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江苏省掘港高级中学2015-2016学年高一上学期期中模拟二数学试题


2015-2016 学年度第一学期江苏掘港高级中学高一数学期中 模拟二
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.已知集合 U ? {2, 4,5,7,8}, A ? {4,8} ,则 ? UA? ▲ .

?2,5,7?

2 ?1 3.由下表给出函数 y ? f ( x) ,则 f ( f (1)) 等于
2. [(1 ? 2) 2 ] 2 ? ▲ . x 1 2 y 4 5 4.下列每组两个函数可表示为同一函数的序号为 ① f ( x) ? x, g (t ) ? t 2 ; ③ f ( x) ? x, g ( x) ?
3

1

▲ 3 3 ▲
2

.2 4 2 .③
[来源:Z_xx_k.Com]

5 1

② f ( x) ?

x ?4 , g ( x) ? x ? 2 ; x?2

2 ④ f ( x) ? lg x , g ( x) ? 2lg x . x3 ; 5.函数 y ? 3x ? log 3 ( x ?1) 在区间 [0, 2] 上的值域为 ▲ . ?1,10?

6.设集合 A ? ? x |1 ? x ? 4? , B ? ?x | 2a ? x ? 3 ? a? .若 A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围 ▲ .a ?

7. 若 B ? ??1,3,5? , , 使得 f : x ? 2 x ? 1 是 A 到 B 的映射, 则集合 A 可能为_ 需填写一个) ?1, 2?

1 2



. (只

8. 已知函数 f ( x) ? 2( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象为, 则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象一定 不过第 ▲ 象限.四
2 9.若集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,若 B ? ? A,则 a 的值

?

?

1 3 2 2 10.函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3 在 x ?? 2, ??? 是增函数,不等式 t ? 4 ? m 恒 成立,则 t 范围为 ▲ . t ? 2 或 t ? ?2 11. f ( x ) 是 R 上奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? (0, 2) 时 f ( x) ? 2 x3 , 则 f (7) ?
▲ . a ? 0, , ?1 ▲ .-2

?3x ? m,(x ? 2) 12.已知实数 m ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ,若 f (2 ? m) ? f (2 ? m) ,则实数 m 的 ?? x ? 2m,(x ? 2)

8 3 2 13. f ( x) ? ? x ? (2a ?1) | x | ?1 的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数 a 的取值范 ?1 ? 围是 ▲ . ? , ?? ? ?2 ?
值为 ▲ . 8 或? 14. 函数 f ( x) ? x? | x | ? x ? 3 在区间 [?2015, 2015] 上的最大值与最小值之和为= ▲ .6 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) ? x2 ? 2 ,g ( x) ? 4 x ? 1 的定义域都是集合 A , 函数 f ( x) 和 g ( x) 的值域分别为
3

S 和T . (1)若 A ? ?1,2? ,求 S ? T ;

15.解: (Ⅰ)由题意可得, S ? ?3,6? ,
T ? ?3,7? ,

(2)若 A ? ?1, m? (m ? 1) ,且 S ? T ,求实数 m 的值. ……………2 分 ……………4 分

所以 S ? T ? ?3,6? ;……………6 分
2 (Ⅱ)由题意可得, S ? ? ?2, m ? 2? ? ,……………8 分

T ? ? ?1, 4m ? 1? ,……………10 分

因为 S ? T ,所以 m2 ? 2 ? 4m ? 1 , 所以 m2 ? 4m ? 3 ? 0 得 m ? 1或m ? 3 ………12 分 又 m ? 1,? m ? 3 ………14 分 16. (本小题 14 分)

1 ? 1? 求值:⑴ 0.027 ? ? ? ? ? 2560.75 ? ? ? 0 3 ? 6?
?

1 3

?2

32

⑵ log

9 4

? log 2 ? 2log2

3 32

3

8

17.(本题满分 15 分) 高一某班共有学生 43 人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平 均支出是 120 元。若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算 和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用, 另一部分是其它费用 260 元,其中,纯净水的销售价 x (元 / 桶)与 年购买总量 y (桶)之间满足如图直线所示关系. ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; ⑵若该班每年需要纯净水 360 桶,请你根据提供的信息比较,该班全 体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费 用,哪一个更少?说明你的理由. 17、解:⑴设 y ? kx ? b (k ? 0) , 因为 x ? 8 时, y ? 400, x ? 10 时, y ? 320 。

?k ? ?40 ? 400 ? 8k ? b ,解之得, ? , ?b ? 720 ?320 ? 10k ? b 所以 y 关于 x 的函数关系式为 y ? ?40 x ? 720 ?x ? 0 由? ,得 0 ? x ? 18 ,所以定义域为 {x | 0 ? x ? 18} ;……7 分 ?y ? 0
所以 ? 注:定义域不写或错误扣 2 分 ⑵该班学生买饮料每年总费用为 43 ?120 ? 5160 (元) , 当 y ? 360 时, x ? 9 , 则该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 360 ? 9 ? 260 ? 3500 (元) , 所以饮用桶装纯净水的年总费用少; ……14 分 答:⑴ y 关于 x 的函数关系式为 y ? ?40 x ? 720 ,其定义域为 {x | 0 ? x ? 18} ; ⑵饮用桶装纯净水的年总费用比购买饮料的年总费用少. 注:没有答扣 1 分

18.(本题满分 15 分)

?1? 已知函数 f ( x) ? ? ? , ?3? (1)若 x ?? ?1,1? 时,求函数 y ? ( f ( x))2 ? 2af ( x) ? 3 的最小值 g (a ) ;
(2)若 a ?? ?4,4? 时,在(1)的条件下,求 g (a ) 的值域。 18.解:令 ? ? x ? t ? ? ,3?

x

?1? ?1 ? ? 3? ?3 ? 1 ? 28 2a ? 9 ? 3 a ? 3 ……………………………………………………3分 ? 1 ? 2 ? a ? 3………………………………………………6分 ⑴ y (a ) ? ?3 ? a 3 ? ? ?12 ? 6a a ? 3……………………………………………………9分 ? ⑵由 y (a) 的图象可以得 y (a) 在 a ?? ?4, 4? 为减函数………………………………13 分
则 y (a) ? ? f (4), f (?4)? ? ? ?12,

? ?

56 ? ………………………………………………15 分 9? ?

19. (本题满分 16 分)

a , g ( x) ? a ? 2 x x (1) 若函数 y ? f ( x) 在 [2, ??) 上为单调增函数,求实数 a 的取值范围; (2) 若不等式 f ( x) ? g ( x) 在 [1, ? ?) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)任取 x1, x2 ?[2, ??) ,设 x1 ? x2 a( x2 ? x1 ) a a 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 x1 x2 x x ?a = ( x1 ? x2 ) ? 1 2 ………………4 分 x1 x2
已知函数 f ( x) ? x ? ∵ x1 ? x2 ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 4 , 又∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

x1 x2 ? a ?0 x1 x2 所以, a ? 4


………………6 分 ………………8 分

a a ? a ? 2 x ,即: 3 x ? ? a x x 2 由于 x ? [1, ? ?) ,等价于 3x ? ax ? a ? 0 在 [1, ? ?) 上恒成立 ………………9 分 a ① 当 ? 1 时, g ( x) ? 3x2 ? ax ? a 在 [1, ? ?) 是增函数,则 g (1) ? 0 , 6
(2)不等式 f ( x) ? g ( x) 就是: x ? 这显然成立 ………………12 分

a a a ② 当 ? 1 时, g ( x) ? 3x2 ? ax ? a 在 [1, ] 是减函数,在 [ , ??) 上增函数, 6 6 6 a 则 g ( ) ? 0 ,解得 6 ? a ? 12 ………………15 分 6

综上,所求实数 a 的取值范围是 a ? 12

………………16 分

20. (本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx , (a ? 0且a ? 1) 的图象关于原点对称. x ?1

⑴求 m 的值; ⑵判断 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调性并加以证明; ⑶当 a ? 1 时, x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域为 (1, ??) ,求 a 与 t 的值. 20.⑴由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? m ? ?1

1 ? mx ? ?1 ? 0 ,舍云 x ?1 1? x ? 0 解得 x ? 1 或 x ? ?1 ② m ? ?1 时, 1? x ? m ? ?1 ……………………………………………………………… ………………4 分 x ?1 ⑵ f ( x) ? log a x ?1 ( x ? 1)( x1 ? 1) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log a 2 任意设 x2 ? x1 ? 1 ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ?1 ? x1 ? x2 ( x ? 1)( x1 ? 1) ?0 ? 2 ? 1………………………………………………………………6 分 ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? 0 ? a ? 1 时, f ( x) 为 (1, ??) 增函数………………………………………………8 分 a ? 1 时, f ( x) 为 (1, ??) 减函 数…………………………………………………10 分
① m ? 1 时,



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