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北京市海淀区2010年高三二模数学理科试题(word版含答案)


海淀区高三年级第二学期期末练习


1.已知集合 A = { x x ≥ 0} , B = {0,1, 2} ,则
A. A B ≠ 2.函数 f ( x) = sin(2 x +
A. x =



(理科)

2010.5

一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

B. B A ≠

C. A ∪ B = B

D. A ∩ B =

π
3

) 图象的对称轴方程可以为 B. x = 5π 12 C. x =

π
12

π
3

D. x =

π
6
D O C

3.如图, CD 是⊙O 的直径, AE 切⊙O 于点 B ,
连接 DB ,若 ∠D = 20° ,则 ∠DBE 的大小为 B. 40° A. 20° C. 60° D. 70°
4.函数 f ( x) = x 2 ln x 在定义域内零点的个数为
A

B

E

A.0 C .2

B .1 D.3

0 ≤ x ≤ 2, 5.已知不等式组 x + y 2 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为 kx y + 2 ≥ 0 A.1 B . 3 D.0 C . 1 或 3 6.已知 m , n 是不同的直线, α , β 是不同的平面,则下列条件能
开始

k=1 S=0


使 n ⊥ α 成立的是 A. α ⊥ β , m β C. α ⊥ β , n // β

B. α // β , m ⊥ β D. m // α , n ⊥ m

M

7.按 照如图的程序框图 执行,若输出结果为 15,则 M 处条件为 A. k ≥ 16 B. k < 8 C. k < 16 D. k ≥ 8



S=S+k k = 2×k

输出 S 结束

8.已知动圆 C 经过点 F (0,1),并且与直线 y = 1 相切,若直线 3x 4 y + 20 = 0 与圆 C 有公共点,则圆 C 的面积 B.有最小值为 π A.有最大值为 π C.有最大值为 4π D.有最小值为 4π

二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. π 9.在极坐标系中,若点 A( ρ0 , ) ( ρ0 ≠ 0 )是曲线 ρ = 2 cos θ 上的一点,则 ρ0 = 3
10.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲,乙 两班各随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如

.

右图). s1 , s2 分别表示甲,乙两班各自 5 名学生学分的 标准差,则 s1
s2 .(填" > "," < "或"=")[来源:学|

科|网] ; a+b =
.

11.已知向量 a= (1,0) ,b= (x,1) ,若 a ib = 2 ,则 x =

,则 a9 + a10 的值为 12. 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an an +1 = 2n ( n ∈ N * )
13.在 ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,若 a = c sin A ,则
14.给定集合 An = {1, 2,3,..., n} ,映射 f : An → An 满足:

.

a+b 的最大值为 c

.

①当 i, j ∈ An , i ≠ j 时, f (i ) ≠ f ( j ) ; ②任取 m ∈ An , 若 m ≥ 2 ,则有 m ∈ { f (1), f (2),.., f ( m)} .
.则称映射 f : An → An 是一个"优映射".例如:用表 1 表示的映射 f : A3 → A3 是一个"优映射".

表1 i f (i )

表2

1 2

2 3

3 1

i f (i )

1

2 3

3

4

(1)已知表 2 表示的映射 f : A4 → A4 是一个优映射,请把表 2 补充完整(只需填出一个满足条 件的映射) ; (2)若映射 f : A10 → A10 是"优映射" ,且方程 f (i ) = i 的解恰有 6 个,则这样的"优映射"的个 数是_____. 三,解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分)

记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 + a4 = 6, S4 = 10 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn = an 2n (n ∈ N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

16. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ABCD ,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ⊥ 底面ABCD ,其中 BC = 2 AB = 2 PA = 6 ,M ,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如图所示. (Ⅰ)求证: AN // 平面MBD ; (Ⅱ)求异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 M BD C 的余弦值.

P
N

M A D B
C

17. (本小题满分 13 分) 为保护水资源,宣传节约用水,某校 4 名志愿者准备去附近的甲,乙,丙三家公园进行宣传活动,每 名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立. (Ⅰ)求 4 人恰好选择了同一家公园的概率; (Ⅱ)设选择甲公园的志愿者的人数为 X ,试求 X 的分布列及期望.

18. (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) = (2ax x 2 ) e ax ,其中 a 为常数,且 a ≥ 0 . (Ⅰ)若 a = 1 ,求函数 f ( x) 的极值点; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F(1,0), C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M(4,0)的 直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出抛物线 C2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM =
1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长 轴长的最小值.

20. (本小题 满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的图象在 [a, b] 上连续不断,定义:
f1 ( x) = min{ f (t ) | a ≤ t ≤ x} ( x ∈ [a, b]) , f 2 ( x) = max{ f (t ) | a ≤ t ≤ x} ( x ∈ [a, b]) .

其中, min{ f ( x) | x ∈ D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值, max{ f ( x) | x ∈ D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最 大值.若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ( x) f1 ( x) ≤ k ( x a ) 对任意的 x ∈ [ a, b] 成立,则称函数 f ( x) 为 [a, b] 上 的" k 阶 收缩函数" . (Ⅰ)若 f ( x) = cos x , x ∈ [0, π ] ,试写出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的表达式; (Ⅱ)已知函数 f ( x) = x 2 , x ∈ [1, 4] ,试判断 f ( x) 是否为 [1, 4] 上的" k 阶收缩函数" ,如果是,求出 对应的 k ;如果不是,请说明理由; (Ⅲ)已知 b > 0 ,函数 f ( x) = x 3 + 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 ( 理) 2010.5 .

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数 第Ⅰ卷(选择题 一,选择题(本大题共 8 小题 每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 小题,每小题 选择题 共 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 共 110 分) 6 B 7 A 共 40 分)

8 D

第Ⅱ卷(非选择题 10. <

填空题( 小题,每小题 有两空的小题, 二, 填空题(本大题共 6 小题 每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9.1 14. 11.2 ; 10
12.48 13. 2

;84.

三,解答题(本大题共 6 小题 共 80 分) 解答题 本大题共 小题,共
15. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,由 a2 + a4 = 6, S4 = 10 ,

2a1 + 4d = 6 可得 4×3 4a1 + 2 d = 10


,

………………………2 分

a1 + 2d = 3 , 2a1 + 3d = 5 a1 = 1 , d = 1
………………………4 分

解得

∴ an = a1 + ( n 1) d = 1 + ( n 1) = n , 故所求等差数列 {an } 的通项公式为 an = n . (Ⅱ)依题意, bn = an 2 = n 2 ,
n n

………………………5 分

∴ Tn = b1 + b2 + + bn

= 1× 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + + (n 1) 2n 1 + n 2n ,
2 3 4 又 2Tn = 1× 2 + 2 × 2 + 3 × 2 +

………………………7 分 …………………9 分 ………………………11 分

+ (n 1) 2n + n 2 n +1 ,
n 1

两式相减得 Tn = (2 + 2 + 2 + + 2
2 3

+ 2n ) n 2n +1

=

2 (1 2 n ) 1 2

n 2 n +1 = (1 n) 2n +1 2 ,
n +1

………………………12 分 ………………………13 分

∴ Tn = ( n 1) 2

+2.

B ∴ AN / / 平面MBD . ………… 4 分[来源:Zxxk.Com] (Ⅱ)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A xyz , 则 A(0, 0, 0) , B(3, 0, 0) , C (3,6, 0) , D (0, 6, 0) , z P(0, 0,3) , M (2, 4,1) , N (1, 2, 2) , P
∵ AN = (1, 2, 2), PD = (0, 6, 3) ,

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM , ∵ 底面ABCD为矩形 , ∴ O为AC中点 , ………… 1 分 ∵ M ,N 为侧棱PC的三等分点 , ∴ CM = MN , ∴ OM // AN , ………… 3 分 ∵ OM 平面MBD, AN 平面MBD ,

P
N

M A
O C

D

N
………………………5 分
∴ cos < AN , PD >= AN PD AN PD = 0 + 12 6 3× 3 5 = 2 5 , 15

M A

D

y x B
C
………………………8 分

………………………7 分
∴ 异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值为

2 5 . 15

(Ⅲ)∵ 侧棱 PA ⊥ 底面ABCD ,
∴ 平面BCD的一个法向量为 AP = (0, 0,3) ,

………………………9 分

设 平面MBD 的法向量为 m = ( x, y, z ) ,
∵ BD = (3, 6,0), BM = (1, 4,1) ,并且 m ⊥ BD, m ⊥ BM ,

3x + 6 y = 0 ∴ ,令 y = 1 得 x = 2 , z = 2 , x + 4 y + z = 0

∴ 平面MBD 的一个法向量为 m = (2,1, 2) .

………………………11 分

cos < AP, m >=

AP m

2 = , 3 AP m

………………………13 分

由图可知二面角 M BD C 的大小是锐角, 2 ∴ 二面角 M BD C 大小的余弦值为 . 3

.………………………14 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设"4 人恰好选择了同一家公园"为事件 A.

………………1 分
4

每名志愿者都有 3 种选择,4 名志愿者的选择共有 3 种等可能的情况 . 事件 A 所包含的等可能事件的个数为 3, 3 1 所以, P ( A ) = 4 = . 3 27 即:4 人恰好选择了同一家公园的概率为
1 . 27

…………………2 分 …………………3 分

………………5 分 .………………………6 分

1 (Ⅱ)设"一名志愿者选择甲公园"为事件 C,则 P ( C ) = . 3

4 人中选择甲公园的人数 X 可看作 4 次独立重复试验中事件 C 发生的次数, 因此, 随机变量 X 服从二 项分布. X 可取的值为 0,1,2,3,4. .………………………8 分 2 i 1 P ( X = i ) = C4 ( )i ( ) 4 i , i = 0,1, 2,3, 4 . 3 3 X 的分布列为: X P 0 16 81 1 32 81 2 24 81 3 8 81 4 1 81 .………………………12 分 1 4 X 的期望为 E ( X ) = 4 × = . 3 3 18.(本小题满分 13 分) .………………………13 分 .………………………10 分

解法一: (Ⅰ)依题意得 f ( x) = (2 x x 2 ) e x ,所以 f ′( x) = (2 x 2 ) e x , 令 f ′( x) = 0 ,得 x = ± 2 ,
f ′( x) , f ( x) 随 x 的变化情况入下表:
x

.………………………1 分
.………………………2 分

(∞, 2)
-

2
0 极小值

( 2, 2)
+

2
0 极大值

( 2, +∞)
-

f ′( x) f ( x)







………………………4 分

由上表可知, x = 2 是 函数 f ( x) 的极小值点, x = 2 是函数 f ( x) 的极大值点.

………………………5 分 (Ⅱ)
f ′( x) = [ ax 2 + (2a 2 2) x + 2a]eax , .………………………6 分

由函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减可知: f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立,[来源:学+科+ 网 Z+X+X+K]
.………………………7 分

当 a = 0 时, f ′( x) = 2 x ,显然 f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立; .…………………8 分 当 a > 0 时, f ′( x) ≤ 0 等价于 ax 2 (2a 2 2) x 2a ≥ 0 , 因为 x ∈ ( 2, 2) ,不等式 ax 2 (2a 2 2) x 2a ≥ 0 等价于 x
2 2a 2 2 ≥ , x a .………………………9 分

2 令 g ( x) = x , x ∈ [ 2, 2] , x

则 g ′( x) = 1 +

2 ,在 [ 2, 2] 上显然有 g ′( x) > 0 恒成立,所以函数 g ( x) 在 [ 2, 2] 单调递增, x2 .………………………11 分 2 2a 2 2 ≥ 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立, x a

所以 g ( x) 在 [ 2, 2] 上的最小值为 g ( 2) = 0 , 由于 f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立等价于 x 需且只需 g ( x) min ≥

2a 2 2 2a 2 2 ,即 0 ≥ ,解得 1 ≤ a ≤ 1 ,因为 a > 0 ,所以 0 < a ≤ 1 . a a

综合上述,若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ≤ a ≤ 1 .
.………………………13 分

解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) f ′( x) = [ ax 2 + (2a 2 2) x + 2a]eax ,
.………………………6 分

由函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减可知: f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立, 即 ax 2 (2a 2 2) x 2a ≥ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立,
…………………7 分

当 a = 0 时, f ′( x) = 2 x ,显然 f ′( x) ≤ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成立; …………………8 分 当 a > 0 时,令 h( x) = ax 2 (2a 2 2) x 2a ,则函数 h( x) 图象的对称轴为 x = a2 1 , a .………………………9 分



a2 1 ≤ 0 ,即 0 < a ≤ 1 时,函数 h( x) 在 (0, +∞) 单调递增,要使 h( x) ≥ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) 恒成 a 立,需且只需 h( 2) ≥ 0 ,解得 1 ≤ a ≤ 1 ,所以 0 < a ≤ 1 ;
..………………………11 分



a2 1 > 0 ,即 a > 1 时,由于函数 h( x) 的图象是连续不间断的,假如 h( x) ≥ 0 对任意 x ∈ ( 2, 2) a 恒成立,则有 h( 2) ≥ 0 ,解得 1 ≤ a ≤ 1 ,与 a > 1 矛盾,所以 h( x) ≥ 0 不能对任意 x ∈ ( 2, 2)

恒成立. 综合上述,若函数 f ( x) 在区间 ( 2, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ≤ a ≤ 1 .[来源:学科 网]
.………………………13 分 19. (本小 题满分 13 分)

解: (Ⅰ)由题意,抛物线 C2 的方程为: y 2 = 4 x , (Ⅱ)设直线 AB 的方程为: y = k ( x 4), (k 存在且k ≠ 0) .
y = k ( x 4) 联立 2 ,消去 x ,得 ky 2 4 y 16k = 0 , y = 4x
………………3 分 显然 = 16 + 64k 2 > 0 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则

…………2 分

y

B

O F
A

M P

x

4 y1 + y2 = k y1 y2 = 16

① ② ③

…………………4 分 …………………5 分

又 AM =

1 1 MB ,所以 y1 = y2 2 2 k2 = 2 ,

由①② ③消去 y1 , y2 ,得

故直线 l 的方程为 y = 2 x 4 2, 或 y = 2 x + 4 2 .

…………………6 分

m n (Ⅲ)设 P (m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O,P 两点关于直线 y = k ( x 4) 对称, 2 2

m 8k 2 n = k ( 4) m= 2 km n = 8k 2 1+ k2 , 所以 ,即 ,解之得 m + nk = 0 n k = 1 n = 8k m 1+ k2
将其代入抛物线方程,得:

…………………8 分

(

8k 2 8k 2 ) = 4 ,所以, k 2 = 1 . 1+ k2 1+ k2

………………………9 分

y = k ( x 4) 联立 x 2 y 2 ,消去 y ,得: 2 + 2 =1 b a (b 2 + a 2 k 2 ) x 2 8k 2 a 2 x + 16a 2 k 2 a 2 b 2 = 0 .
由 = ( 8k 2 a 2 ) 2 4(b 2 + a 2 k 2 )(16a 2 k 2 a 2 b 2 ) ≥ 0 ,得

………………………10 分

16a 2 k 4 (b 2 + a 2 k 2 )(16k 2 b 2 ) ≥ 0 ,即 a 2 k 2 + b 2 ≥ 16k 2 ,

…………………12 分

将 k 2 = 1 , b 2 = a 2 1 代入上式并化简,得
2a 2 ≥ 17 ,所以 a ≥ 34 ,即 2a ≥ 34 , 2
………………………13 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .
20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可得: f1 ( x) = cos x, x ∈ [0, π ] f 2 ( x) = 1, x ∈ [0, π ] . ,

………………………1 分 ………………………2 分

x 2 , x ∈ [ 1, 0) (Ⅱ) f1 ( x) = , 0, x ∈ [0, 4] 1, x ∈ [1,1) , f 2 ( x) = 2 x , x ∈ [1, 4]

………………………3 分

………………………4 分

1 x 2 , x ∈ [ 1, 0) f 2 ( x) f1 ( x) = 1, x ∈ [0,1) , 2 x , x ∈ [1, 4]

………………………5 分

当 x ∈ [1, 0] 时, 1 x 2 ≤ k ( x + 1) ∴ k ≥ 1 x , k ≥ 2 ; 当 x ∈ (0,1) 时, 1 ≤ k ( x + 1) ∴ k ≥
1 ∴k ≥ 1 ; x +1

当 x ∈ [1, 4] 时, x 2 ≤ k ( x + 1) ∴ k ≥ 综上所述,∴ k ≥

x2 16 ∴ k ≥ .[来源:Zxxk.Com] x +1 5 ………………………6 分 ………………………7 分

16 5 即存在 k = 4 ,使得 f ( x) 是 [1, 4] 上的 4 阶收缩函数.

(Ⅲ) f ′( x) = 3x 2 + 6 x = 3x ( x 2 ) ,令 f '( x) = 0 得 x = 0 或 x = 2 . 函数 f ( x ) 的变化情况如下:

令 f ( x) = 0 ,解得 x = 0 或 3.

………………………8 分

ⅰ) b ≤ 2 时, f ( x) 在 [0, b] 上单调递增,因此, f 2 ( x) = f ( x ) = x3 + 3x 2 , f1 ( x) = f ( 0 ) = 0 . 因为 f ( x) = x 3 + 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,

所以,① f 2 ( x) f1 ( x ) ≤ 2 ( x 0 ) 对 x ∈ [0, b] 恒成立; ②存在 x ∈ [ 0, b ] ,使得 f 2 ( x) f1 ( x ) > ( x 0 ) 成立. ①即: x3 + 3 x 2 ≤ 2 x 对 x ∈ [0, b] 恒成立, 由 x3 + 3 x 2 ≤ 2 x ,解得: 0 ≤ x ≤ 1 或 x ≥ 2 , 要使 x3 + 3 x 2 ≤ 2 x 对 x ∈ [0, b] 恒成立,需且只需 0 < b ≤ 1 . ②即:存在 x ∈ [0, b] ,使得 x ( x 2 3x + 1) < 0 成立. 由 x ( x 2 3x + 1) < 0 得: x < 0 或 所以,需且只需 b > 综合①②可得:
3 5 . 2 3 5 3+ 5 <x< , 2 2
.………………………10 分

………………………9 分

3 5 < b ≤1. .………………………11 分 2 3 ⅱ)当 b > 2 时,显然有 ∈ [0, b] ,由于 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,根据定义可得: 2
3 27 3 f2 ( ) = , f1 ( ) = 0 , 2 8 2

3 3 3 27 可得 f 2 ( ) f1 = > 2× = 3, 2 2 2 8

此时, f 2 ( x) f1 ( x ) ≤ 2 ( x 0 ) 不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得:
3 5 < b ≤1. 2

.………………………13 分

注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用

3 只是因为简单而已. 2


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