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高一数学必修一 函数的单调性与最值


函数的单调性与最值

高一数学组

1.观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律:
y y y

1 -1 -1 1 x -1

1 1 -1 x -1

1 1 x -1

①随x的增大,y的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性?

2.画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1) f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ② 在区间 ____________ 上,随着x的增 大,f(x)的值随着 ________ .
2 x (2) f(x) = ① 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x 的增大而 ________ . ② 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x 的增大而 ________ .

函数单调性的定义

1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个

自变量 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
那么就说f(x)在区间D上是增函数. 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

减函数 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说f(x)在区间D上是减函数. 注意: 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质,是函数的局部性质; 2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1 , x2 .

2.函数的单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是 减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:

例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数y ? f ( x) , 根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区 间上,它是增函数还是减函数?

解:函数 y ? f ( x) 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ),

[ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 y ? f ( x) 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 )
上是减函数,在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。

例2 证明函数 f ( x) ?

1 在区间 (0,??)上是减函数。 x

3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①任取x1,x2∈D,且 x1 ? x2 ; ②作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负);

⑤判断(即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性).

请你归纳利用定义判断函数的单调性 的步骤。

3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①任取x1,x2∈D,且 x1 ? x2 ; ②作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负);

⑤判断(即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性).

课堂练习
课本第38页 练习1、2、3、4题

课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利
用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函

数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调
性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断

课后作业 课本第39页 习题1.3(A组) 第1﹑2﹑3﹑4题

k 例3.物理学中的玻意耳定律 p ? (k为正常数)告 V
强P将增大,试用函数的单调性证明之。

诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压

k 分析:按题意,只要证明函数 p ? 在区间( 0, V
+∞ )上是减函数即可。

证明:根据单调性的定义,设 V1 , V2 是定义域 ( 0,+∞ )上的任意两个实数,且 V1 ? V2,则

V2 ? V1 k k p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k . V1 V2 VV 1 2
由 V1 ,V2 ? (0, ??) ,得 V1 ,V2 ? 0 ;
由 V1 ? V2 ,得 V2 ? V1 ? 0 ;

又 k>0,于是

p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0,
即: p(V1 ) ? p(V2 ).

k 所以,函数 p ? , V ? (0, ??) 是减函数, V
也就是说,当体积V减小时,压强P将增大。

函数的最值
最大值的定义

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: f ( x) ? M (1)对于任意的 x ? I , 都有 , (2)存在 x0 ? I , 使得f ( x0 ) ? M . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值 (maximum value)
思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗?

例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一,制造时一般 是 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高 度h m与时间t s之间的关系为 , 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的的最佳时刻? 这时 距地面的高度是多少 (精确 到1m)?

解:作出函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18. 的图象, 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶

点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是
这时距地面的高度。

由二次函数的知识,对于函数

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18.
我们有:

14.7 当t?? ? 1.5 时,函数有最大值 2 ? (?4.9)

4 ? (?4.9) ? 18 ? 14.72 h? ? 29. 4 ? (?4.9)
于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为29m。

和最小值。

2 例4.求函数 y ? 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值 x ?1

课堂练习
课本第38页 练习1、5题

课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利
用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函

数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调
性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断

课后作业 课本第45页 习题1.3(A组) 第3﹑4 ﹑ 5 题


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