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高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积1课时训练含解析


§2.4

向量的数量积(一)

课时目标 1. 通过物理中“功”等实例, 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向 量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律.

1.向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a , b ,作 OA = a , OB = b ,则∠ AOB = θ (0°≤θ ≤180°)叫做 ________________.当 θ =0°时,a 与 b________;当 θ =180°时,a 与 b 反向;当 θ =90°时,则称向量 a 与 b 垂直,记作________.

2.平面向量数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量____________叫做 a 与 b 的数量积(或 内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为________. (3)投影:设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ ,则向量 a 在 b 方向上的投影是________, 向量 b 在 a 方向上的投影是________. 3.数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________的 乘积. 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=________(交换律); (2)(λ a)·b=________=________(结合律); (3)(a+b)·c=________(分配律).

一、填空题 1.|a|=2,|b|=4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,则向量 a 在向量 b 方向上的投 影为________. 2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则 λ =________. 3.已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________. → → → 4.在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设BC=a,CA=b,AB=c,则 a·b+b·c+c·a =________. 5.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为________. 6. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, 且|a|=|b|=4, 那么 b·(2a+b)的值为________. 7.给出下列结论: ①若 a≠0,a·b=0,则 b=0;②若 a·b=b·c,则 a=c;③(a·b)c=a(b·c);④ a·[b(a·c)-c(a·b)]=0. 其中正确结论的序号是________. 8.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=________. 9.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量 a 的模为 ________. 10.已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是 ________. 二、解答题 11.已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b;
1

(3)a 与 b 的夹角为 60°时,分别求 a 与 b 的数量积.

π 12.已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 3

能力提升 13.已知|a|=1,|b|=1,a,b 的夹角为 120°,计算向量 2a-b 在向量 a+b 方向上 的投影.

14. 设 n 和 m 是两个单位向量, 其夹角是 60°, 求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.

2

1 .两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正 (当 a≠0 , b≠0,0°≤θ <90°时), 也可以为负(当 a≠0, b≠0,90°<θ ≤180°时), 还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ =90°时). 2.数量积对结合律一般不成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c 是一个与 c 共线的向量,而(a·c)·b=|a|·|c|cos〈a,c〉·b 是一个与 b 共线的向量,两者一 般不同. 3.向量 b 在 a 上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于 θ 角,注意 a 在 b 方向上 的射影与 b 在 a 方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分. §2.4 向量的数量积(一) 知识梳理 1.a 与 b 的夹角 同向 a⊥b 2.(1)|a||b|cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ 3.|b|cos θ 4.(1)b·a (2)λ (a·b) a·(λ b) (3)a·c+b·c 作业设计 1.-1 解析 a 在 b 方向上的投影是 |a|cos θ =2×cos 120°=-1. 3 2. 2 解析 ∵(3a+2b)·(λ a-b) 2 2 =3λ a +(2λ -3)a·b-2b 2 2 =3λ a -2b =12λ -18=0. 3 ∴λ = . 2 3.2 2 2 2 2 2 解析 |2a -b| = (2a -b) = 4|a| - 4a·b +|b| =4×1-4×0+ 4= 8,∴|2a - b| = 2 2. 3 4.- 2 → → → → 解析 a·b=BC·CA=-CB·CA 1 → → =-|CB||CA|cos 60°=- . 2 1 1 同理 b·c=- ,c·a=- , 2 2
3

3 ∴a·b+b·c+c·a=- . 2 5.120° 2 解析 由(2a+b)·b=0,得 2a·b+b =0, 设 a 与 b 的夹角为 θ , 2 ∴2|a||b|cos θ +|b| =0. 2 2 |b | |b| 1 ∴cos θ =- =- 2=- ,∴θ =120°. 2|a||b| 2|b| 2 6.0 2 解析 b·(2a+b)=2a·b+|b| 2 =2×4×4×cos 120°+4 =0. 7.④ 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时,a·b=0,故①不正确; 当 a=0,b⊥c 时,a·b=b·c=0,但不能得出 a=c,故②不正确;向量(a·b)c 与 c 共线,a(b·c)与 a 共线,故③不正确; ④正确,a·[b(a·c)-c(a·b)] =(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0. 8.120° 2 2 2 2 解析 ∵a+b=c,∴|c| =|a+b| =a +2a·b+b . 2 又|a|=|b|=|c|,∴2a·b=-b , 2 即 2|a||b|cos〈a,b〉=-|b| . 1 ∴cos〈a,b〉=- , 2 ∴〈a,b〉=120°. 9.6 解析 ∵a·b=|a|·|b|·cos 60°=2|a|, 2 2 ∴(a+2b)·(a-3b)=|a| -6|b| -a·b 2 =|a| -2|a|-96=-72. ∴|a|=6. 10.[0,1] 2 2 解析 b·(a-b)=a·b-|b| =|a||b|cos θ -|b| =0, ∴|b|=|a|cos θ =cos θ (θ 为 a 与 b 的夹角),θ ∈[0,π ], ∴0≤|b|≤1. 11.解 (1)当 a∥b 时,若 a 与 b 同向, 则 a 与 b 的夹角 θ =0°, ∴a·b=|a||b|cos θ =4×3×cos 0°=12. 若 a 与 b 反向,则 a 与 b 的夹角为 θ =180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=4×3×(-1)=-12. (2)当 a⊥b 时,向量 a 与 b 的夹角为 90°, ∴a·b=|a||b|cos 90°=4×3×0=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 60°时, 1 ∴a·b=|a||b|cos 60°=4×3× =6. 2 1 25 12.解 a·b=|a||b|cos θ =5×5× = . 2 2 |a+b|= ?a+b? = |a| +2a·b+|b| 25 = 25+2× +25=5 3. 2 |a-b|= ?a-b? = |a| -2a·b+|b|
2 2 2 2 2

2

4

25 25-2× +25=5. 2 13.解 (2a-b)·(a+b) 2 2 2 2 =2a +2a·b-a·b-b =2a +a·b-b 1 2 2 =2×1 +1×1×cos 120°-1 = . 2 = |a+b|= ?a+b? = a +2a·b+b = 1+2×1×1×cos 120°+1=1. ∴|2a-b|cos〈2a-b,a+b〉 ?2a-b?·?a+b? =|2a-b|· |2a-b|·|a+b| ?2a-b?·?a+b? 1 = = . |a+b| 2
2 2 2

1 ∴向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投影为 . 2 14.解 ∵|n|=|m|=1 且 m 与 n 夹角是 60°, 1 1 ∴m·n=|m||n|cos 60°=1×1× = . 2 2 |a|=|2m+n|= ?2m+n? = 4×1+1+4m·n 1 = 4×1+1+4× = 7, 2 |b|=|2n-3m|= ?2n-3m? = 4×1+9×1-12m·n 1 = 4×1+9×1-12× = 7, 2 a·b=(2m+n)·(2n-3m) 2 2 =m·n-6m +2n 1 7 = -6×1+2×1=- . 2 2 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 7 - 2 a·b 1 cos θ = = =- . |a||b| 2 7× 7 2π 2π 又 θ ∈[0,π ],∴θ = ,故 a 与 b 的夹角为 . 3 3
2 2

5


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