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江苏专用2018高考数学一轮复习第九章平面解析几何第49课双曲线课时分层训练


章 平面解析几何 第 49 课 双曲线课时分层训练
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 1.双曲线 x - =1 的两条渐近线方程为________. 4
2

y2

y2 y=±2x [由 x2- =0 得 y=±2x,即双曲线的两条渐进线方程为 y=±2x.]
4

x2 2 2.已知双曲线 2-y =1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=__________. a
【导学号:62172271】 3 3 [双曲线 2-y =1 的渐近线为 y=± , 已知一条渐近线为 3x+y=0, 即 y=- 3 1 3

x2 a

2

x a

x,因为 a>0,所以 = 3,所以 a= .] a 3
3.双曲线 - =1 的离心率为________. 4 5 3 2 [∵a =4,b =5,
2 2

x2 y2

c 3 2 ∴c =9,∴e= = .] a 2
4. 若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3, -4), 则此双曲线的离心率为________. 【导学号:62172272】 5 3

x2 y2 a b

b 4 b 16 [由双曲线的渐近线过点(3,-4)知 = ,∴ 2= . a 3 a 9
2 2 2

2

又 b =c -a ,∴

c2-a2 16 = , a2 9

16 25 5 2 2 即 e -1= ,∴e = ,∴e= .] 9 9 3 5.已知点 F1(-3,0)和 F2(3,0),动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 4,则点 P 的轨迹方程 为________.

x2 y2
4

- =1(x>0) [由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支, 设其方程 5
2

为 2- 2=1(x>0,a>0,b>0),由题设知 c=3,a=2,b =9-4=5. 所以点 P 的轨迹方程为 - =1(x>0).] 4 5 6.已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离
1
2 2

x2 y2 a b

x2 y2

为________. 3 [由双曲线方程知 a =3m,b =3,
2 2 2 2

∴c= a +b = 3m+3. 不妨设点 F 为右焦点,则 F( 3m+3,0). 又双曲线的一条渐近线为 x- my=0, | 3· m+1| ∴d= = 3.] 1+m 7.(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程

y2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点 m +n 3m2-n
2

x2



间的距离为 4,则 n 的取值范围是________. (-1,3) [∵原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为 4.
?m +n+3m -n=4, ? ∴? 2 2 ??m +n??3m -n?>0, ?
2 2

?m =1, ? 则? 2 2 ?-m <n<3m , ?

2

因此-1<n<3.] 8.(2016·苏锡常镇二模)若双曲线 x +my =1 过点(- 2,2),则该双曲线的虚轴长 为________. 4 1 [由题意可知 2+4m=1,∴m=- , 4
2 2

1 2 2 2 即 x - y =1,∴b =4,∴b=2,即 2b=4.] 4 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知方程 - =1 表示双曲线,则实数 m 的取值 4-m 2+m 范围为________. (-2,4) [由题意可知(4-m)(2+m)>0,即-2<m<4.]
2

x2

y2

10.过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A, 3

y2

B 两点,则 AB=________. 【导学号:62172273】
4 3 [由题意知,双曲线 x - =1 的渐近线方程为 y=± 3x,将 x=c=2 代入得 y 3
2

y2

=±2 3,即 A,B 两点的坐标分别为(2,2 3),(2,-2 3),所以 AB=4 3.] → → x2 2 11.已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,若MF1·MF2 2 <0,则 y0 的取值范围是________. 3 3? ? ?- , ? [由题意知 a= 2,b=1,c= 3, 3? ? 3 ∴F1(- 3,0),F2( 3,0),
2

→ → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → 2 ∵MF1·MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴ -y0=1,即 x0=2+2y0, 2 ∴2+2y0-3+y0<0,∴-
2 2 2 2

x2 0

2

2

2

3 3 <y0< .] 3 3

12.(2016·山东高考)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点 在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2AB=3BC,则 E 的离心率是________. 2 2b [如图,由题意知 AB= ,BC=2c.
2

x2 y2 a b

a

又 2AB=3BC, 2b 2 ∴2× =3×2c,即 2b =3ac,
2

a

∴2(c -a )=3ac,两边同除以 a ,并整理得 2e -3e-2=0,解得 e=2(负值舍去).] B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长 9 16 的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 44 [由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5,

2

2

2

2

x2

y2

∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且 PQ=QA+PA=4b=16, 由双曲线定义,得 PF-PA=6,

QF-QA=6.
∴PF+QF=12+PA+QA=28, 因此△PQF 的周长为 PF+QF+PQ=28+16=44.] 2.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是________.

x2 y2 a b

b? ? b? ? (1,2) [由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A?-c, ?,B?-c,- ?,E(a,0),∵△ a a? ? ? ? ABE 是锐角三角形,∴EA·EB>0,
3

2

2





→ → ? b? ? b? 2 4 即EA·EB=?-c-a, ?·?-c-a,- ?>0,整理得 3e +2e>e ,

2

2

?

a? ?

a?

∴e(e -3e-3+1)<0, ∴e(e+1) (e-2)<0, 解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2).] 3.(2016·北京高考)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=__________. 2 [双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 易得两条渐近线方程互相垂直, 由双曲
2

3

x2 y2 a b

x2 y2 a b

b a

线的对称性知 =1. 又正方形 OABC 的边长为 2,所以 c=2 2, 所以 a +b =c =8,因此 a=2.] 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x- 2) +y =3 相切,则双曲线的方程为__________.
2 2 2 2 2

b a

x2 y2 a b

y2 b x2- =1 [由双曲线的渐近线 y=± x,即 bx±ay=0 与圆(x-2)2+y2=3 相切, 3 a
∴ |2b|

a +b

2

2

= 3,则 b =3a .①

2

2

又双曲线的一个焦点为 F(2,0), ∴a +b =4,② 联立①②,解得 a =1,b =3. 故所求双曲线的方程为 x - =1.] 3 5.(2017·南通三模)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2-y =1 与抛物线 y =-12x 有相同的焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为________.
2 2 2 2 2

y2

x2 a

2

2

y=±

2 x 4

[抛物线 y =-12x 的焦点为(-3,0),∴a +1=9,∴a=±2 2.

2

2

∴双曲线的两条渐近线方程为 y=± =±

x a

2 x.] 4

6.(2016·天津高考改编)已知双曲线 - 2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半 4 b 轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为________.
4

x2 y2

x2
4



=1 [由题意知双曲线的渐近线方程为 y=± x, 圆的 12 2
2 2

y2

b

x +y =4, ? ? 2 2 方程为 x +y =4,联立? b y= x, ? ? 2

? ?x= 解得? ? ?y=

4 4+b 2b 4+b

2



2



-4 x= ? ? 4+b , 或? -2b ? ?y= 4+b ,
2 2

即第一象限的交点为?

? 4 , 2b ? 2 2?. 4+b ? ? 4+b
8 4+b
2

由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形, 其相邻两边长为 =2b,得 b =12. 故双曲线的方程为 - =1.] 4 12
2



8×4b , 故 2 4+b 4+b
2

4b

x2

y2

5


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