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专题23 正弦定理和余弦定理的应用-2016年高考数学(文)一轮复习精品资料(原卷版)

【考情解读】 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【重点知识梳理】 1.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平 视线下方叫俯角(如图 1). (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为 α(如图 2). (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 【高频考点突破】 考点一 考查测量距离 例 1、如图所示,有两座建筑物 AB 和 CD 都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到达对岸),某人 想测量两座建筑物尖顶 A、C 之间的距离,但只有卷尺和测量仪两种工具.若此人在地面上选一条基线 EF, 用卷尺测得 EF 的长度为 a,并用测角仪测量了一些角度:∠AEF=α,∠AFE=β,∠CEF=θ,∠CFE=φ, ∠AEC=γ.请你用文字和公式写出计算 A、C 之间距离的步骤和结果. 【方法技巧】求距离问题时要注意 (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知 量,则把未知量放在另一确定三角形中求解; (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 【变式探究】 隔河看两目标 A 与 B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C,D 两点,同时,测得∠ACB=75° , ∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° (A,B,C,D 在同一平面内),求两目标 A,B 之间的距离. 考点二 考查高度问题 例 2、如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得湖中之影的俯角为 45° ,则 云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( A.2.7 m C.37.3 m ) B.17.3 m D.373 m 【方法技巧】求解高度问题首先应分清 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用. 【变式探究】 如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰 角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________米. 考点三 考查方位角 例 3、如图,我国的海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至 A 处,此时测得其东北方向与它 相距 16 海里的 B 处里一外国船只,且 D 岛位于海监船正东 14 2海里处. (1)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方向航行.为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里处,不让其进入 D 岛 12 海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值. (参考数据:sin 36°52′≈0.6,sin 53°08′≈0.8) 【方法技巧】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念.结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形, 同时注意平面图形的几何性质的应用. 【变式探究】如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 m km 后在 B 处测量该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 n km 范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行, 当 α 与 β 满足条件________时,该船没有触礁危险. 考点四 考查函数思想在解三角形中的应用 例 4、如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方 向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点 O 点的距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度 匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里? 【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合,此类问题综合性较强, 能力要求较高,要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力. 解答本题利用了函数思想,求解时把速度表示为时间的函数,利用函数最值求法完成解答,注意函数 1 中以 为整体构造二次函数,求最值. t 21 11 3 【变式探究】如图所示,已知树顶 A 离地面 米,树上另一点 B 离地面 米,某人在离地面 米的 C 处 2 2 2 看此树,则该人离此树________米时,看 A,B 的视角最大. 【真题感悟】 【2015 高考湖北,文 15】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一 山顶 D 在西偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 , 则此山的高度 CD ? _________m. 【2015 高考湖南, 文 17】 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A . (I)证明: sin B ? cos A ; (II) 若 sin C ? sin A cos B ? 3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4 【2015 高考陕西,文 17】 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? ( a , 3b) 与 n ? (cos A,sin B ) 平行. (I)求 A ; (II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 【2015 高考浙江

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