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贵州省凯里市第一中学2015-2016学年高一数学下学期开学考试试题


2015-2016 学年度第二学期开学检测试题 高一数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请将符合题意的选项填涂到答题纸对应的位置上。 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , A ? ?1,2,3? , B ? ?2, 4? ,则 ? U ? A ? B? ? A. ?2? B. ?0? C. ?2,3,4? D. ?1,2,3,4?

2.函数 f ? x ? ? sin x 的最小正周期是 A. 4? B. 2? C. ? D.

? 2

3.下列函数在区间 ? 0, ? ? 上为减函数的是 A. y ? ? x ? 3?
2

B. y ? sin x

C. y ? cos x

D. y ? tan x

? 4. cos ?60 的值等于

?

?

A. ?

1 2
x

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

5.函数 f ( x) ? 2 ? 3 ,则 f (?1) ? A.2
x

B.1

C.

5 2

D.

7 2

6. 已知函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 在区间 ?1, 2? 上的最大值与最小值之和为 12 , 则实数 a 的值 为 A. 3 B. 2 C. 3 D. 4

7.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, m ? ,若 a // b ,则 2a ? 3b ? A. ? ?2, ?4?
0.3

?

?

? ?

?

?

B. ? ?3, ?6?

C. ? ?4, ?8?

D. ? ?5, ?10?

8.已知 a ? 3 5, b ? 5 , c ? 2log 5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为 A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

9.将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 象上所有点向左平移

? 个单位,得到的图象的函数解析式是 6

1 倍(纵坐标不变) ,再把所得图 2

1

3 1 10.若 sin(? ? ? ) ? ? ,则 sin(4? ? ? ) 的值是 2
A.

A. y ? sin(2 x ?

?

)

B. y ? sin( x ?

1 2

1 ? ) C. y ? sin( x ? ) 12 2 6

?

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

11.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (?1) ? A. 0 B. 1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, 则f (3) ? 2 3 5 C. D. 2 2

a ? ?? 2 ? a ? x ? 2 , ? x ? 1? 12.若函数 f ? x ? ? ? 在 ? ??, ??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ?log x ? x ? 1? ? a
A. ?1, 2 ? B. (1, ]

4 3

C. [ , 2)

4 3

D. ? 0,1?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.函数 y ? lg x ? 1 的定义域是 14.函数 f ? x ? ? 3 sin x ? cos x 的最大值为 . .

15.在边长为 4 的等边 ?ABC 中,若向量 a ? AB, b ? BC ,则 a ? b 的值等于 16.如图所示, D 是 ?ABC 的 AB 边上的中点,则 向量 CD = ① ? BC ?
A D

?

??? ??

??? ?

? ?



??? ?

(填写正确的序号) 。

??? ?

? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? BA ,② ? BC ? BA ,③ BC ? BA ,④ BC ? BA 2 2 2 2

B

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ?1 ? x ? 2m ?1? , B ? A , 求 m 的取值范围。

2

18. (本小题满分 12 分)已知幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (2, ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性,并用单调性的定义证明.

1 4

19. (本小题满分 12 分)已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (Ⅰ) 求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直 ; (Ⅱ)若 ka ? b b 与 a ? k b 的模相等,求 ? ? ? 的值 ( k 为非零常数) .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

20. (本小题满分 12 分)已知 tan( (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求

?
4

??) ? 2 .

2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ?

3

21. (本小题满分 1 2 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图 所示, (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的单调区间。

22. (本小题满分 12 分)已知函数 y ? sin (Ⅰ)求该函数的周期和最大值;

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2

(Ⅱ)该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

4

2015-2016 学年度第二学期开学检测试题 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请将符合题意的选项填涂到答题纸对应的位置上。 题 号 答 案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 C 8 A 9 A 10 B 11 C 12 C

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. (?1, ??) ,14.2,15. ?8 16.① 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 5?, B ? ?x | m ?1 ? x ? 2m ?1? , B ? A , 求 m 的取值范围。 解: A ? ?x | ?2 ? x ? 5? , B ? ?x | m ?1 ? x ? 2m ?1? , 若 B ? ? ,得 m ? 1 ? 2m ? 1, m ? 2 , B ? A 符合题意。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

? m ? 1 ? 2m ? 1, ? 若 B ? ? ,要使 B ? A 则 ? m ? 1 ? ?2, ,解得 2 ? m ? 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 ? 2m ? 1 ? 5. ?
综上, m 的取值范围为 m ? 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 18. (本小题满分 12 分)已知幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (2, ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性,并用单调性的定义证明.
? 解: (Ⅰ).设 f ( x) ? x .则由 f ( x ) 的图象过点 (2, ) 得。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分

1 4

1 4

1 ? 2 ?2 4 ? ? ? ?2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 2? ?

? f ( x) ? x ?2 ?

1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 x2

5

(Ⅱ) f ( x ) ?

1 在 (0, ??) 是减函数。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 x2

证明:任取 x1 , x2 ? (0, ??)且x1 ? x2则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 ? 2 2 x1 x2

?

x22 ? x12 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 ? ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2

因为, x1 , x2 ? (0, ??)且x1 ? x2 , 所以, x2 ? x1 ? 0, x2 ? x1 ? 0,( x1x2 ) ? 0
2

所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分 所以, f ( x ) ?

1 在 (0, ??) 是减函数。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 x2

19. (本小题满分 12 分)已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (Ⅰ) 求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (Ⅱ)若 ka ? b 与 a ? kb 的模相等,求 ? ? ? 的值 ( k 为非零常数) . 解: (Ⅰ)因为 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?2 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1, b ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 。 ? ? ? ? ?2 ?2 所以, (a ? b ) ? 。 。 。 。 。 。5 分 (a ? b ) ? a ? b ? 1?1 ? 0 。
所以, a 所以, (a ? b ) ? (a ? b ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 (Ⅱ)由 | ka ? b |? | a ? kb | 得

?2

? ?

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? (ka ? b )2 ? (a ? kb )2
即 (k 2 ?1)a 2 ? 4ka? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 b ? (1 ? k 2 )b 2 ? 0 。 又a

?

? ?

?

?2

?2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1, b ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1

? ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 a? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 。

6

所以 (k 2 ?1) ? 4k cos(? ? ? ) ? (1 ? k 2 ) ? 0 ,化简得 4k cos( ? ? ? ) ? 0 , 因为, k ? 0 , cos( ? ? ? ) ? 0 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分 又 0 ? ? ? ? ? ? ,得 0 ? ? ? ? ? ? , 所以, ? ? ? ?

?
2

。 。 。 。 。 。 。 。12 分

20. (本小题满分 12 分)已知 tan( (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求

?
4

??) ? 2 .

2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ?

解: (Ⅰ)因为 tan(

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan ?

1 ? tan

?

··················· 2?

4 1 ? tan ? ? ?2 1 ? 1? tan ?

? tan ?

·················· 3 ?

于是 tan ? ?

1 ··························· 5 ? 3

tan( ? ? ) ? tan ?? ? 4 4 ?1) (另解: tan ? ? tan ?( ? ? ) ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan( ? ? ? ) ? tan ? 3 4 4
(Ⅱ)

?

?

2sin 2 ? ? sin 2? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? ·············· 7 ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?
2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ····················· 9 ? ?1 ? tan ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 tan 2 ? ? 2 tan ? ?1 ? tan ? ? ? tan 2 ? ? 1?
······················ 11 ?

?

?

1 1 2 ? ( )2 ? 2 ? 3 3 ?3 ? 1 1 2 (1 ? )(( ) ? 1) 5 3 3

······················· 12 ?

2sin 2 ? ? sin 2? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? (另解: sin ? 1 ? tan ? 1? cos ?

7

2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? ? 2sin ? cos ? cos ? ? sin ? cos ?
? 2sin ? cos ? 2 tan ? 3 ? ? ) 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5
(请根据答题步骤酌情给分)

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所 示, (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的单调区间。 解: (Ⅰ)由图象可知 A ? 2 ,

1 2? 5? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 ; 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。2 分 2 ? 12 12 2
所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ,又图象的一个最高点为 ( ?

?

(? 所以 2?

?
12

) ?? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,解得 ? ?

2? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 3 2? )。 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 3 ? 2? ? 7? ? ? ? 2k? ,得 ? ? k? ? x ? ? ? k ? 。 (Ⅱ) 由 ? ? 2k? ? 2 x ? 。 。 。 。 。 。8 分 2 3 2 12 12 ? 2? 3? ? 5? ? ? 2k? ,得 ? ? k? ? x ? ? k? 。 由 ? 2 k? ? 2 x ? 。 。 。 。10 分 2 3 2 12 12 7? ? ? k? , ? ? k? ](k ? Z ) , 所以, f ( x ) 的单调增区间为 [? 12 12 ? 5? ? k? ](k ? Z ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 f ( x) 的单调减区间为 [? ? k? , 12 12 x x 22. (本小题满分 12 分)已知函数 y ? sin ? 3 cos , x ? R. 2 2
又 | ? |? ? ,?? ? (Ⅰ)求该函数的周期和最大值; (Ⅱ)该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

2? ? 2 k? ( k ? Z ) 3

12

, 2)

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 2 2 2 3 2? 所以,函数的周期 T ? 。 。 。6 分。 ? 4? ,函数的最大值为 ymax ? 2 。 。 1 2 1 (Ⅱ)该函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再把所得图象上所 2
解: (Ⅰ) y ? sin 有点向右平移

? 个单位,可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象。 3

8

或将该函数的图象上所有的点向右平移 的

2? 个单位,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到 原来 3

1 倍(纵坐标不变) ,可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 2

9



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