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2015-2016学年高中数学 1.2.2第1课时函数的表示法课件 新人教A版必修1


第一章——

集合与函数 概念

1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
[学习目标]
1.掌握函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.

栏目索引
CONTENTS PAGE

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破

当堂训练,体验成功

预习导学

挑战自我,点点落实

[知识链接]

1.在平面上, 两 个点可以确定一条直线,因此作一次函数的图象
时,只需找到两个点即可.
2 4 ac - b b (-2a, 4a ) 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 .

3.函数y=x2-2x-3=(x+1)(x-3),所以函数与x轴的交点坐标为

(-1,0) , (3,0) .

[预习导引] 函数的表示法
数学表达式
图象

表格
1.2.2 函数的表示法 第1课时

*

课堂讲义

重点难点,个个击破

要点一 待定系数法求函数解析式 例1


(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)的解析式;
k 设反比例函数 f(x)=x(k≠0),

18 k 则 f(3)=3=-6,解得 k=-18,故 f(x)=- x .

(2)一次函数y=f(x),f(1)=1,f(-1)=-3,求f(3).

解 设一次函数f(x)=ax+b(a≠0),
∵f(1)=1,f(-1)=-3,
? ? ?a+b=1, ?a=2, ∴? 解得? ∴f(x)=2x-1. ? ? ?-a+b=-3, ?b=-1,

∴f(3)=2×3-1=5.
1.2.2 函数的表示法 第1课时
*

规律方法 待定系数法求函数解析式的步骤如下:

(1)设出所求函数含有待定系数的解析式 .如一次函数解析式设为 k f(x)=ax+b(a≠0),反比例函数解析式设为f(x)= (k≠0),二次函 x 数解析式设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组. (3)解方程或方程组,得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代回原式.
1.2.2 函数的表示法 第1课时
*

跟踪演练1


已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,

求该二次函数的解析式.
设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意
?a=1, ? ? 解得?b=0, ? ? ?c=1,

?c=1, ? ? 得?a+b+c=2, ? ? ?4a+2b+c=5,

故 f(x)=x2+1.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式 例2 求下列函数的解析式:

?1+x? 1+x2 1 ?= 2 + ,求 f(x); (1)已知 f? x x ? x ?

1+x 1 解 方法一 (换元法)令 t= x =x+1,
1.2.2 函数的表示法 第1课时
*

2 ? ? 1 + x 1 1 1+x ?= 2 + ,得 则 t≠1.把 x= 代入 f? x x t-1 ? x ?

? 1 ? ?2 1+? 1 ?t-1? f(t)= + 1 ? 1 ? ? ?2 t-1 ?t-1?

=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.
1.2.2 函数的表示法 第1课时
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∴所求函数的解析式为

f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).
方法二
?1+x? 1+x2+2x-2x 1 ?1+x? ?= ? ?2- ( 配凑法 )∵f ? + = 2 x ? x ? x ? x ?

1+x-x ?1+x?2 1+x ? ?- = +1, x x ? x ?

∴f(x)=x2-x+1.
1.2.2 函数的表示法 第1课时
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1+x 1 又∵ x =x +1≠1,

∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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(2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x).
解 方法一 (换元法)令 x+1=t(t≥1),则 x=(t-1)2,

∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2=t2-1.

∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二 (配凑法)∵x+2 x=( x+1)2-1,

∴f( x+1)=( x+1)2-1.
又∵ x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
1.2.2 函数的表示法 第1课时
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规律方法

1.换元法的应用:当不知函数类型求函数解析

式时,一般可采用换元法 .所谓换元法,即将“ x +1” 换成另一个字母 “t” ,然后从中解出 x 与 t 的关系,再代

入原式中求出关于“t”的函数关系式,即为所求函数解
析式,但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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2.配凑法的应用:对于配凑法,通过观察与分析,将右端 的式子“x+2 x”变成含有“ x+1”的表达式.这种解 法对变形能力、观察能力有较高的要求.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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x2-4x+3 跟踪演练2 已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)=__________. 解析 方法一 (换元法)令x+1=t,则x=t-1,可得f(t)=(t

-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3.
方法二 (配凑法)因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x

+ 1)2 - 4(x+ 1) + 3 ,所以 f(x + 1) = (x + 1)2 - 4(x + 1)+ 3 ,即

f(x)=x2-4x+3.
1.2.2 函数的表示法 第1课时
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要点三 作函数的图象
例3 解 作出下列函数的图象: 这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y= x+1

(1)y=x+1(x∈Z);
上,如图(1)所示.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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(2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 解 因为 0≤x < 3 ,所以这个函数的图象是抛物线y = x2 - 2x 介于0≤x<3之间的一部分,如图(2)所示.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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规律方法

1.作函数图象主要有三步:列表、描点、连线 .

作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简 函数解析式,再列表画出图象.

2. 函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,
画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,

二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是
空心点.
1.2.2 函数的表示法 第1课时
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跟踪演练3 画出下列函数的图象: (1)y=x+1(x≤0); 解 y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1).

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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(2)y=x2-2x(x>1,或x<-1). 解 y= x2- 2x= (x- 1)2-1(x>1,或x<- 1) 是抛物线y=x2 -x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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当堂检测

当堂训练,体验成功

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1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)等于( C )
x f(x) A.1 B.2 1≤x<2 2 2<x≤4 1 C.3 2 3 D.不存在

解析 由表可知f(3)=3.

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2.y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式 为( )

1 A.y=x 2 C.y=x
1.2.2 函数的表示法 第1课时

1 B.y=-x 2 D.y=-x
*

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k k 解析 设 y=x,由 1=2得,k=2. 2 因此,y 关于 x 的函数关系式为 y=x.

答案 C

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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3.若f(x+2)=2x+3,f(3)的值是( C )
A.9 B.7 C.5 D.3

解析 令x+2=3,则x=1,∴f(3)=2×1+3=5.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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4. 如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x = 1 对称,且
过点(0,0),则此二次函数的解析式可以是( )

A.f(x)=x2-1
B.f(x)=-(x-1)2+1 C.f(x)=(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1
1.2.2 函数的表示法 第1课时
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解析

由二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称,

可排除A、B;又图象过点(0,0),可排除C;D项符合题意. 答案 D

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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5.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的 坐标分别为(0,0), (1,2), (3,1), 那么
? 1 ? ? ? f? ?的值等于________. ?f?3??

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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解析 由函数f(x)图象,知f(1)=2,f(3)=1,
? 1 ? ? ∴f? ?f?3??=f(1)=2. ? ?

答案 2

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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课堂小结
1.函数三种表示法的优缺点

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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2.描点法画函数图象的步骤:(1)求函数定义域;(2)化简解 析式;(3)列表;(4)描点;(5)连线.

3.求函数解析式常用的方法有:(1)待定系数法;(2)换元法;
(3)配凑法;(4)消元法等.

1.2.2 函数的表示法 第1课时

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