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2014年北京市海淀区高三一模数学(理)试题及答案


2014.4 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1? ?1 ? ? 1.已知集合 A ? ?1,2, ? , 集合B ? y y ? x 2 , x ? A , 则A ? B ? A. ? ? B. ? 2? C. ? 1? D. ? 2? ? ?2? 2.复数 z ? ?1 ? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0, 2) C. ?0,1? D. (2,0)

?

?

3.下列函数 f ( x ) 图象中,满足 f ( ) ? f (3) ? f (2) 的只可能是

y

y

1 4

y

y

1

O
A

x
O

1
x

O

1

x

1
O x

B

C

D

? x ? 1 ? t, ( t 为参数),则直线 l 的普通方程为 y ? ? 1 ? t ? A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 5.在数列 ?an ?中,“ an ? 2an?1 , n ? 2,3, 4,?”是“ ?an ?是公比为 2 的等比数列”的
4.已知直线 l 的参数方程为 ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相 对,不同的摆法有 A. 4 种 B.5 种 C.6 种 D.9 种 7.某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动,在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6 折后)满 300 元 时可减免 100 元”.某人在 11 日当天欲购入原价 48 元(单价)的商品共 42 件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张 3 3 数为 A.1 B.2 C.3 D.4

1 相交且交点恰为 x 线段 AB 的中点,则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.记曲线 G 关于曲线 M 的关联点 A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2 的个数为 a ,则
8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上,若线段 AB 与曲线 M : y ?

8

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______. 10. 函数 y ? x ? x 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.
2

A C B
6

主视图
4

侧视图

11.如图, AB 切圆 O 于 B , AB ? 3 , AC ? 1 ,则 AO 的长为_______. 12. 已知圆 x ? y ? mx ?
2 2

O

1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线相切,则 m ? _______. 4

俯视图

BD ? ________. DC 14.已知向量序列: a1 , a2 , a3 ,?, an ,? 满足如下条件: | a1 |? 4 | d |? 2 , 2a1 ? d ? ?1 且 an ? an?1 ? d ( n ? 2,3, 4,? ). 若 a1 ? ak ? 0 ,则 k ? ________; | a1 |,| a2 |,| a3 |,?,| an |,? 中第_____项最小.
13.如图,已知 ?ABC 中, ?BAD ? 30? , ?CAD ? 45? , AB ? 3, AC ? 2 ,则

A

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
π π x cos x ,过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线的 6 6 3 3 斜率记为 g (t ) .(Ⅰ )求 g (0) 的值; (II)写出函数 g (t ) 的解析式,求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围. B 2 2
15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2sin

D

C

16. (本小题满分 13 分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、 乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据,制表如下:
甲公司某员工 A 乙公司某员工 B

3 2 3 4 6 6 6 7 7 0 1 4 4 2 2 2 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (Ⅱ)为了解乙公司员工 B 的每天所得
1

3

9

6

5

8

3

劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得的劳务费记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. (本小题满分14分)如图1,在Rt△ABC中,∠ ACB=30° ,∠ ABC=90° ,D为AC中点, AE ? BD 于 E ,延长AE交BC于 F,将 ? ABD沿BD折起,使平面ABD ? 平面BCD,如图2所示. (Ⅰ )求证:AE⊥ 平面BCD; (Ⅱ )求二面角A–DC –B的余弦 值. (Ⅲ )在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在,请说明理由. A 18. (本小题满分13分)已知曲线 C : y ? eax .(Ⅰ )若曲线C在点 (0,1) A 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值;(Ⅱ )对任意实数 a , 曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围.
2 2

D E F
E D

19. (本小题满分 14 分)已知 A, B 是椭圆 C : 2 x ? 3 y ? 9 上两点, 点 M 的坐标为 (1,0) .(Ⅰ )当 A, B 两点关于 x 轴对称,且 ?MAB 为

C B C B F 等边三角形时,求 AB 的长; (Ⅱ )当 A, B 两点不关于 x 轴对称时, 图 1 图 2 证明: ?MAB 不可能为等边三角形. 20. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点) A(n) : A1 , A2 , A3 ,?, An 与 B(n) : B1 , B2 , B3 ,?, Bn ,其中 n ? 3 ,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段
Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1 ,其中 i ? 1, 2,3,?, n ?1 ,则称 A(n) 与 B(n) 互为正交点列.(Ⅰ)求 A(3) : A1 (0, 2), A2 (3,0), A3 (5, 2) 的正 交点列 B(3) ; (Ⅱ )判断 A(4) : A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 是否存在正交点列 B (4) ?并说明理由; (Ⅲ ) ?n ? 5,n ? N,是否都存在无正交点列的有序整点列 A(n) ?并证明你的结论.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学(理科)

2014.4

阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 3 2 1 3 9. 96 10. 11. 2 12. 13. 14. 9;3 (本题第一空 3 分,第二空 2 分) 4 6 4 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解: (Ⅰ ) f ( x) ? sin

f (1) ? f (0) 1 π 3 . ? sin ? sin 0 ? 3 2 f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t (Ⅱ ) g (t ) ? t ?1? t 3 3 3 ? π ? π π ? sin t cos ? cos t sin ? sin t 3 3 3 3 3 1 π 3 π ? ? sin t ? cos t 2 3 2 3 π π ? ? sin( t ? ) 3 3 3 3 π π 5π π , ], 因为 t ? [ ? , ] ,所以 t ? ? [? 2 2 3 3 6 6 ? π 1 ? ) ? [ 1 ,, ] 所以 s i n ( t ? 3 3 2 1 3 3 所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ? ,1] 2 2 2 g (0) ?

π x 3

------------------2 分 ------------------------------3 分 -------------------------------5 分 ------------------------------6 分 ------------------------------7 分 ------------------------------8 分 ------------------------------10 分 ------------------------------11 分 -----------------------------12 分 -----------------------------13 分

16.解: (Ⅰ )甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36,众数为 33. --------------------------------2 分 (Ⅱ )设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则当 a =34 时, X =136 元,当 a >35 时, X ? 35 ? 4 ? ( a ? 35) ?7 元, -------------------------------4 分 X 的可能取值为 136,147,154,189,203 {说明:X 取值都对给 4 分,若计算有错,在 4 分基础上错 1 个扣 1 分,4 分扣完为止}
2

X 的分布列为: X
136 147 154 189 203

P

1 10

3 10

2 10

3 10

1 10

--------------------------------------9 分 {说明:每个概率值给 1 分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

E ( X ) ? 136 ?

1 3 2 3 1 1655 = =165.5(元) -----------------11 分 ? 147 ? ? 154 ? ? 189 ? ? 203 ? 10 10 10 10 10 10

(Ⅲ )根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工该月收入 4965 元. ----------13 分 17. (Ⅰ )因为平面 ABD ? 平面 BCD ,交线为 BD ,又在 ?ABD 中, AE ? BD 于 E , AE ? 平面 ABD 所以 AE ? 平面 BCD . --------------------------------------3 分 (Ⅱ )由(Ⅰ )结论 AE ? 平面 BCD 可得 AE ? EF .由题意可知 EF ? BD ,又 AE ? BD . 如图,以 E 为坐标原点,分别以 EF , ED, EA 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角 z A1 坐标系 E ? xyz ------------------------4 分 不妨设 AB ? BD ? DC ? AD ? 2 ,则 BE ? ED ? 1 . 由图 1 条件计算得, AE ? 3 ,

BC ? 2 3 , BF ?

3 3
3 , 0, 0), C ( 3, 2, 0) -------5 分 3
B

E

D Fx

y C

则 E (0, 0, 0), D(0,1, 0), B(0, ?1, 0), A(0, 0, 3), F (

???? ??? ? ??? ? DC ? ( 3,1,0), AD ? (0,1, ? 3) . 由 AE ? 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . ------------------6 分 ???? ? ? ?n ? DC ? 0, ? 3x ? y ? 0, 设平面 ADC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ???? 即? 令 z ? 1 ,则 y ? 3, x ? 1, ? ? ? n ? AD ? 0. ? y ? 3z ? 0. ??? ? ??? ? ??? ? EA ? n 5 ? 所以 cos ? n, EA ?? ??? , ?? 所以 n ? (1, 3, ?1) .----------8 分 平面 DCB 的法向量为 EA 5 | EA | ? | n |
所以二面角 A ? DC ? B 的余弦值为

5 5

------------------------------9 分

???? ? ??? ? 3 3 , 0, ? 3) ,所以 AM ? ? AF ? ? ( ,0, ? 3) , 3 3 ???? ? ??? ? ???? ? ? 3 ? ? ,0,(1 ? ? ) 3 其中 ? ? [0,1] ----------10 分 所以 EM ? EA ? AM ? ? ? ? 3 ? -------------------11 分 ? ? ???? ? 3 3 由 EM ? n ? 0 ,即 ? -(1-?) 3 ? 0 ----------------12 分 解得 ? = ? (0,1) .--------------13 分 4 3 ???? ? AM 3 ? .-------------14 分 所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM∥平面ADC ,且 AF 4 ax 18.解(Ⅰ ) y? ? ae , ---------------------2 分 因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m ,
(Ⅲ )设 AM ? ? AF ,其中 ? ? [0,1] .由于 AF ? ( 所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 .---------------------4 分 即? x, a ?R, e ? ax ? b ? 0 恒成立, ----------------6 分
ax

???? ?

??? ?

??? ?

解得 m ? 1 , a ? 2 ------------------5 分
ax

(Ⅱ )法 1:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于? x, a ? R ,都有 e ? ax ? b , ① 若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b ,所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; -----------------8 分 令 g ( x) ? e ? ax ? b , ---------------------7 分
ax

? ② 若 a ? 0 , g ( x) ? a(e ?1) ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 , --------------------9 分 g '( x), g ( x) 的情况如下:----------------------------------------11 分
ax

所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b , ---------------------12 分

x g '( x ) g ( x)

(-?, 0) 0
?
?
ax

(0,+?)
+

0 极小值

?

所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ;综上,实数 b 的取值范围是 b ? 1 . ----------------13 分 ? x, a ?R, b ? e ? ax 恒成立, -------------------6 分
ax

法 2:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于? x, a ? R ,都有 e ? ax ? b ,即 令 t ? ax ,则等价于? t ? R , b ? e ? t 恒成立,
t

? 令 g (t ) ? e ? t ,则 g (t ) ? e ? 1, --------------7 分
t t

由 g '(t ) ? 0 得 t ? 0 , ----------9 分
3

g '(t ), g (t ) 的情况如下:-------------11 分
t 所以 g (t ) ? e ? t 的最小值为 g (0) ? 1 , -------12 分

t
g '(t ) g (t )

(-?, 0) 0
?
?
0 极小值

(0,+?)
+

实数 b 的取值范围是 b ? 1 . --------------13 分

?

3 | y0 |? | x0 ? 1| A ( x , y ) B ( x , ? y ) 0 0 , 0 0 , --------1 分 3 19.解: (Ⅰ) 设 因为 ? ABM 为等边三角形,所以 .---------2 分 ? 3 | x0 ? 1|, ?| y0 |? ? 3 2 2 A( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以 ? ? 2 x0 ? 3 y0 ? 9, 消去 y0 , ----------------3 分 又点

4 x0 ? ? 2 x ? 2 3 x ? 2 x ? 8 ? 0 3 , ---------------4 分 0 0 得到 ,解得 0 或 4 14 3 2 3 x0 ? ? | AB |? | AB |? x ? 2 3 时, 9 . ------------------5 分 3 ;当 当 0 时,
(Ⅱ )法 1:根据题意可知,直线 AB 斜率存在.设直线 AB : y ? kx ? m ,

{说明:若少一种情况扣 2 分}

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, ? 2 2 2 y ? kx ? m y 联立 ? 消去 得 (2 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 9 ? 0 , ------------------6 分 2 2 由 ? ? 0 得到 2m ? 9k ? 6 ? 0 ① ------------------7 分 6km 4m x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 2 ? 3k , 2 ? 3k 2 , -------------8 分 所以 3km 2m N (? , ) 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2 ,又 M (1, 0) 如果 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB , --------------9 分 所以 2m 2 ? 3k 2 ? k ? ?1 3km ? 2 k ? k ? ?1, 即 2 ? 3k 2 ? 1 所以 MN , -------10 分 化简 3k ? 2 ? km ? 0 ,② ------------------------11 分
m??
由② 得

3k 2 ? 2 (3k 2 ? 2) 2 2 ? 3(3k 2 ? 2) ? 0 2 k2 k ,代入① 得 ,化简得 3k ? 4? 0 ,不成立, -----------------13 分

9k 4 ? 18k 2 ? 8 ?0 2 2 4 2 k2 {此步化简成 或 9k ? 18k ? 8 ? 0 或 (3k ? 2)(3k ? 4) ? 0 都给分} 故 ? ABM 不能为等边三角形. -------------------------------------14 分 A( x1 , y1 ) ,则 2 x12 ? 3 y12 ? 9 ,且 x1 ? [?3,3] , 法 2:设

2 1 | MA |? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? 3 ? x12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 1 3 3 所以 ,----------------8 分 1 | MB |? ( x2 ? 3) 2 ? 1 B ( x , y ) 3 2 2 ,同理可得 设 ,且 x2 ?[?3,3] -----------------9 分

1 y ? ( x ? 3) 2 ? 1 3 因为 在 [?3,3] 上单调。所以,有 x1 ? x2 ? | MA |?| MB | , --------------11 分
因为 A, B 不关于 x 轴对称,所以 x1 ? x2 .所以 | MA |?| MB | , ---------------------------------13 分 所以 ? ABM 不可能为等边三角形. -------------------------------14 分 20.解: (Ⅰ ) 设点列

A1 (0, 2), A2 (3,0), A3 (5, 2) 的正交点列是 B1 , B2 , B3 ,由正交点列的定义可知 B1 (0, 2), B3 (5, 2) ,设 B2 ( x, y) , ????? ????? ????? ????? A1 A2 ? (3, ?2), A2 A3 ? (2,2) , B1B2 ? ( x, y ? 2), B2 B3 ? (5 ? x,2 ? y) ,

?3x ? 2( y ? 2) ? 0, ?x ? 2 ????? ????? ????? ????? , ? ? A A ? B B ? 0 , A2 A3 ? B2 B3 ? 0 ,即 ?2(5 ? x) ? 2(2 ? y) ? 0 解得 ? y ? 5 由正交点列的定义可知 1 2 1 2 A (0, 2), A2 (3,0), A3 (5, 2) 的正交点列是 B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) .------3 分 所以点列 1
4

????? ????? ????? A A ? (3,1), A A ? (3, ? 1) , A3 A4 ? (3,1) ,设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列, 2 3 (Ⅱ )由题可得 1 2 ????? ????? ????? B B ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3), B3 B4 ? ?3 (?1,3) , ? ,? ,? ? Z 。因为 A1与B1 , A4与B4 相同,所以有 则可设 1 2
1 2 3

? ?-?1 +?2 -?3 =9 , (1) ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 . (2) 因为 ? ,? ,? ? Z ,方程(2)显然不成立, 1 2 3 A ( 0,0), A ( 3,1), A ( 6,0) , A4 (9,1) 不存在正交点列;---------------8 分 2 3 所以有序整点列 1
(Ⅲ ) ?n ? 5,n ? N ,都存在整点列 A(n) 无正交点列.

?????? ?n ? 5,n ? N ,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3?, n ? 1 ?????? B , B , B , ? B A , A , A , ? A n 是点列 1 2 3 n 正交点列,则 Bi Bi ?1 ? ?i (?b i , ai ), i ? 1,2,3,?, n ?1 , 若有序整点列 1 2 3
n ?1 ? n ?1 ? ? b ? ?? i i ? ai , (1) ? i =1 i ?1 ? n ?1 n ?1 ? ? a ? b . (2) ? ii ? i ? i ?1 ? i =1

-------------------------9 分

则有

?1, i为奇数 ai =3,bi = ? , i ? 1, 2,3,?, n ? 1 -1 , i 为偶数 A (0,0) , B , B , B ,? Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , ? n 1 ① 当 为偶数时,取 .由于 1 2 3
i ? 1, 2,3,?, n ? 1 . 等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立,所以该点列 A1 , A2 , A3 ,? An 无正交点列; ?1, i为奇数 ai =3,bi = ? , i ? 2,3,?, n ? 1 A1 (0,0), a1 =3, b1 ? 2 B1 , B2 , B3 ,? Bn ?-1,i为偶数 n

② 当 为奇数时,取

有 i Z , i ? 1, 2,3,?, n ? 1 . 正交点列.

??

,

,由于

是整点列,所以

等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立,所以该点列

A1 , A2 , A3 ,? An 无

综上所述, ?n ? 5,n ? N ,都不存在无正交点列的有序整数点列 A(n) ----------13 分

5


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