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陕西省西工大附中2015届高三5月模拟考试数学试题(理)及答案


模拟训练

数 学(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

? 1? i ? 1.复数 ? ? ? 2?
A.-1

2015

计算的结果是( B. ? i C.


1? i 2

D.

?1 ? i 2

2.若 sin 20 ? a ,则 sin 230 的值为( ) 2 2 2 A. 2a ? 1 B. 1 ? a C. a ? 1
? 1 ? 3. ? ? 2 x 2 ? 的展开式中常数项是( ? x ?
5

D. 1 ? 2a 2

) D. ?10 )

A.5

B. ?5

C.10

4.已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? 12 , S6 ? S11 ,则必有( A. a17 ? 0 B. a6 ? a12 ? 0 C. S17 ? 0 D. a9 ? 0

5.已知一几何体的三视图如图所示,则该 的体积是( ) A.6 B.9 C.12 D.18 6.右图是函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) 图像 分,则 ? 和 ? 为( ) 11 5? A. ? ? , ? ? ? 5 6 7 ? B. ? ? , ? ? ? 5 6 17 5? C. ? ? , ? ? ? 5 6 13 ? D. ? ? , ? ? ? 5 6 7.展开 (a ? b ? c)10 合并同类项后的项数是( A.11 B.66 C.76
第 1 页 共 10 页

几何体

的一部

) D.134

8.已知随机变量 X 的取值为 0,1,2,若 P ( X ? 0) ? A.
2 5

B.

4 5

C.

2 3

1 , EX ? 1 ,则 DX ? ( 5 4 D. 3



?y ?1 ? 9.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?

)

A.4

B.3

C.2

D.1

10.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上,且满足 PA ? PB ? 0 , PB ? PC ? 0 , PC ? PA ? 0 ,则三棱锥 P ? ABC 的侧面积的最大值为( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2

11.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点与双曲线 离心率为( ) 2 5 4 15 A. B. 5 15
2 3 3

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点重合,则该双曲线的 a2

C.

D. 2

12.已知函数 f ( x) = ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取 值范围是( ) A .(2,+∞)
B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
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二.填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ? ? 13. 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减, 4 2 则 ? 的取值范围是 ; 14 . 如 右 图 , 输 入 正 整 数 m, n , 满 足 n ? m , 则 输 出 的 p? ;

15.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 截得的 弦最短,则 k= ;

16.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵, 列 规 律 , 第 10 行 从 左 向 右 的 第 5 个 数 为 .

按照此排

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题共 12 分)从某批产品中,有放回地抽取产品两次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A :“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (Ⅱ)若该批产品共 20 件,从中任意抽取 2 件,X 表示取出的 2 件产品中二等品的 件数,求 X 的分布列与期望.

18. (本小题共 12 分)已知数列{ an }中,Sn 为其前 n 项和,且 a1 ? a2 ,当 n ? N? 时, 恒有 Sn ? pnan ( p 为常数) . (Ⅰ)求常数 p 的值; (Ⅱ)当 a2 ? 2 时,求数列{ an }的通项公式;
第 3 页 共 10 页

(Ⅲ)设 bn ?

7 4 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 (an ? 2)an?1

19.(本小题共 12 分)四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥ 底面 ABCD.已知∠ABC=45° ,AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 . (Ⅰ)求证:SA⊥BC; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正 值. 弦

20.(本小题共 12 分)已知定点 C (?1, 0) 及椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 5 ,过点 C 的动直线与该 椭圆相交于 A, B 两点. AB 的方程; (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ? 1 2 ,求直线 (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,请说明理由.

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21. ( 本 小 题 共 12 分 ) ( Ⅰ ) 已 知 正 数 a1 、 a2 满 足 a1 ? a2 ? 1 , 求 证 : a1 l o g ? a2log 1 2 a1 2a ? 2 ?; (Ⅱ)若正数 a1 、 a2 、 a3 、 a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 , 求证: a1 log2 a1 ? a2 log2 a2 ? a3 log2 a3 ? a4 log2 a4 ? ?2 .

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 和 O' 相交于 A, B 两点, 过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C ,D 两点, 连结 DB 并延长交 O 于点 E . 证明: (I) AC ? BD ? AD ? AB ; (II) AC =AE .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 x y x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ? 1 , 已知椭圆 C: 12 8 24 16 (I)以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆 C 与直线 l 的极坐
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标方程; (II)已知 P 是 l 上一动点,射线 OP 交椭圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足
OQ ? OP ? OR .当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 在直
2

角坐标系下的轨迹方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (I)证明: ?3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式: f ( x) ? x2 ? 8x ? 14 的解集.
模拟训练

数学(理科)参考答案
一.选择题:1.C 7.B 2.A 8.A 3.D 9.B
m 14. An ,

4. B 10.C

5.B 11.C

6. A 12.B 16.50.

?1 5? 二.填空题:13. ? , ? , ?2 4?

15.1,

三、解答题: 17. 【解】 : (Ⅰ) 1 ? p2 ? 0.96 ? p ? 0.2 . (Ⅱ)∵该批产品共 20 件,由(Ⅰ)知其二等品有 20 ? 0.2 ? 4 件, 显然 X=0,1,2.故 1 C2 12 C1 C2 32 3 16 C4 4 . . P( X ? 0) ? 16 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? . 2 2 2 C20 19 C20 95 C20 95 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 12 32 3 38 P ∴EX= 19 95 95 95 18. 【解】 :(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,∴ a1 ? pa1 , ? p ? 1 或 a1 ? 0 当 p ? 1 时, Sn ? nan 则有 S2 ? 2a2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? a1 ? a2 与已知矛盾, ∴ p ? 1 ,只有 a1 ? 0 . 当 n ? 2 时,由 S2 ? 2 pa2 ? a1 ? a2 ? 2 pa2 ,∵ a1 ? 0 又 a1 ? a2 ∴ a2 ? 0 1 ∴p? 2
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(Ⅱ)∵ a2 ? 2 , Sn ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2 nan
(n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1 ?

n n ?1 an ? an ?1 2 2

an a a a ? n ?1 ,∴ n ? 2 ? an ? 2n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 1 当 n ? 1时,a1 ? 2 ?1 ? 2 ? 0也适合。 ? an ? 2n ? 2. 4 1 1 1 1 (Ⅲ) bn ? ? 2? ? ? (an ? 2)an?1 n (n ? 1)n n ? 1 n 当 n ? 1, 2 时,显然成立,当 n ? 3 时有 ∴ 1 ?1 1? 1? 7 1 7 ? 1 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 2 3? ? n ?1 n ? 4 n 4

19. 【解法一】 : (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O, 连结 AO,由侧面 SBC ⊥底面 ABCD,得 SO ⊥ 底面 ABCD, 因为 SA=SB,所以 AO=BO, 又∠ABC ? 45 ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO , 由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得
1 SO=1, SD ? 11 .△SAB 的面积 S1 ? AB 2 ?1 ? SA ? ? AB ? ? 2 .连结 DB, ?2 ?
2 2

得△DAB 的面积 S 2 ?

1 AB AD sin135 ? 2 设 D 到平面 SAB 的距离为 h, 2

1 1 由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得 h S1 ? SO S 2 ,解得 h ? 2 . 3 3

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? 所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的正弦值 为
22 . 11

h 2 22 . ? ? SD 11 11

【解法二】 : (Ⅰ)作 SO⊥BC,垂足为 O, 连结 SO,由侧面 SBC⊥底面 ABCD,得 SO⊥
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平面 ABCD. 因为 SA=SB,所以 AO=BO. 又∠ABC ? 45 ,△AOB 为等腰直角三角形,AO⊥OB. 如图,以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O—xyz, , SA ? ( 2 A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C (0, ? 2, 0) ,S(0,0,1) 0, ) 1, ? ,

CB ? (0, 2 2, 0) , SA CB ? 0 ,所以 SA⊥BC.
? 2 2 ? 0? (Ⅱ)取 AB 中点 E, E ? ? 2 ,2 , ?, ? ? ? 2 2 1? 连结 SE,取 SE 中点 G,连结 OG, G ? ?. ? 4 ,4 , 2? ? ? ? 2 2 1? ? 2 2 ? OG ? ? , , SE ? 1? , 0) . ? ? ? 4 4 2? ? 2 ,2 , ? , AB ? (? 2,2, ? ? ? ?

SE OG ? 0 , AB OG ? 0 ,OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE,AB 垂直。
所以 OG⊥平面 SAB, OG 与 DS 的夹角记为 ? ,SD 与平面 SAB 所成的角记为 ? , 则 ? 与 ? 互余.

D( 2, 2 2, 0) , DS ? (? 2, 2 21) , . cos ? ?

OG DS OG DS

?

22 22 , sin ? ? , 11 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角的正弦值为

22 . 11

20. 【解】 : (1)设直线 AB:x=my-1 2 ?x ? 3 y ? 5 消去 x 得: (m2 ? 3) y 2 ? 2my ? 4 ? 0 ? ?x ? m y ? 1
2

2m ? y1 ? y 2 ? 2 ? x ? x2 1 ? m ?3 ?? 所以 ? 由 1 2 2 ?y y ? ? 4 1 2 2 ? m ?3 ? 得: m( y1 ? y2 ) ? 1 ? m2 ? 3

所求直线 AB 方程为: x ? 3 y ? 1 ? 0
第 8 页 共 10 页

(2)设 M (t ,0) ,则 MA ? MB ? ( x1 ? t, y1 ) ? ( x2 ? t, y2 )

? (my1 ?1 ? t , y1 )(my2 ?1 ? t , y2 )
= (m 2 ? 1) y1 y2 ? m(t ? 1)( y1 ? y2 ) ? (t ? 1) 2 2(3t ? 7) ? (t ? 1) 2 ? 2t ? 6 = 2 m ?3 4 ? 7 ? 所以当且仅当,即存在定点 M ? ? ,0 ? 使 MA ? MB 为定值 9 ? 3 ? 2 ?(2t ? 6) ?4 7 ?(2t ? 6)m ? 4 ? ? (t ? 1) 2 ,只要 或 MA ? MB ? 即 t ? ? 时,…… 2 1 3 3 m ?3 21. 【解】 : (Ⅰ)先求函数 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x)log2 (1 ? x) ( x ? (0,1) )的最小值 ∵ f ?( x) ? ( x log2 x)? ? [(1 ? x)log2 (1 ? x)]? 1 1 ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? ? ln 2 ln 2 ?1? ? log2 x ? log2 (1 ? x) 于是 f ? ? ? ? 0 , ?2? 1 ? 1? 当 0< x ? 时, f ?( x) ? log2 x ? log2 (1 ? x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 0, ? 是减函数, 2 ? 2? 1 ?1 ? 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? log2 x ? log2 (1 ? x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ,1? 是增函数, 2 ?2 ? 1 ?1? 所以 f ( x)在x ? 时取得最小值, f ? ? ? ?1 ,∴ f ( x) ? ?1 2 ?2? ∵ a1 ? 0, a2 ? 0, a1 ? a2 ? 1,∴ a2 ? 1 ? a1 ,由①得 ∴ a1 log2 a1 ? a2 log2 a ? a1 log2 a1 ? ?1? a1 ? log2 ?1? a2 ? ? ?1 (Ⅱ)∵ a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 ,设 a1 ? a2 ? 1 ? (a3 ? a4 ) ? x 则
a1 a2 a a a a ? ? 1 ,由(Ⅰ)的结论可得: 1 log 2 1 ? 2 log 2 2 ? ?1 x x x x x x ? a1 log2 a1 ? a2 log2 a2 ? (a1 ? a2 )log2 x ? ? x

? a1 log2 a1 ? a2 log2 a2 ? ? x ? x log2 x …………………① 同理∵ a2 ? a3 ? 1 ? x 有: a3 log2 a3 ? a4 log2 a4 ? ?(1 ? x) ? (1 ? x)log2 (1 ? x) ………② ①+②得: a1 log2 a1 ? a2 log2 a2 ? a3 log2 a3 ? a4 log2 a4 ? ?1 ? x log2 x ? (1 ? x)log2 (1 ? x) 由于 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x)log2 x ? ?1 ∴ a1 log2 a1 ? a2 log2 a2 ? a3 log2 a3 ? a4 log2 a4 ? ?2
22 . 【证明】 : ( 1 ) 由 AC 与 O 相 切 于 A , 得 ?C A B=? A D B ,同理 ?ACB =?DAB ,
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所以 ?ACB

?DAB 从而

AC AB = , AD BD

即 AC BD =AD AB ……4 分 (2)由 AD 与 O 相切于 A ,得 ?AED =?BAD ,又 ?ADE =?BDA ,得 ?EAD ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE BD =AD AB ,综合(1)的结论, AC =AE ……10 分 AB BD
48 24 ,l : ? ? 2 2 cos ? ? 3sin ? 2 cos ? ? 3sin ? 2 (II)设 Q( ? ,? ) ,则 OQ ? OP ? OR

23. 【解】 : (I)C: ? 2 ?

2

? ??

24 48 ? ? 2 x2 ? 3 y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 2 2 cos ? ? 3sin ? 2 cos ? ? 3sin 2 ?

24. 【解】 : (I) | f ( x) |? | x ? 2 | ? | x ? 5| ? ( x ? 2) ? ( x ? 5) ? 3 ∴ ?3 ? f ( x) ? 3 (II)①当 x ? 2 时, f ( x) ? ?3 ,而 x2 ? 8x ? 14 ? ( x ? 4)2 ? 2 ? ?2 ∴ f ( x) ? x2 ? 8x ? 14 无解 ②当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? 2 x ? 7 ,原不等式等价于:

?2 x ? 7 ? x 2 ? 8 x ? 14 ? 3? x ?5 ? ?2 ? x ? 5
? x 2 ? 8 x ? 14 ? 3 x ? 5 f ( x ) ? 3 ③当 时, ,原不等式等价于: ? ? 5? x ? 4? 5 ?x ? 5 综上,不等式的解集为 [3, 4 ? 5] .

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