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高中数学必修五试卷(含答案)

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必修五阶段测试四(本册综合测试)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 3x-1 1.不等式 ≥1 的解集是( 2-x
? 3 ? ? A.?x? ?4≤x≤2 ? ? ?

)
? 3 ? ? C.?x? ?x>2或x≤4 ? ?

? 3 ? ? B.?x? ?4≤x<2 ?

D.{x|x<2} )

2.(2017· 存瑞中学质检)△ABC 中,a=1,B=45° ,S△ABC=2,则△ABC 外接圆的直径为( A.4 3 B.5 C.5 2 D.6 2 ) D.5a<x<-a

3.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解为( A.x>5a 或 x<-a B.x>-a 或 x<5a

C.-a<x<5a )

1 1 4.若 a>0,b>0,且 lg(a+b)=-1,则 + 的最小值是( a b 5 A. 2 B.10 C.40 D.80

5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则 k 的值为( A.8 B.7 C .6 D.5 ) D.a|c|>b|c|

)

6.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( 1 1 A. < a b 1 1 B. 2> 2 a b a b C. 2 > 2 c +1 c +1

7.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 的值为( A.12 B.8 C .6 D.4

)

x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 8.若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, ( ) A.48 B.30 C.24

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a—b 的值是

D.16

17Sn-S2n 9.设{an}是等比数列,公比 q=2,Sn 为{an}的前 n 项和,记 Tn= (n∈N*),设 Tn0 为数列{Tn} an+1 的最大项,则 n0=( A.2 ) B.3 C.4 D.5

1 10.设全集 U=R,A={x|2(x-1)2<2},B={x|log (x2+x+1)>-log2(x2+2)}, 2 则图中阴影部分表示的集合为( )

~~~

~

A.{x|1≤x<2}

B.{x|x≥1}

C.{x|0<x≤1}

D.{x|x≤1} )

11.在等比数列{an}中,已知 a2=1,则其前三项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

?1? 12.(2017· 山西朔州期末)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+n+1,设数列?a ?的前 n 项和为 Sn,若 Sn<m ? n?

对一切正整数 n 恒成立,则实数 m 的取值范围为( A.(3,+∞) B.[3,+∞)

) D.[2,+∞)

C.(2,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2017· 福建莆田二十四中期末)已知数列{an}为等比数列,前 n 项的和为 Sn,且 a5=4S4+3,a6=4S5 +3,则此数列的公比 q=________. 14.(2017· 唐山一中期末)若 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 15.如右图,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 3a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏 东 20° .灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为________.

16.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 则△ABC 面积的最大值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
? 1 ? ? 17.(10 分)(2017· 山西太原期末)若关于 x 的不等式 ax2+3x-1>0 的解集是?x? ?2 <x<1 . ? ?

(1)求 a 的值; (2)求不等式 ax2-3x+a2+1>0 的解集. 1 → → 18.(12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA· BC=2,cosB= ,b=3. 3 求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

1 19.(12 分)(2017· 辽宁沈阳二中月考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= . 3 B+C (1)求 sin2 +cos2A 的值; 2 (2)若 a= 3,求 bc 的最大值.
3 3 20.(12 分)(2017· 长春十一高中期末)设数列{an}的各项都是正数,且对于 n∈N*,都有 a1 +a3 2+a3+?+

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2 a3 n=Sn,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和.

(1)求 a2; (2)求数列{an}的通项公式. x+2y≤2n, ? ? 21.(12 分)已知点(x,y)是区域?x≥0, ? ?y≥0

(n∈N+)内的点,目标函数 z=x+y,z 的最大值记作 zn.

若数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线 zn=x+y 上. (1)证明:数列{an-2}为等比数列; (2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn. 22.(12 分)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以后每年支 出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和(f(n)=前 n 年的总 收入-前 n 年的总支出-投资额). (1)该厂从第几年起开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以 48 万元 出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更合算?

答案与解析
??4x-3??x-2?≤0, ? 3x-1 3x-1 3x-1-?2-x? 4x-3 1. B 由 ≥1, 可得 -1≥0, 所以 ≥0, 即 ≥0, 所以? 2-x 2-x 2-x 2-x ?x-2≠0, ?

3 解得 ≤x<2. 4 故选 B. 1 2.C ∵S△ABC= acsinB=2, 2 1 2 ∴ ×1× c=2,∴c=4 2, 2 2 ∴b2=c2+a2-2accosB=32+1-2×1×4 2× ∴b=5,∴外接圆的直径为 2 =25, 2

b 5 = =5 2,故选 C. sinB 2 2

3.B (x+a)(x-5a)>0. ∵a<0, ∴-a>5a. ∴x>-a 或 x<5a,故选 B. 1 4.C 若 lg(a+b)=-1,则 a+b= , 10 1 1? 1 1 + ∴ + =10? a b?(a+b)= ? a b

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b a? 10? ?2+a+b?≥10(2+2)=40. 1 当 a=b= 时,“=”成立,故选 C. 20 5-1 5.A ∵a1=1,a3=5,∴公差 d= =2, 2 ∴an=1+2(n-1)=2n-1, Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,∴k=8,故选 A. 1 a b 6.C ∵a>b, 2 >0,∴ 2 > 2 ,故选 C. c +1 c +1 c +1 7.B 由等差数列的性质知,a3+a6+a10+a13=4a8=32, ∴a8=8.又 am=8,∴m=8.

8.C 如图所示,当直线 z=5y-x 经过 A 点时 z 最大,即 a=16,经过 C 点时 z 最小,即 b=-8,∴a-b= 24,故选 C. 9.A a1?2n-1? a1?22n-1? n Sn= =a1(2 -1),S2n= =a1(22n-1),an+1=a1· 2n, 2-1 2-1

17Sn-S2n 17a1?2n-1?-a1?22n-1? 16 2n+ n ?≤17-8=9,当且仅当 n=2 时取等号,∴数 ∴Tn= = =17-? n 2 ? ? a1· 2 an+1 列{Tn}的最大项为 T2,则 n 0=2,故选 A. 10.A 由 2(x-1)2<2,得(x-1)2<1.解得 0<x<2. 1 ∴A={x|0<x<2}.由 log (x2+x+1)>-log2(x2+2), 2 得 log2(x2+x+1)<log2(x2+2). x +x+1>0, ? ?2 则?x +2>0, ? ?x2+x+1<x2+2.
2

解得 x<1.

∴B={x|x<1}.∴?UB={x|x≥1}. ∴阴影部分表示的集合为 (?UB)∩A={x|1≤x<2}. 1 11.D 设数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q=1,∴q= , a1 1 ∴S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1+1+ ,当 a1>0 时,S3≥1+2 a1
~~~

1 a1· =3,当且仅当 a1=1 时, a1

~

取等号;当 a1<0 时,S3≤1-2=-1,当且仅当 a1=-1 时,取等号. 故 S3 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 12.D a1=1,an+1-an=n+1, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =(n-1+1)+(n-2+1)+?+(1+1)+1 n?n+1? =n+(n-1)+(n-2)+?+2+1= , 2 当 n=1 时,也满足上式, n?n+1? ∴an= , 2 1 1 1 2 = =2?n-n+1?, an n?n+1? ? ? 1 1 1 1 1 ∴Sn=2?1-2+2-3+?+n-n+1?= ? ? 1 2?1-n+1?.

?

?

∵Sn<m 对一切正整数 n 恒成立,∴m≥2,故选 D. 13.5 解析:由题可得 a5-a6=4S4-4S5=-4a5, ∴a6=5a5,∴q=5. 14.4 解析:∵x+2y+2xy=8, 又 2xy≤? x+2y?2 ? 2 ?, x+2y?2 ? 2 ? ≥8,

∴x+2y+?

1 ∴ (x+2y)2+x+2y-8≥0, 4 ∴x+2y≥4, 当且仅当 x=2y=2 时,等号成立. ∴x+2y 的最小值为 4. 15.3a km 解析:由题意知,∠ACB=120° , ∴AB2=3a2+3a2-2 3a× 3acos120° =9a2, ∴AB=3a km. 16. 3
~~~

~

解析:由正弦定理及(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,得(2+b)(a-b)=(c-b)c,又 a=2, ∴b2+c2-a2=bc.由余弦定理得 b2+c2-a2 bc 1 cosA= = = ,∴A=60° . 2bc 2bc 2 又 22=b2+c2-2bccos60° =b2+c2-bc≥2bc-bc, ∴bc≤4.当且仅当 b=c 时取等号. 1 1 3 ∴S△ABC= bcsinA≤ ×4× = 3. 2 2 2 1 17.解:(1)依题意,可知方程 ax2+3x-1=0 的两个实数根为 和 1, 2 1 3 1 1 ∴ +1=- 且 ×1=- 解得 a=-2, 2 a 2 a ∴a 的值为-2, (2)由(1)可知,不等式为-2x2-3x+5>0,即 2x2+3x-5<0, 5 ∵方程 2x2+3x-5=0 的两根为 x1=1,x2=- , 2
? ? 5 - <x<1?. ∴不等式 ax2-3x+a2+1>0 的解集为?x? ? ? 2 ?

1 → → 18.解:(1)由BA· BC=2 得 c· acosB=2,又 cosB= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accosB. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.
?ac=6, ? 解? 2 2 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. ?a +c =13, ?

因 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sinB= 1-cos2B= 1?2 2 2 1-? ?3? = 3 ,

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC= sinB= × = . b 3 3 9 因 a=b>c,所以 C 是锐角,因此 cosC= 1-sin2C= 4 2?2 7 1-? = . ? 9 ? 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= × + × = . 3 9 3 9 27 1 19.解:(1)在△ABC 中,∵cosA= , 3 B+C 1 1 1 ∴sin2 +cos2A= [1-cos(B+C)]+2cos2A-1= (1+cosA)+2cos2A-1=- . 2 2 2 9 (2)由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,
~~~

~

2 2 4 ∴3=b2+c2- bc≥2bc- bc= bc, 3 3 3 9 3 ∴bc≤ ,当且仅当 b=c= 时,等号成立, 4 2 9 ∴bc 的最大值为 . 4
2 20.解:(1)在已知式中,当 n=1 时,a3 1=a1,∵a1>0,∴a1=1, 3 3 3 2 当 n≥2 时,a3 1+a2+a3+?+an=Sn,① 3 3 3 2 a3 1+a2+a3+?+an-1=Sn-1,②

①-②得 a3 n=an(2a1+2a2+?+2an-1+an).
2 ∵an>0,∴a2 n=2a1+2a2+?+2an-1+an,即 an=2Sn-an,

∴a2 2=2(1+a2)-a2,解得 a2=-1 或 a2=2, ∵an>0,∴a2=2.
* (2)由(1)知 a2 n=2Sn-an(n∈N ),③

当 n≥2 时,a2 n-1=2Sn-1-an-1,④
2 ③-④得 a2 n-an-1=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1.

∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an=n. 21.解:(1)证明:由已知当直线过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故 zn=2n. ∴方程为 x+y=2n. ∵(Sn,an)在直线 zn=x+y 上,∴Sn+an=2n.① ∴Sn-1+an-1=2(n-1),n≥2.② 由①-②得,2an-an-1=2,n≥2.∴an-1=2an-2,n≥2. an-2 an-2 an-2 1 又∵ = = = ,n≥2,a1-2=-1, an-1-2 2an-2-2 2?an-2? 2 1 ∴数列{an-2}是以-1 为首项, 为公比的等比数列. 2 1?n-1 ?1?n-1 (2)由(1)得 an-2=-? ?2? ,∴an=2-?2? . 1?n-1 ∵Sn+an=2n,∴Sn=2n-an=2n-2+? ?2? .

?1?0? ? ?1?? ? ?1?n-1? ∴Tn=? ?0+?2? ?+?2+?2??+?+?2n-2+?2? ?
1?0 ?1? ?1?n-1 =[0+2+?+(2n-2)]+? ?2? +?2?+?+?2?

?1?n n?2n-2? 1-?2? 1?n-1 = + =n2-n+2-? ?2? . 2 1 1- 2
~~~

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n?n-1? ? 22.解:由题意知 f(n)=50n-?12n+ ×4 -72=-2n2+40n-72. 2 ? ? (1)由 f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得 2<n<18.由 n∈N+知,该厂从第 3 年起开始盈利. 36 f?n? n+ ?, (2)方案①:年平均纯利润 =40-2? n? ? n 36 ∵n+ ≥2 n ∴ 36 n× =12,当且仅当 n=6 时取等号, n

f?n? ≤40-2×12=16. n

因此方案①共获利 16×6+48=144(万元),此时 n=6. 方案②:f(n)=-2(n-10)2+128.从而方案②共获利 128+16=144(万元).比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第一方案只需 6 年,而第②种方案需要 10 年,因此,选择第①种方案更合算.

~~~


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