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江苏省扬州中学2016-2017学年高二10月月考数学试题Word版含答案.doc


江苏省扬州中学 2016-2017 学年度第一学期 10 月份测试 高 二 数 学 试 卷 2016 年 10 月 7 日

(本试卷考试时间 120 分钟,满分 160 分,请将答案做在答题卡上) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.直线 的倾斜角为 ▲ .

x2 y2 2. 焦点在 轴上的椭圆 m + 4 =1 的焦距是 2,则 m 的值是____▲____. 3.若直线 4. 从点 引圆 与直线 关于点 对称,则直线 恒过定点____▲___. ▲ . ▲ .

的切线,则切线长是

x2 y2 5. 若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆25+ 9 =1 上一点,则三角形 PF1F2 的周长等于 6. 圆 ▲ . 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 关于直线 ▲ ▲ ,圆

,则这两圆公切线的条数为

7. 经过点 8. 圆

. .

对称的圆的标准方程是

9. 已知 的弧长为 10. 圆 个.

是由不等式组 ▲ .

所确定的平面区域,则圆

在区域



,则圆上到直线

距离为 3 的点共有▲

11. 在 平 面 直 角 坐 标 系 相交于 是 ▲ . ,

中 , 若 直 线 两点,且

与圆 心 为 为直角三角形,则实数 的值

的 圆

12. 已知椭圆 右焦点,若直线 为____▲ __. 与直线

,点

依次为其左顶点、下顶点、上顶点和

的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率

13. 已知圆 点 使得

,点 ,则

在直线 的取值范围为 ▲ .

上,

为坐标原点.若圆上存在

14. 若对于给定的负实数 ,函数

的图象上总存在点 C,使得以 C 为圆心,1 为 ▲ .

半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为 2,则 的取值范围为 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)已知直线 问:m 为何值时,有: (1) ; (2) . 和



8x2 y2 16.(本小题满分 14 分)已知椭圆 81 +36=1 上一点 (1)求 的值;

,且





x2 y2 (2)求过点 M 且与椭圆 9 + 4 =1 共焦点的椭圆的方程.

17.(本小题满分 15 分)在平面直角坐标系 别为线段 (1)若 (2)证明: , 上的动点,且满足 ,求直线 的方程;

中,己知点 .









的外接圆恒过定点(异于原点

).

18.(本小题满分 15 分)在一个特定时段内,以点 域.点 北偏东 正北 55 海里处有一个雷达观测站 且与点 相距 海里的位置

为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水

.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 ,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 北偏



(其中



)且与点

相距

海里的位置

.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

19.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 三点, 其中 交 (I)若 (II)若 是使 轴于点 是线段 于

中,已知圆

经过





上的动点, 、 是过点 、 两点.

且互相垂直的两条直线,

, 交圆

,求直线 的方程; 恒成立的最小正整数,求三角形 的面积的最小值.

20.(本小题满分 16 分)已知函数 (1)当 时,求 的最小值;

,



(2)若函数 取值范围; (3)若函数 的最小值.

图象上的点都在不等式组

表示的平面区域内,求实数 的



上有零点,求

10 月份测试数学参考答案
1.

? 2

2.5

3. (0,2) 9.

4.3 10.3

5.18 11. -1

6.2 12.
1 2

7. y ? 3x 或 y ? x ? 2

8. ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 13.

? 2

?0, 2?

14. ? 9 ? k ? 0

2

15.解: (1)∵ l1 ? l2 ,∴ (m ? 2)(2m ? 1) ? 6m ? 18 ,得 m ? 4 或 m ? ?

5 ; 2

当 m=4 时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即 l1 与 l2 重合,故舍去.

5 1 1 时, l1 : ? x ? y ? 5 ? 0, l2 : 6 x ? 6 y ? 5, 即 l1 ? l2 2 2 2 5 ∴当 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2 9 (2)由 6(m ? 2) ? ( m ? 3)(2 m ?1) ? 0 得 m ? ?1 或 m ? ? ; 2 9 ∴当 m ? ?1 或 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2
当m ? ?

8x2 y2 8x2 4 16.解:(1)把 M 的纵坐标代入 + =1,得 + =1,即 x2=9. 81 36 81 36 ∴x=± 3.故 M 的横坐标 x0 ? ?3. x2 y2 x2 y2 (2)对于椭圆 + =1,焦点在 x 轴上且 c2=9-4=5,故设所求椭圆的方程为 2 + 2 = 9 4 a a -5 9 4 1(a2>5),把 M 点坐标代入得 2+ 2 =1,解得 a2=15(a2=3 舍去). a a -5 x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 15 10

17. 解: (1)因为 A(?3, 4) ,所以

OA ? (?3)2 ? 42 ? 5 ,
3 4 5 5

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) , 由 BD ? 4 ,得 D(5,0) ,

4 5 ??1 所以直线 CD 的斜率 , 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 . (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m .

1 7

则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m , 因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4, 0) 又设 ?OCD 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx +Ey ? F ? 0 ,

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 , 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 ,

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x ? 0, ? x ? 2, 令? ,所以 ? (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1. ? x +2 y =0
所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) . 18.解 : (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0< ? < 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB?AC? cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,x1=y1= x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20 . 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

2 2

AB=40,

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= 所以船会进入警戒水域.

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

19.解: (I)由题意可知,圆 C 的直径为 AD,所以,圆 C 方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 10 . 当直线 l2 垂直于 x 轴时,方程为 x ? 1 ,不合题意; 当直线 l2 不垂直于 x 轴时,设 l 2 方程为: y ? k ( x ? 1) ,则

(2k ? 1) 2 ? 32 ? 10 , 2 1? k

解得 当k

k1 ? 0 , k2 ?

4 , 3

? 0 时,直线 l1 与 y 轴无交点,不合,舍去.

所以, k

?

4 此时直线 l 2 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 3 x y ? ? 1,即 2 x ? ty ? 2t ? 0 . t 2

(II)设 M ( x, y) ,由点 M 在线段 AD 上,得

由 AM≤2BM,得 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

4 3

2 3

20 . 9

8 8 | ? t| 4 2 2 2 20 2 5 依题意知, 线段 AD 与圆 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 至多有一个公共点, 故 3 3 ? , 2 3 3 9 3 4?t
解得 t ?

16 ? 10 3 16 ? 10 3 或t ? . 11 11

因为 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数,所以,t=4. 所以,圆 C 方程为: ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 5
2 2

(1)当直线 l 2 : x ? 1 时,直线 l1 的方程为 y ? 0 ,此时, S? EPQ ? 2 ; (2)当直线 l 2 的斜率存在时,设 l 2 的方程为: y ? k ( x ? 1) ( k

?0) ,则 l1 的方程为:

1 1 1 y ? ? ( x ? 1) ,点 E (0, ) .所以, BE ? 1 ? 2 k k k



又圆心C到 l 2 的距离为

| k ? 1| 1? k2
| k ? 1| 1? k2



所以, PQ ? 2

5?(

)2 ? 2

4k 2 ? 2k ? 4 . 1? k2

2 ?4 4k 2 ? 2k ? 4 4 2 15 . 故 S? EPQ ? 1 BE ? PQ ? 1 1 ? 12 ? 2 4k ? 2k ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 k 1? k k k k 2

因为

15 15 . ? 2 所以, ( S? EPQ )min ? 2 2

20.解: (1) f ( x)min ? ?1 (2)由题意可知, f ( x) ? ax ? x ? 1 ? x ? 1 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,把根式换元之后容易 计算出 1 ? a ? 2 ; (3) h( x) ? x ? ? f ( x) ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? bx ? 1 =0,
4

?

?

2

2

2 即 x ? ax ? b ?

a 1 ? ? 0, x x2
, ,? ? 0b



t ? x?

1 x

,







t2 ?

a ? 2 t

2t ?

2 设 g (t ) ? t ? at ? b ? 2 , t ? 2 ,

a ? 2 ,即 a ? ?4 时,只需 ? ? a2 ? 4b ? 8 ? 0 ,此时, a 2 ? b2 ? 16 ; 2 a 4 2 2 当 ? ? 2 ,即 ?4 ? a 时,只需 22 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ,即 2a ? b ? 2 ? 0 ,此时 a ? b ? . 2 5 4 故 a 2 ? b 2 的最小值为 . 5
当?


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