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【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切重点精选课件 文_图文

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

考 纲 展 示

2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们 的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关一:了解考情,熟悉命题角度
【考情分析】
三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常

与三角函数的其他知识相结合命题,题目难度适中,为中档题.

【命题角度】
高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度: (1)与三角函数的图象和性质相结合命题;

(2)与向量相结合命题;
(3)与解三角形相结合命题(见本章第六节).

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关二:典题针对讲解——与三角函数图象和性质结合命题
[例 1] (2013·天津高考)已知函数 f(x)=- 2sin 6sin xcos x-2cos2x+ 1, x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π 0, (2)求 f(x)在区间 2 上的最大值和最小值. π π 解: (1)f(x)=- 2sin 2x·cos - 2cos 2x·sin + 3sin 2x-cos 2x= 4 4 π 2 x- 2π 2sin 2x-2cos 2x=2 2sin 4 .所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 3π 3π π 0, (2) 因为 f(x)在区间 8 上是增函数, 在区间 8 , 2 上是减函数, 3π π π 0, 又 f(0)=- 2, f 8 =2 2, f 2 =2, 故函数 f(x)在 2 上的最大值为 2 2, 最小值为- 2. 2 x+ π 4+

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关二:典题针对讲解——与向量相结合命
[例题 2]

(2013·辽宁高考)设向量 a=( 3sin x, sin x),b=(cos x, sin x) π 0, x∈ 2. (1)若 |a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)= a·b,求 f(x)的最大值.
解: (1)由|a|2=( 3sin x)2+sin2x=4sin2x, |b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|, π 0 , 1 π 得 4sin2x=1. 又 x∈ 2 ,从而 sin x= ,所以 x= . 2 6 π 2 x - 3 1 1 1 (2)f(x)=a·b= 3sin xcos x+sin2x= sin 2x- cos 2x+ =sin 6+ , 2 2 2 2 π π 2x- π 0, 当 x= ∈ 2 时,sin 6 取最大值 1. 3 3 所以 f(x)的最大值为 . 2

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关三:总结问题类型,掌握解题策略
三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题. 借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)=Asin(ωx+φ) 的形式,然后借助三角函数图象解决. (2)与向量相结合的综合问题. 此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题,然后再利用三 角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决.

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
1. 已知平面向量 a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R 是实数集,f(x)=a·b+4cos2x+2 3sin xcos x,如果存在 m∈R , 任意的 x∈R ,f(x)≥f(m),那么 f(m)=( A.2+2 3 B.3 C.0 ) D.2-2 3

解析:选 C 依题意得 f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+ 3sin 2x= π 2x+ 2 2 sin x+3cos x+ 3sin 2x=cos 2x+ 3sin 2x+2=2sin 6 +2 , 因此函数 f(x)的最小值是-2+2=0,即有 f(m)=0.

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
π ω x - π 2. 已知 x0,x0+ 是函数 f(x)=cos2 6 -sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点. 2 π 7π - ,0 (1)求 f 12 的值;(2)若对?x∈ 12 ,都有|f(x)-m|≤1,求实数 m 的取值范围.

π 2ωx- 1-cos 2ωx 1 解:(1)f(x)= - = cos 3 +cos 2ωx 2 2 2 1 3 3 3 1 cos 2ωx+ sin 2ωx 1 sin 2ωx+ cos 2ωx +cos 2ωx = 2 = 2 2 2 2 2 1 3 π 3 sin 2ωx+ cos 2ωx 3 2ωx+ = 2 2 = sin 3. 2 2 2π 由题意可知,f(x)的最小正周期 T=π,∴ =π,又∵ω>0, |2 ω| π π π π 3 2x + 3 2× + 3 π 3 ∴ω=1,∴f(x)= sin 3 .∴f 12 = sin 12 3 = sin = . 2 2 2 2 2 1+cos

2ωx-

π 3

高频考点全通关——三角变换的综合应用 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
(2)|f(x)-m|≤1,即 f(x)-1≤m≤ f(x)+ 1,∵对? x∈ - 7π ,0 , 12

都有 |f(x)- m|≤1,∴m≥ f(x)max- 1 且 m≤ f(x)min+1, ∵- 7π 5π π π ≤x≤ 0,∴- ≤2x+ ≤ ,∴-1≤sin 12 6 3 3 3 3 ≤ sin 2 2 2 x+ 2x+ π 3 3≤ , 2

∴-

π 3 3 3 3 ≤ ,即 f(x)max= ,f(x)min=- , 4 4 2

1 3 - , 1 - 1 3 ∴- ≤ m≤1- .故实数 m 的取值范围为 4 2 . 4 2
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