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2013年全国高考数学第二轮复习 第3讲 解答题题型特点与技法指导 理


第3讲

解答题题型特点与技法指导

高考解答题一般有六大方向:三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不 等式、解析几何、不等式与函数及导数.一般来说,前三题属于中、低档题,第四题属中档 偏难题,后两题属难题.三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概 率较高,掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键.目前的高考解答题已经由单纯的 知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.能否做好解答题是高考成败的关键.

1.三角函数 有关三角函数的大题即解答题,主要是考查基础知识、基本技能和基本方法,且难度不 大.凸显恒等变换与三角函数的图象、性质在三角形内考查.主要考查以下 4 个方面:①三 角函数的图象、性质、图象变换,主要是 y=Asin(ω x+φ )+b 的图象、性质及图象变换, 考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、最值及图象的平移和对称等;②三角恒等 变换,主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般需要运用和差角公式、倍角公式,尤其是 对公式的应用与三角函数性质的综合考查;③三角函数性质的应用.通过解三角形来考查三 角恒等变形及应用三角函数性质的综合能力;④三角函数与平面向量、数列、不等式等知识 的综合问题. 【例1】已知向量 a=(cos ω x-sin ω x,sin ω x),b=(-cos ω x-sin ω x,2 3cos ω x),设函数 f(x)=a?b+λ (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω ,λ 为常数,且 ?1 ? ω ∈? ,1?. ?2 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; ?π ? ? 3π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. 4 5 ? ? ? ? 点评 利用向量的工具作用,与向量结合在一起命制综合题,体现了在知识交汇点处命 题的指导思想.这类问题求解时,首先利用向量的运算,将向量式转化为代数式,然后进行 有关的三角恒等变换,最后研究三角函数的图象与性质. π? 2 ? 2 变式训练 1 (2012?安徽高考,理 16)设函数 f(x)= cos?2x+ ?+sin x. 4? 2 ? (1)求 f(x)的最小正周期; 1 ? π? ? π? g (2)设函数 g(x)对任意 x∈R, g?x+ ?=g(x), 有 且当 x∈?0, ?时, (x)= -f(x). 求 2? 2? 2 ? ? g(x)在区间[-π ,0]上的解析式. 2.立体几何 立体几何是高中数学的主干知识之一,命题形式比较稳定.立体几何解答题主要分两类: 一类是空间线面关系的判定和推理证明,主要是证明平行和垂直,求解这类问题要依据线面 关系的判定定理和性质定理进行推理论证;另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体 的体积与面积)的计算.求解这类问题,常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证, 作出所求几何量并求之.一般解题步骤是“作、证、求”. 对以上两类问题特别要加强空间向量法的训练. 【例2】(2012?河南豫东、豫北十校阶段性检测,18)如图,已知直角梯形 ACDE 所在的 平面垂直于平面 ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.

-1-

(1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 EAB?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 θ 的余弦值. 点评 线线平行、线面平行、面面平行的判定与证明是相互转化的,垂直也是如此;对 于二面角,常用两种方法,几何法与向量法,一般倾向于用向量法. 变式训练 2 (2012?陕西西安二模,19)如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,CE∥DF, ∠DEF=90°.

(1)求证:BE∥平面 ADF; (2)若矩形 ABCD 的边 AB=3, =2 3, EF 则另一边 BC 的长为何值时, 平面 BEF 与平面 CDFE 所成角的大小为 45°. 3.概率与统计 概率与统计问题的解答题是每年高考必考内容,主要考查古典概型、几何概型、等可能 事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式,对立事件的概率减法公式,相互独立事件 的概率乘法公式,事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率计算公式等五个基本公式 的应用及离散型随机变量分布列和数学期望、方差等内容. 【例3】(2012?天津宝坻质检,16)高中某学科奥赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进 2 1 1 行,若某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 , , ,且各阶段通过与否相互独立. 3 3 4 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手在比赛中比赛的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望. 点评 概率计算的关键是对概率模型的判断,各事件之间的关系是互斥还是相互独立等, 解题的关键是对概念理解到位.求概率分布列的关键在于依据题意准确分析,计算随机变量 在各个取值下对应的概率. 变式训练 3 山东省第 23 届运动会将于 2014 年在济宁隆重召开.为了搞好接待工作,组 委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者. 调查发现, 30 名志愿者的身高如图: 这 (单位:cm)

-2-

若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子”,身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,则至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. 4.数列与不等式 高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点: (1)与等差、等比数列基本量有关的计算,可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比 数列的性质求解; (2)与求和有关的题目,首先要求通项公式,并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错 位相减法、裂项相消法、分组求和法等); (3)含 Sn 的式子,要根据题目特征利用 an=?
?S1,n=1, ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2

进行转化;

(4)与递推数列有关的问题,要能合理转化,使之构造出新的等差、等比数列; (5)与数列有关的不等式问题,可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法、数学归 纳法等); (6)与函数有关的问题,应根据函数的性质求解. 【例4】(2012?四川成都二诊,20)已知数列{an}和{bn},b1=1,且 bn+1-3bn=2n-2, * 记 an=bn+1-bn+1,n∈N . (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)求数列{an}和{bn}的通项公式; (3)记 cn= log an 3 ? (log an+2 3) ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若 45Tk<29,k∈N 恒成立,
*

?

?

求 k 的最大值. 点评 第(1)问考查了等比数列的证明,它是为第(2)、(3)问服务的.第(2)问考查了求 数列通项公式的常规方法. 第(3)问考查了数列的求和方法, 是数列与不等式知识的融合问题. 变式训练 4 (2012?湖北八校二联,19)各项为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 1 1 1 Sn= a2+ an+ (n∈N*). n 4 2 4 (1)求 an;

?an,n为奇数, ? (2)设函数 f(n)=? ?n? ?f?2?,n为偶数, ? ? ?

cn=f(2n+4)(n∈N*), 求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

5.解析几何 解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及其几何性质等基础知识和处 理有关问题的基本技能、基本方法,往往以中档偏难题或以压轴题形式出现,主要考查学生 的逻辑推理能力,运算能力,考查学生综合运用数学知识解决问题的能力.突破解答题,应 重点研究直线与曲线的位置关系,要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理,注意运 用“设而不求”的思想方法,灵活运用“点差法”等来解题,要善于运用数形结合思想分析 问题,使数与形相互转化,并根据具体特征选择相应方法. 【例5】 已知椭圆 + =1, P 是椭圆上异于顶点的任意一点, 点 过点 P 作椭圆的切线 l, 4 3 交 y 轴于点 A,直线 l′过点 P 且垂直于 l,交 y 轴于点 B.试判断以 AB 为直径的圆能否经过 定点?若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由. 点评 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点,基本方法是联立方程,利用判别 式、根与系数关系求解,运算量一般较大,这类综合题中常涉及的问题有弦长问题、面积问 题、对称问题、定点定值问题等,是历年高考的热点问题,复习时要注重通性通法的训练.

x2 y2

-3-

变式训练 5

(2012?山东高考, 21)如图, 文 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 , 2

直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设直线 l:y=x+m(m∈R)与椭圆 M 有两个不同的交点 P,Q,l 与矩形 ABCD 有两个不 |PQ| 同的交点 S,T.求 的最大值及取得最大值时 m 的值. |ST| 6.函数与导数 以函数为载体,以导数为工具,以考查函数性质及导数的应用为目标,以导数为工具围 绕函数、不等式、方程等综合考查.在知识的交汇处命题,涉及具体内容较多,如给定解析 式求参数值,给定条件求参数范围,以及对参数讨论与证明不等式问题,极值、最值、值域 及分析图象交点等问题,都以导数为工具.既考查函数部分的相关知识,又渗透函数与方程、 数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想. 2 3-x 【例6】(2012?河南许昌联考,21)设 x=3 是函数 f(x)=(x +ax+b)e (x∈R)的一个 极值点. (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b),并求 f(x)的单调区间; ? 2 25? x (2)设 a>0,g(x)=?a + ?e .若存在 x1,x2∈[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<1 成立,求 a 4? ? 的取值范围. 点评 本题考查了利用导数研究极值、单调区间、值域问题,考查了分类讨论思想等. 1 3 2 变式训练 6 (2012?广东中山一模, 20)已知函数 f(x)=4x -3x sin θ + , 其中 x∈R, 32 θ 为参数,且 0<θ <π . (1)当 θ =0 时,判断函数 f(x)是否有极值,说明理由; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ ,函数 f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函 数,求实数 a 的取值范围. 参考答案 方法例析 2 2 【例 1】解:(1)因为 f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x?cos ω x+λ =-cos 2ω x+ 3sin 2ω x+λ π? ? =2sin?2ω x- ?+λ . 6? ? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π? ? 可得 sin?2ω π - ?=±1, 6? ? π π 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z), 6 2 k 1 即 ω = + (k∈Z). 2 3 ?1 ? 又 ω ∈? ,1?,k∈Z, ?2 ? 5 所以 k=1,故 ω = . 6
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6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? ? ?π ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ,0?,得 f? ?=0, ?4 ? ?4? 5 π π? ? 即 λ =-2sin?2? ? - ? ? 6 4 6? π =-2sin =- 2, 4 即 λ =- 2.

?5 π ? 故 f(x)=2sin? x- ?- 2. 6? ?3 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 5 π? 1 ? 所以- ≤sin? x- ?≤1, 6? 2 ?3 ?5 π ? 得-1- 2≤2sin? x- ?- 2≤2- 2, 6? ?3 ? 3π ? 故函数 f(x)在?0, ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 5 ? ? π? 2 ? 2 【变式训练 1】解:(1)f(x)= cos?2x+ ?+sin x 4? 2 ? π π ? 1-cos 2x 2? = ?cos 2xcos -sin 2xsin ?+ 4 4? 2? 2 1 1 = - sin 2x, 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π . 1 1 ? π? (2)当 x∈?0, ?时,g(x)= -f(x)= sin 2x.故 2? 2 2 ? π π? π ? ? ? ①当 x∈?- ,0?时,x+ ∈?0, ?. 2? 2 ? ? 2 ? ? π? 由于对任意 x∈R,g?x+ ?=g(x), 2? ? ? π? 从而 g(x)=g?x+ ? 2? ? 1 ? ? π ?? 1 = sin?2?x+ ??= sin(π +2x) 2 ?? 2 2 ? ? 1 =- sin 2x. 2 π? ? ? π? ②当 x∈?-π ,- ?时,x+π ∈?0, ?. 2? 2? ? ? 1 1 从而 g(x)=g(x+π )= sin[2(x+π )]= sin 2x. 2 2

?1sin 2x,x∈?-π ,-π ?, ? 2? ?2 ? ? 综合①, ②得 g(x)在[-π , 0]上的解析式为 g(x)=? π 1 ? ? ?-2sin 2x,x∈?- 2 ,0?. ? ? ?
【例 2】解:(1)存在,线段 BC 的中点就是满足条件的点 P.

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证明如下: 取 AB 的中点 F,连接 DP,PF,EF, 1 则 PF∥AC,且 FP= AC. 2 取 AC 的中点 M,连接 EM,EC. ∵AE=AC 且∠EAC=60°, ∴△EAC 是正三角形,∴EM⊥AC, ∴四边形 EMCD 为矩形, 1 ∴ED=MC= AC. 2 又 ED∥AC,∴ED∥FP 且 ED=FP, ∴四边形 EFPD 是平行四边形, ∴DP∥EF. 又 EF? 平面 EAB,DP?平面 EAB, ∴DP∥平面 EAB. (2)(解法 1)过 B 作 AC 的平行线 l,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G,连接 DG.

∵ED∥AC,∴ED∥l, ∴l 是平面 EBD 与平面 ABC 的交线. ∵平面 EAC⊥平面 ABC,DC⊥AC, ∴DC⊥平面 ABC. 又∵CG⊥l,∴l⊥DG, ∴∠DGC 是所求二面角的平面角. 设 AB=AC=AE=2a, 则 CD= 3a,GC=2a. 2 2 ∴GD= GC +CD = 7a, GC 2 7 ∴cos θ =cos∠DGC= = . GD 7 (解法 2)∵∠BAC=90°,平面 EACD⊥平面 ABC, ∴以点 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz, 如图所示.

-6-

设 AB=AC=AE=2a, 由已知得 B(2a,0,0),E(0,a, 3a),D(0,2a, 3a), ∴ EB =(2a,-a,- 3a), ED =(0,a,0). 设平面 EBD 的法向量为 n=(x,y,z), ∴n⊥ EB 且 n⊥ ED ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? EB=0, ?2ax-ay- 3az=0, ? ∴ ? ??? ∴? ? ?n ? ED=0, ?ay=0, ?

? ?x= 3z, 2 解得? ?y=0, ?

取 z=2,得平面 EBD 的

一个法向量为 n=( 3,0,2). ∵平面 ABC 的一个法向量为 n′=(0,0,1). 3?0+0?0+2?1 ? ? 2 7 ∴cos θ =|cos〈n,n′〉|=? . ?= 2 2 2 2 2 2 ? ( 3) +0 +2 ? 0 +0 +1 ? 7 【变式训练 2】解:(1)由 ABCD 是矩形,得 BC∥AD,推出 BC∥平面 ADF. 由 CE∥DF 得 CE∥平面 ADF. ∵BC∩CE=C, ∴平面 BCE∥平面 ADF. ∵BE? 平面 BCE,∴BE∥平面 ADF. (2)如图,建立空间直角坐标系 D-xyz,

设 BC=a,CE=b,DF=c,得 B(a,3,0),C(0,3,0),E(0,3,b),F(0,0,c),

??? ? ???? ??? ???? ? ??? ? ∵ EF ? DE =0,| EF |=2 3,

∴ EF =(0,-3,c-b), DE =(0,3,b). 解得 b=3 3,c=4 3, 设平面 BEF 的一个法向量 n=(1,p,q),

??? ? ??? ? 3 ? ? a 由 n? EF =0,n? BE =0,求得平面 BEF 的一个法向量为 n=?1, , a?. ? 9 9 ? 又∵DA⊥平面 DCEF,

-7-

∴|cos〈n, DA 〉|=

??? ?

2 9 ,解得 a= . 2 2

9 ∴当 BC= 时,平面 BEF 与平面 CDFE 所成角的大小为 45°. 2 【例 3】解:(1)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,“该选 手通过决赛”为事件 C, 2 1 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . 3 3 4 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是 2 ? 1? 4 P=P(A B )=P(A)P( B )= ??1- ?= . 3 ? 3? 9 (2)ξ 可能的取值为 1,2,3. 2 1 P(ξ =1)=P( A )=1- = , 3 3 2 ? 1? 4 P(ξ =2)=P(A B )=P(A)P( B )= ??1- ?= , 3 ? 3? 9 2 1 2 P(ξ =3)=P(AB)=P(A)P(B)= ? = . 3 3 9 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 1 4 2 P 3 9 9 1 4 2 17 ξ 的数学期望 Eξ =1? +2? +3? = . 3 9 9 9 【变式训练 3】解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人, 5 1 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = , 30 6 1 1 所以选中的“高个子”有 12? =2 人,“非高个子”有 18? =3 人. 6 6 用 A 表示事件“至少有一名‘高个子’被选中”,则 P(A)=1- 7 因此至少有一人是“高个子”的概率是 . 10 (2)依题意,ξ 的取值为 0,1,2,3.
2 C3 3 7 =1- = . 2 10 10 C5

P(ξ =0)= P(ξ =1)= P(ξ =2)= P(ξ =3)=

3 C8 14 = , 8 C12 55 2 C1 C8 28 4 = , 8 55 C12

C2C1 12 4 8 = , 8 55 C12 C3 1 4 = . 8 C12 55
ξ 0 14 55 1 28 55 2 12 55 3 1 55
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因此,ξ 的分布列如下

P

14 28 12 1 所以 E(ξ )=0? +1? +2? +3? =1. 55 55 55 55 【例 4】解:(1)证明:∵bn+1-3bn=2n-2, * ∴bn-3bn-1=2(n-1)-2,n≥2,n∈N . * 两式相减,得 bn+1-bn-3bn+3bn-1=2(n≥2,n∈N ). * 整理,得 bn+1-bn+1=3(bn-bn-1+1)(n≥2,n∈N ), * 即 an=3an-1(n≥2,n∈N ). ∴数列{an}是公比为 3 的等比数列. (2)∵b2=3, n * ∴a1=3-1+1=3.∴an=3 (n∈N ). n ∵an=bn+1-bn+1=3 , n-1 n-2 1 ∴bn-bn-1+1=3 ,bn-1-bn-2+1=3 ,?,b2-b1+1=3 . n 1-3 累加,得 bn-b1+n-1= -1. 1-3 n 3 1 * ∴bn= -n+ (n∈N ). 2 2

1?1 1 ? ? - ?. 2 ? n n+2 ? 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? 1 - + ∴Tn= ?1+ - = - . 2 n+1 n+2? 4 2?n+1 n+2? 2? ? ? ? ? 1 + 1 ?<116. 由 45Tk<29 得 135-90? ? ?k+1 k+2?
(3) cn=log3n 3 ? log3n +2 3= 1

n(n+2)



1 1 19 1 1 + > = + . k+1 k+2 90 9 10 ∴k<8. * 又 k∈N ,∴k 的最大值为 7, ∴ 1 2 1 1 【变式训练 4】解:(1)∵Sn= an + an+ ,① 4 2 4 1 2 1 1 ∴当 n≥2 时,Sn-1= an -1+ an-1+ .② 4 2 4 由①-②化简,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 又∵数列{an}的各项为正数, ∴当 n≥2 时,an-an-1=2. 故数列{an}成等差数列,公差为 2. 1 2 1 1 又 a1=S1= a1 + a1+ , 4 2 4 解得 a1=1, ∴an=2n-1. (2)由分段函数

?an,n为奇数, ? f(n)=? ?n? ?f?2?,n为偶数, ? ? ?
可以得到 c1=f(6)=f(3)=a3=5, c2=f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=a1=1; * 当 n≥3,n∈N 时, n cn=f(2 +4)=f(2n-1+2)=f(2n-2+1)=2(2n-2+1)-1=2n-1+1, n-2 4(1-2 ) 2 3 n-1 n 故当 n≥3 时,Tn=5+1+(2 +1)+(2 +1)+?+(2 +1)=6+ +(n-2)=2 1-2 +n.
-9-

n=1 时,T1=5 不满足 Tn=2n+n, n=2 时,T2=c1+c2=6 满足 Tn=2n+n, ?5,n=1, ? 故 Tn=? n ? ?2 +n,n≥2. 【例 5】解:设点 P(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0),代入

x2 y 2 + =, 1 4 3

整理得(3+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0) -12=0. ∵x=x0 是方程的两个相等实根,

2

8k ( y0-kx0 ) , 3+4k2 3x 解得 k=- 0 . 4 y0
∴ 2x0=-

? ? 3 4 ? x 2 ( y ? 0) 求导解得 ? ? 或根据y ? ? ? 2 ? ?
∴直线 l 的方程为 y-y0=

? 4 y 2+3 x0 2 ? 3x0 .令 x=0,得点 A 的坐标为 ? 0, 0 ( x-x0 ) ?. 4 y0 4 y0 ? ?

x0 2 y0 2 2 2 + 又∵ =1,∴4y0 +3x0 =12, 4 3 ? 3 ? ∴点 A 的坐标为 ? 0, ? . ? y0 ?
又直线 l′的方程为 y-y0=

4 y0 y ? ? ( x-x0 ) ,令 x=0,得点 B 的坐标为 ? 0,- 0 ? , 3x0 3? ?

∴以 AB 为直径的圆的方程为 x ? x+? y-

? ?

y0 ? 3? ? ? ? ? y+ ?=0 , y0 ? ? 3?

整理得 x 2+y 2+?

? y0 3? - ? y-1=0 . ? 3 y0 ?

? x 2+y 2-1=0, ?x=±1, ? 由? 得? ? ?y=0. ? y=0,
∴以 AB 为直径的圆恒过定点(-1,0)和(1,0). 【变式训练 5】解:(1)设椭圆 M 的半焦距为 c,

- 10 -

?a =b +c , ?c 3 由题意知? = , a 2 ?4ab=8, ?
所以 a=2,b=1. 因此椭圆 M 的方程为 +y =1. 4

2

2

2

x2

2

?x +y2=1, ? (2)由? 4 ?y=x+m ?
2 2

2

整理得 5x +8mx+4m -4=0,
2

2

2

由 Δ =64m -80(m -1)=80-16m >0, 得- 5<m< 5. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 2 8m 4(m -1) 则 x1+x2=- ,x1x2= . 5 5 所以|PQ|= (x1-x2) +(y1-y2) 2 = 2[(x1+x2) -4x1x2] 4 2 = 2(5-m )(- 5<m< 5). 5 线段 CD 的方程为 y=1(-2≤x≤2),线段 AD 的方程为 x=-2(-1≤y≤1). ①不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1≤m< 5,S(-2,m-2),D(-2,1), 所以|ST|= 2|SD|= 2[1-(m-2)]= 2(3-m), 2 |PQ| 4 5-m 因此 = 2, |ST| 5 (3-m) 令 t=3-m(1≤m< 5), 则 m=3-t,t∈(3- 5,2], 2 |PQ| 4 5-(3-t) 所以 = 2 |ST| 5 t = 4 5 4 6 - 2+ -1
2 2

t

t

4 5 ?1 3 ? -4 ? - ? + , = 5 4 ?t 4?

2

由于 t∈(3- 5,2], 1 ?1 3+ 5? 所以 ∈? , ?, t ?2 4 ? 1 3 4 |PQ| 2 5 5 因此当 = ,即 t= 时, 取得最大值 ,此时 m= . t 4 3 |ST| 5 3 ②不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时-1≤m≤1,

- 11 -

|PQ| 2 2 因此|ST|= 2|AD|=2 2,此时 = 5-m , |ST| 5 |PQ| 2 5 所以当 m=0 时, 取得最大值 . |ST| 5 ③不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,- 5<m≤-1, |PQ| 2 5 5 由椭圆和矩形的对称性知 的最大值为 ,此时 m=- . |ST| 5 3 5 |PQ| 2 5 综上所述,m=± 或 m=0 时, 取得最大值 . 3 |ST| 5 2 3-x 【例 6】解:(1)f′(x)=-[x +(a-2)x+b-a]e , 2 3-3 由 f′(3)=0,得-[3 +3(a-2)+b-a]?e =0,即得 b=-3-2a, 2 3-x 3-x 则 f′(x)=-[x +(a-2)x-3-3a]e =-(x-3)(x+a+1)e . 令 f′(x)=0,得 x1=3 或 x2=-a-1, 由于 x=3 是函数的一个极值点. 所以 x1≠x2,那么 a≠-4. 当 a<-4 时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f′(x)<0,f(x)为减函数; 在区间(3,-a-1)上,f′(x)>0,f(x)为增函数; 在区间(-a-1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数. 当 a>-4 时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,-a-1)上,f′(x)<0,f(x)为减函数; 在区间(-a-1,3)上,f′(x)>0,f(x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数. 即 a<-4 时,f(x)的单调递增区间为(3,-a-1),单调递减区间为(-∞,3),(-a- 1,+∞); a>-4 时,f(x)的单调递增区间为(-a-1,3),单调递减区间为(-∞,-a-1),(3, +∞). (2)由(1)知,当 a>0 时,f(x)在区间(0,3)上单调递增,在区间(3,4)上单调递减, 3 -1 而 f(0)=-(2a+3)e <0,f(4)=(2a+13)e >0,f(3)=a+6, 3 那么 f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e ,a+6]. 又 g ( x) ? ? a ?
2

? ?

25 ? x ? e 在区间[0,4]上是增函数, 4 ?

且它在区间[0,4]上的值域是 ? a 2 ?

? ?

25 ? 2 25 ? 4 ? ,? a ? ?e ? , 4 ? 4? ?
2

1 ? 1? ? 2 25 ? 2 由于 ? a ? ? -(a+6)=a -a+4 ? ? a- ? ? 0 , 4 ? 2? ? ? 3 ? 2 25 ? 所以必须且仅需 ? a ? ? ? (a ? 6) ? 1 且 a>0,解得 0<a<2. 4 ? ? 3? ? 故 a 的取值范围是?0, ?. ? 2? 1 3 【变式训练 6】解:(1)当 θ =0,即 sin θ =0 时,f(x)=4x + , 32 则 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值. 2 (2)f′(x)=12x -6xsin θ , sin θ 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2= . 2 当 x 变化时,f′(x)的符号及 f(x)的变化情况如下表:
- 12 -

x f′(x) f(x)

(-∞,0) + 增

0

?0,sin θ ? ? 2 ? ? ?

0 - + 极大值 减 增 sin θ ?sin θ ?, 因此函数 f(x)在 x= 处取得极小值 f? ? 2 ? 2 ? ?sin θ ?=-1sin3θ + 1 . 且 f? ? 4 32 ? 2 ? ?sin θ ?>0,必有-1sin3θ + 1 >0,可得 0<sin θ <1, 要使 f? ? 4 32 2 ? 2 ? π 5π 所以 0<θ < 或 <θ <π . 6 6 ?sin θ ,+∞?内都是增函数. (3)由(2)知,函数 f(x)在区间(-∞,0)与? ? ? 2 ? 由题设函数 f(x)在(2a-1,a)内是增函数,

sin θ 2 0 极小值

?sin θ ,+∞? ? 2 ? ? ?

? 2a ? 1 ? a, ?2a ? 1 ? a, ? 则 a 需满足不等式组 ? 或? 1 ?a ? 0, ?2a ? 1 ? 2 sin θ. ?
π 5π 1 由(2),参数 θ 满足 0<θ < 或 <θ <π 时,0<sin θ < , 6 6 2 1 1 要使不等式 2a-1≥ sin θ 关于参数 θ 恒成立,必有 2a-1≥ , 2 4 5 故 a≥ . 8 ?5 ? 综上所述,a 的取值范围是(-∞,0]∪? ,1?. ?8 ?

- 13 -


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