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高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射课件新人教A版必修1_图文

第一章 1.2.2 函数的表示法
第2课时

分段函数及映射

学习 目标
1.掌握简单的分段函数,并能简单应用. 2.了解映射概念及它与函数的联系.

栏目 索引

知识梳理 题型探究 当堂检测

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知识梳理

自主学习

知识点一 分段函数

在 函 数 的 定 义 域 内 , 对 于 自 变 量 x 的 不 同 取 值 区 间 ,对有应着关不系同



,这样的函数通常叫做分段函数.

思考 分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段

函数是一个函数还是几个函数?分段函数的定义域和值域分别是什么?

答 分段函数是一个函数,而不是几个,各段定义域的并集即为分段函

数的定义域,各段值域的并集即为分段函数的值域.

答案

知识点二 映射 映射的定义:设A、B是两个 非空 的集合,如果按某一个确定的对应关 系f,使对于集合A中的 任意一个 元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元 素y与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射. 思考 函数与映射有何区别与联系? 答 函数是一种特殊的映射,即一个对应关系是函数,则一定是映射, 但反之,一个对应关系是映射,则不一定是函数.

答案

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题型探究

重点突破

题型一 分段函数求值
?x+1,x≤-2, 例 1 已知函数 f(x)=??x2+2x,-2<x<2,
??2x-1,x≥2. (1)求 f(-5),f(- 3),f[f(-52)]的值; 解 由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4,
f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3.

∵f????-52????=-25+1=-32,而-2<-32<2, ∴f[f(-52)]=f????-23????=????-32????2+2×????-32????=94-3=-34.

解析答案

(2)若f(a)=3,求实数a的值. 解 当a≤-2时,a+1=3, 即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. ∴(a-1)(a+3)=0,得a=1,或a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1,或a=2.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1 (1)若 f(x)=?????x-2,x,x≥x<00,, 则 f[f(-2)]等于( C )

A.2

B.3

C.4

D.5

(2)已知函数 f(x)=?????3-x+x,1, x>x1≤,1,

1 若 f(x)=2,则 x=__3___.

解析 (1)因为-2<0,所以f(-2)=-(-2)=2,

所以f[f(-2)]=f(2)=22=4.

(2)依题意得当 x≤1 时,3x+1=2,所以 x=13,

当 x>1 时,-x=2,x=-2(舍去),故 x=13.

解析答案

题型二 分段函数的图象及应用

例2

已知 f(x)=?????x12,,

-1≤x≤1, x>1或x<-1,

(1)画出f(x)的图象;

解 利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.

(2)求f(x)的定义域和值域.

解 由条件知,函数f(x)的定义域为R.

由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],

当x>1或x<-1时,f(x)=1,

所以f(x)的值域为[0,1].

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 2

??-7,x∈?-∞,-2], 作出 y=??2x-3,x∈?-2,5],
???7,x∈?5,+∞?

的图象,并求 y 的值域.

??-7,x∈?-∞,-2],

解 y=??2x-3,x∈?-2,5], ???7,x∈?5,+∞?.

值域为 y∈[-7,7].

图象如图.

解析答案

题型三 映射的概念 例3 判断下列对应是不是映射? (1)A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤1},f:y=13x,x∈A,y∈B; 解 是映射. (2)A=N,B=N*,f:y=|x-1|,x∈A,y∈B; 解 对于A中的元素1,在f作用下的像是0,而0?B,故(2)不是映射. (3)A={x|0<x≤1},B={y|y≥1},f:y=1x,x∈A,y∈B; 解 是映射. (4)A=R,B={y|y∈R,y≥0},f:y=|x|,x∈A,y∈B. 解 对于A中的元素1和-1,在f作用下的像都是1,所以f是映射.
反思与感悟

解析答案

跟踪训练3 下列对应是从集合M到集合N的映射的是( D ) ①M=N=R,f:x→y=1x,x∈M,y∈N;②M=N=R,f:x→y=x2,x∈M, y∈N;③M=N=R,f:x→y=|x|+1 x,x∈M,y∈N;④M=N=R,f:x→y

=x3,x∈M,y∈N.

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④

解析 对于①,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以①不是映射.

对于③,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所以③不是映射.

对于②④,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应,所以②④是映射.故

选D.

解析答案

题型四 求某一映射中的像或原像

例4 设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,

y)→(x-y,x+y).

(1)求A中元素(-1,2)的像;

解 A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即A中元素(-1,2)的

像为(-3,1).

(2)求B中元素(-1,2)的原像.



?x-y=-1, 设 A 中元素(x,y)与 B 中元素(-1,2)对应,则??x+y=2,

解得???????xy= =1232, .

所以 B 中元素(-1,2)的原像为(12,32).

反思与感悟

解析答案

跟踪训练4 设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R}, 映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y), 则在f作用下,像(2,1)的原像是( B )

A.(3,1)

B.????32,12????

C.????32,-12????

D.(1,3)

解析

由?????xx-+yy==12,,

???x=32, 得????y=21.

故选 B.

解析答案

题型五 映射的个数问题 例5 已知A={a,b,c},B={-1,2}. (1)从A到B可以建立多少个不同的映射?从B到A呢? 解 从A到B可以建立8个映射,如下图所示.
从B到A可以建立9个映射,如图所示.

解析答案

(2)若f(a)+f(b)+f(c)=0,则从A到B的映射中满足条件的映射有几个? 解 欲使f(a)+f(b)+f(c)=0,需a,b,c中有两个元素对应-1,一个元 素对应2,共可建立3个映射. 反思与感悟 1.如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,那么从集 合A到集合B的映射共有nm个,从B到A的映射共有mn个. 2.映射带有方向性,从A到B的映射与从B到A的映射是不同的.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练5 设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有( C )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

解析

列举法.?????ff??ba??==00,,

??f?a?=0, ???f?b?=1,

??f?a?=1, ???f?b?=0,

??f?a?=1, ???f?b?=1,

共 4 个.

解析答案

解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值 例6 求函数y=|x+1|+|x-1|的最小值. ??-2x,x≤-1, 解 y=|x+1|+|x-1|=??2,-1<x≤1,
?
??2x,x>1. 作出函数图象如图所示: 由图象可知,x∈[-1,1]时,ymin=2.
解析答案

跟踪训练6 设x∈(-∞,+∞),求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值. 解 当x≥1时,y=2(x-1)-3x=-x-2; 当0≤x<1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2; 当x<0时,y=-2(x-1)+3x=x+2.
??-x-2,x≥1, 即 y=??-5x+2,0≤x<1,
?
??x+2,x<0.
依所求解析式作出图象,如图所示,由图象可以看出, 当x=0时,ymax=2.

解析答案

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当堂检测

1.已知函数 f(x)=???x+1 1,x<1,

? ?

x-1,x>1,

则 f(2)等于( C )

1

A.0

B.3

C.1

D.2

解析 f(2)= 2-1=1.

12345

解析答案

2.下列集合A到集合B的对应中,构成映射的是( D )

12345

解析 在A、B选项中,由于集合A中的元素2在集合B中没有对应的元素, 故构不成映射,在C选项中,集合A中的元素1在集合B中的对应元素不唯 一,故构不成映射,只有选项D符合映射的定义,故选D.
解析答案

??x2+1,x≤1

3.设函数 f(x)=???2x,x>1

,则 f(f(3))等于( D )

A.15

B.3

C.23

D.193

解析 ∵f(3)=23,∴f(f(3))=????23????2+1=193.

12345

解析答案

12345
4.设f:A→B是从集合A到B的映射,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x, y)→(kx,y+b),若B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1),则k,b的值分 别为__2_,_1_. 解析 由题意得?????13+ k=b6=,2, 得?????kb==21,.
解析答案

12345
5.如图所示,函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成,则函数的 ??-x+2,x≤1,
y=??-x2+4x-2,1<x<3, 解析式为____???_x_-__2_,__x_≥__3___________.
答案

课堂小 结 1.对映射的定义,应注意以下几点: (1)集合A和B必须是非空集合,它们可以是数集、点集,也可以是其他集合. (2)映射是一种特殊的对应,对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达. 2.理解分段函数应注意的问题: (1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段 “值域”的并集.写定义域时,区间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式. (3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象 时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.
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编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/11

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谢谢欣赏!

2019/7/11

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