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高中数学人教a版选修2-1课时作业:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 含解析

第三章 3.1 课时作业 27 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等 解析:A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B 项,空间基底 有无数个;D 项中因为基底不唯一,所以 D 错.故选 C. 答案:C 2.已知 i,j,k 是空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向上的 → =-i+j-k,则点 B 的坐标为( 单位向量,且AB A.(-1,1,-1) C.(1,-1,-1) ) B.(-i,j,-k) D.不确定 → =-i+j-k,只能确定AB → 的坐标为(-1,1,-1),而点 A 坐标不 解析:AB 确定,所以点 B 坐标也不确定. 答案:D 3.[2014· 黑龙江省哈尔滨九中模考]已知 O 为空间任一点,A,B,C,D 四 → =2xBO → +3yCO → +4zDO → ,则 2x+ 点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA 3y+4z 的值为( ) A. 1 C. 2 B. -1 D. -2 解析:本题主要考查空间向量基本定理及其应用.由题意知 A,B,C,D → =x OB → 共面的充要条件是:对空间任意一点 O,存在实数 x1,y1,z1,使得OA 1 → +z OD → 且 x +y +z =1,因此,2x+3y+4z=-1,故选 B. +y1OC 1 1 1 1 答案:B 4. 如右图所示, 在空间四边形 OABC 中, 点 M 为 OA 中点, N 为 AB 中点, 1 → =a,OB → =b,OC → =c,则MP → =( P 在 CN 上,且 CP= PN,若OA 2 ) 1 1 2 A.- a+ b+ c 3 6 3 1 1 2 B. a+ b- c 3 6 3 1 1 2 C.- a- b+ c 3 6 3 1 1 2 D. a- b+ c 3 6 3 → =MO → +OC → +CP → 解析:MP 1→ → 1→ =- OA +OC+ CN 2 3 1 1 1 → +CB →) =- a+c+ × (CA 2 3 2 1 1 → → → → =- a+c+ (OA -OC+OB-OC) 2 6 1 1 =- a+c+ (a+b-2c) 2 6 1 1 2 =- a+ b+ c. 3 6 3 答案:A 二、填空题 5. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空 → 的坐标为________, → 间直角坐标系. 已知 AB=AD=2, BB1=1.5, 则AD AC 1 → 的坐标为________. 的坐标为________,AC 解析:∵A(0,0,0),D(0,2,0),C1(2,2,1.5),C(2,2,0). → =(0,2,0),AC → =(2,2,1.5), ∴AD 1 → =(2,2,0). AC 答案:(0,2,0) (2,2,1.5) (2,2,0) 6.设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k, 则向量 a,b 的关系是__________. 解析:∵a· b=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,∴a⊥b. 答案:a⊥b → ,AB → ,AD → 作为基向量, 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,用AC 1 1 → =________. 则AC 1 → =2AA → +2AD → +2AB → 解析:2AC 1 1 → +AD → )+(AA → +AB → )+(AD → +AB →) =(AA 1 1 → +AB → +AC →, =AD 1 1 → =1(AD → +AB → +AC → ). ∴AC 1 1 1 2 1 → → → 答案: (AD 1+AB1+AC) 2 三、解答题 8.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点, → 的坐标. 并且 PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,求向量MN 解:因为 PA=AD=AB=1, → =e ,AD → =e ,AP → =e . 所以可设AB 1 2 3 → =MA → +AP → +PN → =MA → +AP → +1PC → 因为MN 2 1 1 1 1 → +AP → + (PA → +AD → +DC → )=- AB → +AP → + (-AP → +AD → +AB → )= AP → =MA 2 2 2 2 1→ 1 1 + AD = e3+ e2. 2 2 2 → =(0,1,1). ∴MN 2 2 9.如右图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 B1B 和 1 2 D1D 上,且 BE= BB1,DF= DD1. 3 3 (1)证明:A、E、C1、F 四点共面; → =xAB → +yAD → +zAA → ,求 x+y+z. (2)若EF 1 → → → → → → 1→ 2→ → 1→ 解:(1)证明:因为AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+ AA1+ AA1=(AB+ AA1) 3 3 3 → +2AA → )=AB → +BE → +AD → +DF → =AE → +AF →, +(AD 1 3 所以 A、E、C1、F 四点共面. → =AF → -AE → =AD → +DF → -(AB → +BE → )=AD → +2DD → -AB → -1BB → =- (2)因为EF 1 1 3 3 → +AD → +1AA →. AB 1 3 1 所以 x=-1,y=1,z= . 3 1 所以 x+y+z= . 3

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