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人教版高中数学全套教案导学案平面向量基本定理

第六教时

教材:平面向量基本定理

目的:要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或

一个向量分解为两个向量。 [来源:Z§xx§k.]
过程:一、复习:1.向量的加法运算(平行四边形法则)。 2.实数与向量的积
二、由平行四边形 想到:

3.向量共线定理

1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量 ?且分解是唯一?

2.对于平面上两个不共线向量 e1 , e2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来 表示?

——提出课题:平面向量基本定理

三、新授:1.(P105-106)

e1



e2

是不共线向量,

? a

是平面内任一向量

e1

a

OA = e1

e2
OM =λ 1 e1

M

C

M

M

? O OC = a = ONM

+BON =λ

1 e1 +λ

2 e2

OB = e2

ON =λ 2 e2

得平面向量基本定理:如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于

这一平面内的任一向量

? a

,有且只有一对实数λ

1,λ

2

使

? a



1 e1 +λ

2 e2

注意几个问题:1? e1 、e2 必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基 底

2? 这个定理也叫共面向量定理

3?λ

1,λ

2

是被

? a



e1



e2

唯一确定的数量

2.例一( P106 例三)已知向量 e1 , e2 求作向量?2.5 e1 +3 e2 。

[来源:ZXXK]

作法:1? 取点 O,作 OA =?2.5 e1 OB =3 e2 e2

C M

B M

2? 作 OACB, OC 即为所求+

例二、(P106 例 4)如图



? a



? b

表示

MA



MB



ABCD 的两条对角e线1 交于A点
MC 和 MD

M,且

AB

=

? a


O

N
AD

=

? b



ABCD 中D

C M

b

M

??

AC = AB + AD = a + b A

a

[来源:Zxxk.]
B

?? DB = AB ? AD = a ? b

M

解:在 ∵



MA =? 1

AC =? 1

(

? a

+

? b

)=?

1

? a

?

1

? b

2

2

22

MB = 1

DB = 1

(

? a

?

? b

)=

1

? a

?

1

? b

2

2

22

MD =? MB =? 1

DB =? 1

? a

+

1

? b

2

22

1

1? 1?

MC = AC = a + b [来源:ZXXK]

2

22

例三、已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,

求 证: OA + OB + OC + OD =4 OE
证:∵E 是对角线 AC 和 BD 的交点
D
∴ AE = EC =? CE

BE = ED =? DE

在△OAE 中

OA + AE = OE

A

同理: OB + BE = OE

OC + CE = OE

C O
E
B
OD + DE = OE

以上各式相加,得: OA + OB + OC + OD =4 OE [来源:学*科*]

例四、(P107 例五)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP

P
OP = OA + AP = OA + t AB
B

解:∵ AP =t AB ∴

= OA +O t( OB ? OA )

A

= OA + t OB ?t OA

=(1?t)
OA + t OB 四、小结:平面向量基本定理,其实质在于:同一平面内任一向量都可以表示 为两个不共线向量的线性组合。 五、作业: 课本 P107 练习 P108 习题 5.3 3-7


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