,





取 x=1,得 =(1,﹣1,﹣ ) ; 又 =(﹣1, ,t) ,

设平面 EFP 的法向量为 =(a,b,c) , 则 ,





取 a=1,得 =(1,﹣1, 又平面 A1EF⊥平面 EFP, 所以 ? =1+1﹣ 所以 CP= ,

) ,

=0,解得 t= ,

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= 时,平面 A1EF⊥平面 EFP.

【点评】 本题考查了异面直线垂直的证明,也考查了直线与平面平行的证明以及 使二面角为直二面角的线段的比值的求法问题,解题时要认真审题,注意向量法 的合理运用.

19. (15 分) (2011?湖南学业考试) ABCD 为平行四边形, P 为平面 ABCD 外一点, PA⊥面 ABCD,且 PA=AD=2,AB=1,AC= (1)求证:平面 ACD⊥平面 PAC; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值; (3)设二面角 A﹣PC﹣B 的大小为 θ,试求 tanθ 的值. .

【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LM:异面直线及其所成的角;MT:二面 角的平面角及求法.
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【专题】11 :计算题;14 :证明题;16 :压轴题. 【分析】 (1)由已知中,PA⊥面 ABCD,结合面面垂直的判定定理,我们易得平 面 ACD⊥平面 PAC; (2)令 AC 与 BD 交点为 O,PA 的中点为 E,连接 OE,则 OE∥PC,则直线 PC
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与 BD 所成角等于直线 OE 与 BD 所成角,解三角形 OEB,即可得到答案. (3)A 作 AG⊥PC 交 PC 于 G,过 G 作 GF⊥PC 交 PB 于 F,连接 AF.则二面角 A ﹣PC﹣B 的平面角为∠AGF,解三角形 AGF,即可得到答案. 【解答】证明: (1)∵PA⊥面 ABCD, PA? 平面 PAC ∴平面 ACD⊥平面 PAC; 解: (2)令 AC 与 BD 交点为 O,PA 的中点为 E,连接 OE,BE 如图所示:

∵O 为 BD 的中点,则 EO= PC=

=

,且 OE∥PC .

又∵PA⊥面 ABCD,且 PA=AD=2,AB=1,AC= ∴OB= BD= ∴|cos∠EOB|= ,BE= = ;

即异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值为 ; (3)过 A 作 AG⊥PC 交 PC 于 G,过 G 作 GF⊥PC 交 PB 于 F,连接 AF.

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则二面角 A﹣PC﹣B 的平面角为∠AGF 即∠AGF=θ. 在 Rt△APC 中,PC= ∴ 在△PBC 中,PB= ∴ ∴ , , ,BC=2, , , ,

∴在 Rt△PGF 中, ∴ 在△PGF 中,PF= ∴AF=1, 在△AGF 中, ∴ ,



【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角, 二面角的平面角及求示,其中求二面角,关键是要找到二面角的平面角,将空间 问题转化为一个平面解三角形的问题.

20. (18 分) (2016 春?包头校级期末)如图,△ABC 各边长均为 4,CD 是 AB 边 上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A﹣
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DC﹣B.

(1)证明:平面 ADF⊥平面 BCD; (2)求三棱锥 C﹣DEF 的体积; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?如果存在,求出 不存在,请说明理由. 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LY:平面与平面垂直的判定.
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的值;如果

【专题】41 :向量法;4R:转化法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角. 【分析】 (1)根据面面垂直的判定定理证明 AD⊥平面 BCD 即可. (2)证明 EH 是三棱锥 E﹣CDF 的高,结合三棱锥的体积公式进行求解即可. (3)以点 D 为坐标原点,以直线 DB、DC、DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系.利用向量法能在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE. 【解答】解: (1)证明:连接 EF 交 CD 于 H,则 EF 是△ABC 的中位线, 在正△ABC 中,AD⊥CD,BD⊥CD, 折叠后,AD⊥CD,BD⊥CD 且 AD∩BD=D, ∴AD⊥平面 BCD, 又 AD? 平面 ADF ∴平面 ADF⊥平面 BCD; (2)由(1)知 AD⊥平面 BCD,EH∥AD, ∴EH⊥平面 BCD,即 EH⊥平面 CDF, 则 EH 是三棱锥 E﹣CDF 的高,且 EF= AD= 则 VC﹣DEF=VE﹣CDF= S△CDF?EH= × , ×1×1= .

CD?FH?EH= ×2

(3)以点 D 为坐标原点,以直线 DB、DC、DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系. 则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(0,2 ,0) ,

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E(0, =(0, 设

,1) ,F(1, ,1) , =λ(﹣2,2

,0) ,

,0) ,则

=

+

=(2,0,﹣2)+(﹣2λ,2

λ,0)

=(2﹣2λ,2 若 AP⊥DE, 则 ?

λ,﹣2) ,

=(2﹣2λ,2

λ,﹣2)?(0,

,1)=0,

即 6λ﹣2=0,则 λ= , 即 = .

【点评】 本题主要考查面面垂直的判断, 三棱锥体积的计算以及直线垂直的应用, 建立空间坐标系, 利用向量法把直线垂直转化为向量垂直是解决本题的关键.综 合性较强,有一定的难度.

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