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高中数学 1.3 等比数列 第4课时练习 北师大版必修5


第一章

§3

第 4 课时

一、选择题 4 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=-3,则{an}的前 10 项和等于( A.-6(1-3-10) 1 B.9(1-310) )

C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) [答案] C [解析] 本题考查等比数列的定义,前 n 项和的求法. 3an+1+an=0 an+1 1 ∴ an =-3=q 1 4 a2=a1· q=-3a1=-3,∴a1=4 1 4 1- -3 10 ∴S10= =3(1-3-10). 1 1+3 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=( A.3 B.4 C.5 D.6 [答案] B [解析] ∵3S3=a4-2,3S2=a3-2, ∴3S3-3S2=a4-a3, ∴3a3=a4-a3, ∴4a3=a4, a4 ∴a3=4,∴q=4. 3.若等比数列{an}满足 anan+1=64n,则公比为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 [答案] C [解析] 本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力. ∵an· an+1=64n,∴an-1· an=64n-1 ∴ an· an+1 an+1 64n = =q2= =64 an-1· an an-1 64n-1 )

∴q=8. 4.在各项为正数的等比数列中,若 a5-a4=576,a2-a1=9,则 a1+a2+a3+a4+a5 的值 是( ) A.1061 B.1023 C.1024 D.268
-1-

[答案] B [解析] 由题意得 a4(q-1)=576,a1(q-1)=9, a4 ∴a1=q3=64,∴q=4,∴a1=3, ∴a1+a2+a3+a4+a5= - 4-1 =1023. )

5.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1,若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( A.9 B.10 C.11 D.12 [答案] C [解析] ∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a5 1q10=q10, 又∵am=a1qm-1=qm-1, ∴qm-1=q10,∴m-1=10,∴m=11. 6.已知等比数列前 20 项和是 21,前 30 项和是 49,则前 10 项和是( ) A.7 B.9 C.63 D.7 或 63 [答案] D [解析] 由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列, ∴(S20-S10)2=S10· (S30-S20), 即(21-S10)2=S10(49-21), ∴S10=7 或 63. 二、填空题
?2n-1 ? 7.已知数列{an}中,an=? ? ?2n-1

为正奇数 为正偶数

,则 a9=______________.设数列{an}的前

n 项和为 Sn,则 S9=______________. [答案] 256 377 [解析] a9=28=256, S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377. 8.在等比数列{an}中,已知对于任意 n∈N+,有 a1+a2+…+an=2n-1,则 a2 1+a2 2+…+a2 n =________. 1 1 [答案] 3×4n-3 [解析] ∵a1+a2+…+an=2n-1, ∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2), 两式相减,得 an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1, ∴a2 n=(2n-1)2=22n-2=4n-1, ∴a2 1+a2 2+…+a2 n= 1-4n 1 1 = ×4n-3. 1-4 3

三、解答题 9.(2014· 北京文,15)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4= 20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.
-2-

[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= 3 = 3 =3. 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1, 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 1-2n 3 数列{3n}的前 n 项和为2n(n+1),数列{2n-1}的前 n 项和为 1× =2n-1. 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为2n(n+1)+2n-1. 10.求和 Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n. [解析] ∵Sn=1×2+4×22+7×23+…+[3(n-1)-2]×2n-1+(3n-2)×2n① 2Sn=1×22+4×23+…+[3(n-1)-2]×2n+(3n-2)×2n+1② ∴①-②得,-Sn=1×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-2)×2n+1=3(2+22+…+2n)-(3n- 2)×2n+1-4=3(2n+1-2)-(3n-2)×2n+1-4=3×2n+1-6-3n×2n+1+2n+2-4=2n+2 +3(1-n)×2n+1-10.∴Sn=3(n-1)×2n+1-2n+2+10 =(3n-5)×2n+1+10.

一、选择题 1 1.已知等比数列{an}中,公比 q=2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则 a1+a2+a3+…+a100 =( ) A.100 C.120 [答案] B [ 解析] B.90 D.30

1 ∵ a2+ a4 + a6+… + a100= a1q + a3q+ a5q+ …+ a99q= q(a1+ a3+ a5 +… +a99)=2

×60=30 ∴a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=60+30=90. 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( ) A.3×44 B.3×44+1 C.45 D.45+1 [答案] A [解析] 该题考查已知一个数列的前 n 项和 Sn 与 an+1 的关系,求通项公式 an.注意的问题是 用 an=Sn-Sn-1 时(n≥2)的条件. an+1=3Sn ① an=3Sn-1 ② ①-②得 an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an 即 an+1=4an
-3-

an+1 ∴ an =4.(n≥2)当 n=2 时,a2=3a1=3, an+1 a2 ∴a1=3≠ an =4 ∴an 为从第 2 项起的等比数列,且公比 q=4,∴a6=a2· q4=3· 44. 3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z,则下列等 式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) [答案] D [解析] 由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z. 又∵{an}是等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列,∴(Y-X)2=X· (Z-Y), 整理得 Y2-XY=ZX-X2,即 Y(Y-X)=X(Z-X).故选 D. S6 S9 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S3=3,则S6=( A.2 8 C.3 7 B.3 D.3 )

[答案] B S6-S3 S6 [解析] ∵S3=3,∴S6=3S3,∴ S3 =2, S9-S6 ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等比,∴ S3 =22, ∴S9=4S3+S6=7S3, S9 7S3 7 ∴S6=3S3=3,∴选 B. 二、填空题 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+1+m,则 a1=________. [答案] 6 [解析] ∵a1=S1=9+m, a2=S2-S1=27+m-9-m=18, a3=S3-S2=81+m-27-m=54, 又∵{an}为等比数列, ∴a2 2=a1a3,∴182=54(9+m), 解得 m=-3. ∴a1=9+m=6. 6.(2014· 天津理,11)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1, S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为________. 1 [答案] -2 [解析] 本题考查等差数列等比数列综合应用,由条件: S1=a1,
-4-

S2=a1+a2=a1+a1+d=2a1-1 S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=4a1-6 ∴(2a1-1)2=a1· (4a1-6) 4a2 1+1-4a1=4a2 1-6a1 1 ∴a1=-2. 三、解答题 7. 已知数列{an}和{bn}中, 数列{an}的前 n 项和为 Sn.若点(n, Sn)在函数 y=-x2+4x 的图像上, 点(n,bn)在函数 y=2x 的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知得 Sn=-n2+4n, ∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+5, 又当 n=1 时,a1=S1=3,符合上式. ∴an=-2n+5. (2)由已知得 bn=2n,anbn=(-2n+5)· 2n. Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)×2n, 2Tn=3×22+1×23+…+(-2n+7)×2n+(-2n+5)×2n+1. 两式相减可得 Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1 = -2n- 1-2 +(-2n+5)2n+1-6

=(7-2n)· 2n+1-14. 8.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由已知,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2 =22n+1=22(n+1)-1. 而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n· 22n-1,知 Sn=1×2+2×23+3×25+…+n· 22n-1,① 22· Sn=1×23+2×25+3×27+…+(n-1)22n-1+ n· 22n+1.② ①-②,得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n· 22n+1, 1 即 Sn=9[(3n-1)22n+1+2].

-5-


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