3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考数学“拿分题”训练(知识整合+方法技巧+例题分析):应用问题


2014 高考数学“拿分题”训练:应用问题的题型与方法
数学应用性问题是 历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考 中一般命制一道解答题和两道选择填 空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料, 深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,能结合应用所学数学知识、思想 方法解决问题,包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数 学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题 转化为数学问题,关键是提高阅读能力即数学审题能力,审出函数、方程、不等式、等式,要 求我们读懂材料,辨析文字叙述所反应的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,抽象 其中的数量关系,将文字语言叙述转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型解答.可以说, 解答一个应用题重点要过三关:一是事理关,即读懂题意,需要一定的阅读理解能力;二是文 理关,即把文字语言转化为数学的符号语言;三是数理关,即构建相应的数学模型,构建之后 还需要扎实的基础知识和较强的数理能力. 由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的专一 性,这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求,在陌生的情景中找出本质的内容,转化为函 数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.

一、知识整合
1. “考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是:能阅读、理解对问题进行陈述的 材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括提炼、解决在相关学科、生产、 生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述.并且指出:对数学应用问题,要把握好提 ............. 出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度,切合中学数学教学实际. ............................... 2.应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解 决问题的能力,这个要求分解为三个要点: (1) 、要求考生关心国家大事,了解信息社会,讲究 联系实际,重视数学在生产、生活及 科学中的应用,明确“数学有用,要用数学” ,并积累处理实际问题的经验. (2) 、考查理解语言的能力,要求考生能够从普通语言中捕捉信息,将普通语言转化为数 学语言,以数学语言为工具进行数学思维与交流. (3) 、考查建立数学模型的初步能力,并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来 求解. 3.求解应用题的一般步骤是(四步法) : (1) 、读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系; (2) 、建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题; (3) 、求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4) 、评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结果应用于现实,作出解 释或验证. 4.在近几年高考中,经常涉及的数学模型,有以下一些类型:数列模型、函数模型、不等 式模型、三角模型、排列组合模型等等. Ⅰ.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化 问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用 函数知识和方法去解决. ⑴ 根据题意,熟练地建立函数模型; ⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型. Ⅱ.几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题,常常 需要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 1

Ⅲ.数列模型 在经济活动中,诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月) 份有关的实际问题, 大多可归结为数列问题, 即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时, 是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的 情形入手,再寻找一般的规律.

二、例题分析
例 1. (1996 年全国高考题)某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增加 22%,人均粮食产量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地每年至多只能减少 多少公顷(精确到 1 公顷)? (粮食单产= EMBED Equation.2 ; 人均粮食产量 = EMBED Equation.2 ) 分析:此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条 线索抽象数列模型,然后进行比较与决策. 解:1.读题:问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率 , 其中人均粮食占有量 P= EMBED Equation.2 , 主要关系是:P EMBED Equation.2 ≥P EMBED Equation.2 .

2.建模:设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷 ,现在粮食单产为 a 吨/公顷,现在人口数 为 m,则现在占有量为 EMBED Equation.2 ,10 年后粮食单产为 a(1+0.22),人口数为 m(1+0.01) EMBED Equation.2 ,耕地面积为(10 EMBED Equation.2 ∴ EMBED Equation.2 ≥ EMBED Equation.2 (1+0.1) -10x).

即 1.22(10 EMBED Equation.2 -10x)≥1.1×10 EMBED Equation.2 +0.01) EMBED Equation.2 3. 求 解 : x ≤ 10 EMBED Equation.2 - EMBED Equation.2 × 10 Equation.2 ×(1+0.01) EMBED Equation.2 ∵ (1+0.01) EMBED Equation.2 =1+C EMBED Equation.2 Equation.2 ×0.01 EMBED Equation.2
[来源:Zxxk.Com]

×(1 EMBED

×0.01+C EMBED ×0.01 EMBED

+C EMBED Equation.2

Equation.2 +?≈1.1046 ∴ x≤10 EMBED Equation.2 -995.9≈4(公顷) 4.评价:答案 x≤4 公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答.(答略) 另解:1.读题:粮食总产量=单产×耕地面积; 粮食总占有量=人均占有量×总人口数; 而主要关系是:粮食总产量≥粮食总占有量 2.建模:设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨/公顷,现在人口数 为 m,则现在占有量为 EMBED Equation.2 ,10 年后粮食单产为 a(1+0.22),人口数为 m(1+0.01) EMBED Equation.2 ,耕地面积为(10 EMBED Equation.2 -10x). ∴ a(1+0.22)×(1O EMBED Equation.2 -10x)≥ EMBED Equation.2 ×(1+ 0.1)×m(1+0.01) EMBED Equation.2

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 2

3. 求 解 : x ≤ 10

EMBED Equation.2



EMBED Equation.2

× 10

EMBED

Equation.2 ×(1+0.01) EMBED Equation.2 ∵ (1+0.01) EMBED Equation.2 =1+C EMBED Equation.2 Equation.2 ×0.01 EMBED Equation.2 +C EMBED Equation.2

×0.01+C EMBED ×0.01 EMBED

Equation.2 +?≈1.1046 ∴ x≤10 EMBED Equation.2 -995.9≈4(公顷) 4.评价:答案 x≤4 公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答.(答略) 说明:本题主要是抓住各量之间的关系,注重 3 个百分率.其中耕地面积为等差数列,总人 口数为等比数列模型,问题用不等式模型求解.本题两种解法,虽都是建立不等式模型,但建立 时所用的意义不同,这要求灵活掌握,还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用 于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型 属于不等式模型,也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等式模型后解 出不等式. 在解答应用问题时,我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节,比如本题 求解过程中若令 1.01 EMBED Equation.2 ≈1,算得结果为 x≤98 公顷,自然会问:耕地 减少这么多,符合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控,检查发现是错在 1.01 EMBED Equation.2 的近似计算上. 例 2. (1991 年上海高考题)已知某市 1990 年底人口为 100 万,人均住房面积为 5m EMBED Equation.2 ,如果该市每年人口平均增长率为 2%, A 每年平均新建住房面积为 10 万 m EMBED Equation.2 , 试求到 2000 年底该市人均住房面积 (精确到 0.01) ? M C D B 分析:城市每年人口数成等比数列,每年住房总面积 成等比数列,分别写出 2000 年后的人口数、住房总面积, 从而计算人均住房面积. 解:1.读题:主要关系:人均住房面积= EMBED Equation.2 2.建模:2000 年底人均住房面积为 EMBED Equation.2 3.求解:化简上式= EMBED Equation.2 ∵ 1.02 Equation.2 EMBED Equation.2 = 1+ C , EMBED Equation.2 +C EMBED Equation.2 ≈4.92 × 0.02+ C EMBED

×0.02 EMBED Equation.2

×0.02 EMBED

Equation.2 +?≈1.219 ∴ 人均住房面积为 EMBED Equation.2

4.评价:答案 4.92 符合城市实际情况,验算正确,所以到 2000 年底该市人均住房面积为 4.92m EMBED Equation.2 . 说明:一般地,涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题,可通过观察、 分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列,然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属 于应用问题中的数列模型. 例 3.如图,一载着重危病人的火车从 O 地出发,沿射线 OA 行驶,其中 EMBED Equation.3 在距离 O 地 5a(a 为正数)公里北偏东β 角的 N 处住有一位医学专家, 其中

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 3

sinβ =

EMBED Equation.3

现有 110 指挥部紧急征调离 O 地正东 p 公里的 B 处的救护车

赶往 N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车,并在 C 处相遇,经测算当两车行驶的路 线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时,抢救最及时. EMBED PBrush (1)求 S 关于 p 的函数关系; (2)当 p 为何值时,抢救最及时. 解: (1)以 O 为原点,正北方向为 y 轴建立 直角坐标系, 则 EMBED Equation.3 设 N(x0,y0) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.DSMT4 又 B(p ,0) ,∴直线 BC 的方程为: EMBED Equation.3 由 EMBED Equation.3 得 C 的纵坐标

EMBED Equation.3

,∴ EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.3 , ∴ 当 且 仅 当 EMBED

( 2 ) 由 ( 1 ) 得 EMBED Equation.3

Equation.3

EMBED Equation.3

时,上式取等号,∴当 EMBED Equation.3

公里时,

抢救最及时. 例 4. (1997 年全国高考题)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超 过 c 千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变 部分与速度 v (千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. ① 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域; ② 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系, 并求函数的最小值. 解: (读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间, (建模)有 y=(a+bv EMBED Equation.2 ) EMBED Equation.2 (解题)所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数关系式是: y=S( EMBED Equation.2 +bv),其中函数的定义域是 v∈(0,c] . 整理函数有 y=S( EMBED Equation.2 由函数 y=x+ EMBED Equation.2 当 当 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 +bv)=S(v+ EMBED Equation.2 (k>0)的单调性而得: 时,y 取最小值; ),

<c 时,则 v= EMBED Equation.2 ≥c 时,则 v=c 时,y 取最小值.

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 4

综上所述, 为使全程成本 y 最小, EMBED Equation.2 当 Equation.2 ;当 EMBED Equation.2

<c 时, 行驶速度应为 v= EMBED

≥c 时,行驶速度应为 v=c.

说明:1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法求 出函数的最大值或最小值,其中要特别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度 v 的范围,一旦忽 视,将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等 式模型. 2.二次函数、指数函数以及函数 EMBED Equation.DSMT4 (a>0,b>0)的性质要熟 练掌握. 3.要能熟练地处理分段函数问题. 例 5. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类 20)) 在某海滨城市附近海 面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 EMBED Equation.3 方向 300km 的海面 P 处, 并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动. 台 风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城 市开始受到台风的侵袭? 解:如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. EMBED PBrush 在时刻: (1)台风中心 P( EMBED Equation.3 )的坐标为 EMBED Equation.3
[来源:学科网]

此时台风侵袭的区域是 EMBED Equation.3 其中 EMBED Equation.3 的侵袭,则有 EMBED Equation.3 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 例 6.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B.
[来源:学科网]

若在 t 时刻城市 O 受到台风

甲 乙 丙 维生素 A (单位/千克) 600 700 400 维生素 B (单位/千克) 800 400 500 甲 乙 丙 维生素 A(单位/千克) 600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本 (元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 乙 丙 维生素 A(单位/千克) 600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元 /千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 丙 维生素 A(单位/千克) 600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/ 千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 维生素 A(单位/千克) 600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 维生素 A(单位/千克) 600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元;
[来源:Z。xx。k.Com]

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 5

600 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1) 用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 700 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x, y 表示混合食物成本 c 元; 400 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示 混合食物成本 c 元; 维生素 B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示 混合食物成本 c 元; 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 500 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 成本(元/千克) 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 11 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 9 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; 4 (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (2)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 解:(1)依题意得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2)由 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 当且仅当 EMBED Equation.3 , 得 ,
[来源:学科网]

EMBED Equation.3 时等号成立.,

∴当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低为 850 元. 说明:线性规划是 高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法. 例 7. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类 19) ) 有三个新兴城镇,分别位于 A,B,C 三点处,且 AB=AC=13km,BC=10km.今计划合建一个 中心医院,为同时方便三镇,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处, (建立坐标系如图) (Ⅰ)若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小, EMBED PBrush 点 P 应位于何处? (Ⅱ)若希望点 P 到三镇的最远距离为最小, 点 P 应位于何处? 分析:本小题主要考查函数,不等式等基本知识, 考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. (Ⅰ)解:设 P 的坐标为(0, EMBED Equation.3 ) ,则 P 至三 镇距离的平方和为 EMBED Equation.3 所以, 当 EMBED Equation.3 点 P 的坐标是 EMBED Equation.3 时, 函数 EMBED Equation.3 取得最小值. 答:

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 6

(Ⅱ)解法一:P 至三镇的最远距离为 由 EMBED Equation.3 于是 EMBED Equation.3 上是增函数,而

EMBED Equation.3 记 EMBED Equation.3

解得 EMBED Equation.3

因为 EMBED Equation.3

在[ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

上是减函数. 所以

时,函数 EMBED Equation.3

取得最小值. 答:点 P 的坐标是 EMBED Equation.3

解法二:P 至三镇的最远距离为 由 EMBED Equation.3 于是 EMBED Equation.3 函数 EMBED Equation.3 当 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3 记 EMBED Equation.3 EMBED PBrush

的图象如图 EMBED Equation.3 时,函数 EMBED Equation.3

,因此, 取得最小值.答:点 P 的

坐标是 EMBED Equation.3 解法三:因为在△ABC 中,AB=AC=13,且, EMBED Equation.3 所以△ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为 EMBED Equation.3 EMBED PBrush 且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上,记 P 为 P1;当 P 在射线 MA 的反向延长线上,记 P 为 P2, 这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A,且 P1C≥MC,P2A≥MA,所以点 P 与外心 M 重合时,P 到三镇的最远距离最小. 答:点 P 的坐标是 EMBED Equation.3 例 7. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷理工农医类 20) ) A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1,A2,A3,B 队队员是 B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A1 对 B1 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A2 对 B2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A3 对 B3 ,

EMBED Equation.3

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,

负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 7

A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A1 对 B1 A2 对 B2 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 A3 对 B3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A

队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η A 队队员负的概率 A1 对 B1 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 A3 对 B3 EMBED Equation.3

A2 对 B2 EMBED

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后

所得总分分别为ξ 、η A1 对 B1 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A1 对 B1 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 A3 对 B3 EMBED Equation.3

A2 对 B2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 A2 对 B2 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 A3 对 B3 EMBED Equation.3 A2 对 B2

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 现按

EMBED Equation.3 A3 对 B3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η EMBED Equation.3 A2 对 B2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A3 对 B3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 现按表中对阵方式出场,每场胜

队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η A2 对 B2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A3 对 B3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A

队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η A2 对 B2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A3 对 B3

EMBED Equation.3

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A

队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

A3 对 B3

EMBED Equation.3

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B

队最后所得总分分别为ξ 、η EMBED Equation.3 A3 对 B3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3



按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 8

η A3 对 B3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

现按表中对阵方式出场,每场

胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η A3 对 B3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 现按表中对阵方式出场,每场 胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、η EMBED Equation.3 现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、 B 队最后所得总分分别为ξ 、η 现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别为ξ 、 η 现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别 为ξ 、η (1)求ξ 、η 的概率分布; (2)求 Eξ ,Eη . 分析:本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问 题的能力. 解: (1)ξ 、η 的可能取值分别为 3,2,1,0. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 根据题意知ξ +η =3,所以 P(η =0)=P(ξ =3)= EMBED Equation.3 =2)= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , P(η =3)=P(ξ =0)= EMBED Equation.3 , P(η =1)=P(ξ ,

P(η =2)=P(ξ =1)= .

(2) EMBED Equation.3

; 因为ξ +η =3,所以

EMBED Equation.3

例 8. (2004 年湖北卷)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3, 一 旦发生,将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、 乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概 率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预 防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) ... 解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元) ; ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 9

1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) ,所以总费用为 45+40=85(万元) ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1- 0.85=0.15, 损失期望值为 400×0.15=60(万元) ,所以总费用为 30+60=90(万元) ; ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+30=75(万元) ,发生突发事件 的概 率为(1-0.9) (1-0.85)=0.015,损失期望值为 400×0.015=6(万元) ,所以总费用为 75+6=81 (万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总 费 用最少. 例 9.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那 么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末汽车保有量为 EMBED Equation.3 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 EMBED Equation.3 Equation.3 万 辆 , EMBED Equation.3 万 辆 , ? ? , 每 年 新 增 汽 车 EMBED

万辆,则 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 时 , EMBED Equation.3 , 两 式 相 减 得 : EMBED

所 以 , 当 EMBED Equation.3 Equation.3 (1) 显然, EMBED Equation.3 若 此时 EMBED Equation.3 (2)若 EMBED Equation.3 为首项,以 EMBED Equation.3 (i)若 EMBED Equation.3 Equation.3

, EMBED Equation.3 则

, EMBED Equation.3 即 为以 EMBED Equation.3 .



,则数列 EMBED Equation.3

为公比的等比数列,所以, EMBED Equation.3 ,则对于任意正整数 EMBED Equation.3 ,此时, EMBED Equation.3

,均有 EMBED

,所以, EMBED Equation.3

(ii)当 EMBED Equation.3 Equation.3

时, EMBED Equation.3

,则对于任意正整数 EMBED ,

,均有 EMBED Equation.3 ,得

,所以, EMBED Equation.3

由 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , ,均有 EMBED Equation.3 恒成立,

要使对于任意正整数 EMBED Equation.3 即 EMBED Equation.3

对于任意正整数 EMBED Equation.3

恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得 EMBED Equation.3 , 的函数

上式恒成立的条件为: EMBED Equation.3

,由于关于 EMBED Equation.3

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 10

EMBED Equation.3

单调递减,所以, EMBED Equation.3

.

说明:本题是 2002 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的 不等式恒成立问题,其分离变量后又转化为函数的最值问题. 例 10. (2004 年重庆卷)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 EMBED Equation.3 (吨)与每吨产品的价格 EMBED Equation.3 (元/吨)之间的关系式为: EMBED Equation.3 ,且生产 x 吨的成本为 EMBED Equation.3 (元).问该厂每月生产多少吨产

品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本) 解:每月生产 x 吨时的利润为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

,故它就是最大值点,且最大值为: EMBED Equation.3

答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

PAGE

\* MERGEFORMAT - 1 - 11


推荐相关:

2014高考数学“拿分题”训练:平面向量与解析几何(精)

2014高考数学拿分题训练:平面向量与解析几何(精)_幼儿读物_幼儿教育_教育...者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面...


2014年高考数学填空题解题方法与技巧(教师版)

2014高考数学填空题解题方法技巧(教师版)_高考_...公式等知识,通过变形、推理、 运算等过程,直接得到...


2014高考数学“拿分题”训练:填空题的常用方法

2014高考数学拿分题训练:填空题的常用方法_职高...1 ? q 。 分析:此抛物线开口向上,过焦点且斜率为...2014高考数学 (知识整合... 7页 5下载券 2014...


备战2014高考数学真题集锦:《三角函数的性质和解三角形》

备战2014高考数学真题集锦:《三角函数的性质和解三角...重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力...和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题. ...


2014年河南高考数学考点分析

2014年河南高考数学考点分析_高考_高中教育_教育专区...09,10,11,三年都考了提取 i 可很快化简的技巧。...题就 印发,狂轰乱炸.通过专项训练(模块)构建知识...


2014高考数学 试题质量分析报告 理

2014 高考数学 试题质量分析报告 理一、试题分析 (...(74 分) 导数应用 数列、推理 不等式 复数 几何 ...第 9 题考查线性规划的基础知识,难度不大。 第 ...


【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考...

【三维设计】2014高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象...[答案] B 由题悟法 “看图说话”常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行...


2012-2014高考数学试题(理科)-高考状元之路

课标高考数学试题,精选合适的试题进行改编;⑤题型新 颖,创新性好,原创度高;⑥注重在知识网络的交汇处命题,强调知识整合,突出考查学生综合运用数 学知识分析问题...


2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题...

2014高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)_高考_高中教育_教育专区。2014高考数学一轮复习教学案(...


2014年高考数学选择题解题方法与技巧(教师版)

2014高考数学选择题解题方法技巧(教师版)_高考_...【例题】 、设函数 f ( x) 定义在实数集上,它...定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com