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北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测

数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2018.1

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 已知集合 A = {x | x( x - 2) < 0}, B = A. C.

{x | ln x > 0},则 A I B 是

{x |1 < x < 2} {x | x > 0}

B. {x | 0 < x < 2} D. {x | x > 2}

2. 已知 i 为虚数单位,设复数 z 满足 z ? i ? 3 ,则 z = A. 3 B. 4 C. 10 D. 10

3. 在平面直角坐标系中, 以下各点位于不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 3) ? 0 表示的平面区域内 的是

0) A. (0,
4.“ sin ? ?

0) B. ( ?2,

? 1) C. (0,

2) D. (0,

2 ”是“ cos 2? =0 ”的 2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

5. 某四棱锥的三视图如图所示, 网格纸上小正方形的边长为 1, 则该四棱锥的体积为 A. 4 B.

4 3

C.

4 2 3
2 2

D. 4 2

6. 已知圆 ( x ? 2) ? y ? 9 的圆心为 C .直线 l 过点 M (?2,0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 C 于

A, B 两点,点 A 在点 M , B 之间.过 M 作直线 AC 的平行线交直线 BC 于点 P ,则点 P 的
轨迹是

A. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分

B. 双曲线的一部分 D. 圆的一部分

7. 已知函数 f ( x) ? x ? x ? a 的图象与直线 y ? ?1 的公共点不少于两个, 则实数 a 的取值范 围是 A . a ? ?2 B. a ? ?2 C. ?2 ? a ? 0
D

D. a ? ?2
C

8. 如图 1, 矩形 ABCD 中,AD ? 3 .点 E 在 AB 边上, CE ? DE

且 AE ? 1 . 如图 2, △ ADE 沿直线 DE 向上折起成 △A1DE .记

180 二面角 A ? DE ? A1 的平面角为 ? ,当 ? ? 0 ,
?

?

0

? 时,

A

E

B

图1

① 存在某个位置,使 CE ? DA1 ;
A1

② 存在某个位置,使 DE ? AC 1 ; ③ 任意两个位置,直线 DE 和直线 AC 1 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是 A. ① B. ①② C. ①③
A E

D

C

B

图2 D. ②③ 开始 i=1,S=2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线 C 的离心率为 2 ,则双曲线 C 的 渐近线方程为 . .

S=i ? S i=i+1
i>4? 是 否

10. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 11.

?

??? ? ??? ? ??? ? ABCD 中, E , F 分别为边 BC , CD 中点,若 AF ? xAB ? y AE

输出 S 结束

( x, y ? R ) ,则 x +y = _________. 12. 已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? an?1 (n ? 2) ,a1 ? p ,a2 ? q ( p, q ? R ).设 Sn ? 则 a10 ? ; S2018 ? .(用含 p, q 的式子表示)
n

?a ,
i ?1 i

13. 伟大的数学家高斯说过: 几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位

同学受到启发,借助以下两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:

(ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) 的一种“图形证明”.

a

d

a

D

d c C b

b

b A c d B a

c

证明思路: (1)左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积; (2)左图中阴影区域的面积为 ac ? bd ,右图中,设 ?BAD ? ? ,右图阴影区域的面积可 表示为_________(用含 a,b,c,d , ? 的式子表示) ; ( 3 )由图中阴影面积相等,即可导出不等式 (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) . 当且仅当

a, b, c, d 满足条件__________________时,等号成立.
14. 如图, 一位同学从 P1 处观测塔顶 B 及旗杆顶 A , 得仰角分别 为 ? 和 90? ? ? . 后退 l (单位 m)至点 P 2 处再观测塔顶 B ,仰角 变为原来的一半, 设塔 CB 和旗杆 BA 都垂直于地面,且 C ,P1 ,
B A

P2 三点在同一条水平线上, 则塔 CB 的高为
的高为 m.(用含有 l 和 ? 的式子表示)

m; 旗杆 BA

C

P1

P2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin x ?
2

1 . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 △ ABC 中, a, b, c 为角 A, B, C 的对边,且满足 b cos 2 A ? b cos A ? a sin B , 且0 ? A ?

? ,求 f ( B ) 的取值范围. 2

16. (本小题满分 13 分) 为了治理大气污染,某市 2017 年初采用了一系列措施,比如“煤改电”,“煤改气”,“国 Ⅰ,Ⅱ轻型汽油车限行”,“整治散乱污染企业”等.下表是该市 2016 年和 2017 年 12 月份的 空气质量指数(AQI) (AQI 指数越小,空气质量越好)统计表. 表 1:2016 年 12 月 AQI 指数表:单位( ?g / m3 ) 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 47 12 270 23 47 2 123 13 78 24 155 3 232 14 40 25 191 4 291 15 51 26 64 5 78 16 135 27 54 6 103 17 229 28 85 7 159 18 270 29 75 8 132 19 265 30 249 9 37 20 409 31 329 10 67 21 429 11 204 22 151

表 2:2017 年 12 月 AQI 指数表:单位( ?g / m3 ) 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 91 12 28 23 50 2 187 13 49 24 50 3 79 14 94 25 46 4 28 15 62 26 41 5 44 16 40 27 101 6 49 17 46 28 140 7 27 18 48 29 221 8 41 19 55 30 157 9 56 20 44 31 55 10 43 21 74 11 28 22 62

根据表中数据回答下列问题: (Ⅰ)求出 2017 年 12 月的空气质量指数的极差; (Ⅱ)根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行) 》规定:当空气质量指数为 0~50 时,空气质量级别为一级.从 2017 年 12 月 12 日到 12 月 16 这五天中,随机抽取三天,空气 质量级别为一级的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅲ) 你认为该市 2017 年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?ACB ? 90? ,D 是线段 AC 的中点,且 A1D ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证:平面 A 1 BC ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)求证: B1C // 平面 A 1BD ; ( Ⅲ ) 若 A1B ? AC1 , AC ? BC ? 2 , 求 二 面 角 D A B C A1 B1 C1

A ? A1B ? C 的余弦值.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x cos x ? a , a ? R . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ?

? 处的切线的斜率; 2

(Ⅱ)判断方程 f ?( x) ? 0 ( f ?( x ) 为 f ( x ) 的导数)在区间 ? 0,1? 内的根的个数,说明理由; (Ⅲ)若函数 F ( x) ? x sin x ? cos x ? ax 在区间 (0,1) 内有且只有一个极值点,求 a 的取值 范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点为 F ,过抛物线 C 上的动点 P (除顶点 O 外)作 C 的切 线 l 交 x 轴于点 T .过点 O 作直线 l 的垂线 OM (垂足为 M )与直线 PF 交于点 N . (Ⅰ)求焦点 F 的坐标; (Ⅱ)求证: FT ? MN ; (Ⅲ)求线段 FN 的长.

20. (本小题满分 13 分) 已 知 集 合 P ? ?a1 , a2 ,..., an ? , 其 中 ai ? R

?1 ? i

? n, n ? ? 2. M ( P) 表 示

ai +a j( 1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数.

7,9? ,求 M ( P) ; (Ⅰ)若集合 P ? ?1,3,5,
n ?1 (Ⅱ)若集合 P ? 1, 4,16,..., 4 ,求证: ai +a j 的值两两不同,并求 M ( P) ;

?

?

(Ⅲ)求 M ( P) 的最小值.(用含 n 的代数式表示)

北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试卷答案(理工类)
2018.1

一、选择题(40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 A 6 B 7 B 8 C

二、填空题(30 分) 题号 答案 题号 答案 9 10 48 13 11

y ? ?x
12

1 2
14

?p

p?q

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? sin?

ad ? bc

l sin ?

l cos 2? sin ?

三、解答题(80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题知 f ( x) ?

1 1 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 2 1 1 = sin 2 x ? cos 2 x 2 2

=
由 2k ? ?

2 ? sin(2 x ? ) . 2 4

? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ( k ? ? ) , 2 4 2 ?? ? ? x ? k? ? 解得 k ? ? . 8 8 3? ? , k ? ? ] ( k ? ? ). 所以 f ( x ) 单调递增区间为 [k ? ? 8 8
因为在三角形中 sin B ? 0 ,所以 cos 2 A ? cos A ? sin A . 即 (cos A ? sin A)(cos A ? sin A ? 1) ? 0

…………… 6 分

(Ⅱ)依题意,由正弦定理, sin B cos 2 A ? sin B cos A ? sin A sin B .

? ; 4 ? 当 cos A ? sin A ? 1时, A ? . 2 ? ? 由于 0 ? A ? ,所以 A ? . 2 4 3 则 B +C ? ? . 4 3 则0 ? B ? ?. 4 ? ? ?? 又 ? 2B ? ? , 4 4 4 ? 所以 ?1 ? sin(2 B ? ) ? 1 . 4
当 cos A ? sin A 时, A ? 由 f ( B) ?

2 ? sin(2 B ? ) , 2 4
? ? 2 2? , ?. 2 2 ?
……………… 13 分

则 f ( B ) 的取值范围是 ? ? 16. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)2017 年 12 月空气质量指数的极差为 194. (Ⅱ) ? 可取 1,2,3

…………………3 分

1 2 1 3 0 C3 C2 C32C2 C3 C2 1 3 6 P(? ? 1) ? 3 ? ; P(? ? 2) ? 3 ? ; P(? ? 3) ? ? . 3 C5 10 C5 10 C5 10

? 的分布列为

?
P

1

2

3

3 10 3 6 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 1.8 . 所以 E? ? 1? 10 10 10

6 10

1 10
………………9 分

(Ⅲ)这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数,或者这两年 12 月空气质量指数 为优的概率等来进行说明. ………………13 分 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ?ACB ? 90? ,所以 BC ? AC .

根据题意, A1D ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 A1D ? BC . 因为 A 1D ? AC ? D ,所以 BC ? 平面 AAC 1 1C . 又因为 BC ? 平面 A 1BC ,所以平面 A 1BC ? 平面 AAC 1 1C . ………………4 分 C1 B1 E D A 又因为 DE ? 平面 A 1BD , B C

DE . (Ⅱ)证明:连接 AB1 ,设 AB1 ? A 1B ? E ,连接
根据棱柱的性质可知, E 为 AB1 的中点, 因为 D 是 AC 的中点, 所以 DE // B1C .

A1

B1C ? 平面 A1BD ,
所以 B1C // 平面 A 1BD . (Ⅲ)如图,取 AB 的中点 F ,则 DF // BC , 因为 BC ? AC ,所以 DF ? AC , 又因为 A1D ? 平面 ABC , 所以 DF , DC, DA 1 两两垂直. 以 D 为原点,分别以 DF , DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系(如图). 由(Ⅰ)可知, BC ? 平面 AAC 1 1C , 所以 BC ? AC1 . 又因为 A1B ? AC1 , BC ? A1B ? B , 所以 AC1 ? 平面 A 1BC ,所以 AC1 ? AC 1 , 所以四边形 AAC 1 1C 为菱形. 由已知 AC ? BC ? 2 , 则 A ? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? , A1 0, 0, 3 . D A F x B C y z A1 B1 C1 ………………8 分

?

?

设平面 A 1 AB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

???? ??? ? ???? ? ? y ? 3 z ? 0, ? ?n ? AA1 ? 0, 因为 AA1 ? 0,1, 3 , AB ? ? 2,2,0? ,所以 ? ??? ,即 ? ? ? ? ? 2 x ? 2 y ? 0. ? n ? AB ? 0,

?

?

设 z ? 1 ,则 n ?

?

3, ? 3,1 .

?

再设平面 A 1BC 的一个法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

???? ??? ? ???? ?m ? CA1 ? 0, ? ? y ? 3 z1 ? 0, ? ? 因为 CA1 ? 0, ?1, 3 , CB ? ? 2,0,0? ,所以 ? ,即 ? 1 ??? ? ? ? ? 2 x1 ? 0. ? m ? CB ? 0,

?

?

设 z1 ? 1,则 m ? 0, 3,1 . 故 cos? m, n? ?

?

?

m?n ?3 ? 1 7 ? ? . m?n 7 7 ?2

由图知,二面角 A ? A 1B ? C 的平面角为锐角, 所以二面角 A ? A 1B ? C 的余弦值为 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? cos x ? x sin x . k ? f ?( ) ? ?

7 . 7

…………14 分

π 2

π . 2

…………3 分

(Ⅱ)设 g ( x) ? f ?( x) , g ?( x) ? ? sin x ? (sin x ? x cos x) ? ?2sin x ? x cos x . 当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 为减函数. 又因为 g (0) ? 1 ? 0 , g (1) ? cos1 ? sin1 ? 0 , 所以有且只有一个 x0 ? (0,1) ,使 g ( x0 ) ? 0 成立. 所以函数 g ( x) 在区间 ? 0,1? 内有且只有一个零点.即方程 f ?( x) ? 0 在区间 ? 0,1? 内有 且只有一个实数根. ……………7 分

( Ⅲ ) 若 函 数 F ( x) ? x sin x? cosx? ax 在 区 间 ? 0, 1 ? 内有且只有一个极值点,由于

F ?( x) ? f ( x) , 即 f ( x) ? x cos x ? a 在区间 ? 0,1? 内有且只有一个零点 x1 , 且 f ( x)
在 x1 两侧异号. 因为当 x ? (0,1) 时,函数 g ( x) 为减函数,所以在 ? 0, x0 ? 上, g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,

即 f ?( x) ? 0 成立,函数 f ( x ) 为增函数; 在 ( x0 ,1) 上, g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 成立,函数 f ( x ) 为减函数, 则函数 f ( x ) 在 x ? x0 处取得极大值 f ( x0 ) . 当 f ( x0 ) ? 0 时, 虽然函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 内有且只有一个零点 x0 , 但 f ( x ) 在 x0 两侧同号,不满足 F ( x) 在区间 ? 0,1? 内有且只有一个极值点的要求.

, f (0) ? a ,显然 f (1) ? f (0) . 由于 f (1) ? a ? cos1
若函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 内有且只有一个零点 x1 ,且 f ( x ) 在 x1 两侧异号, 则只需满足:

? f (0) ? 0 , ?a ? 0, 即? ? ? f (1) ? 0 , ?cos1 ? a ? 0,
解得 ? cos1 ? a ? 0 . 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) F (0,1)
2 (Ⅱ) 设 P( x0 , y0 ) .由 x ? 4 y , 得y?

……………13 分

……………2 分

1 2 x , 则过点 P 的切线 l 的斜率为 k ? y? 4

x ? x0

?

1 x0 . 2

则过点 P 的切线 l 方程为 y ?

1 1 2 1 1 x0 x ? x0 ) .又点 .令 y ? 0 , 得 xT ? x0 , 即 T ( x0,0 2 4 2 2

P 为抛物线上除顶点 O 外的动点, x0 ? 0 ,则 kTF ? ?

2 .而由已知得 MN ? l ,则 x0

kMN ? ?

2 . x0

又 x0 ? 0 ,即 FT 与 MN 不重合, 即 FT ? MN . (Ⅲ) 由(Ⅱ)问, 直线 MN 的方程为 y ? ? …………6 分

y ?1 2 x ,x0 ? 0 .直线 PF 的方程为 y ? 1 ? 0 x, x0 x0

2 ? y ? ? xN .........(1) N ? x0 ? x0 ? 0 .设 MN 和 PF 交点 N 的坐标为 N ( xN , y N ) 则 ? ? y ? y0 ? 1 x ? 1 ..........(2) N N ? x0 ?
由(1)式得, x0 ? ?

2 xN (由于 N 不与原点重合,故 yN ? 0 ).代入(2) ,化简得 yN
( xN ? 0 ).

y0 ?

2 ? yN yN

2 ? ( yN ?1)2 ? 1 ? yN ? 0? .又 x02 ? 4 y0 ,化简得, xN

即点 N 在以 F 为圆心,1 为半径的圆上.(原点与 ? 0, 2 ? 除外) 即 FN ? 1 . 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) M ( P )=7 ;
2 1 ? i ? j ? n) 共有 Cn ? (Ⅱ)形如和式 ai +a j(

…………14 分

………… 3 分

n(n ? 1) n(n ? 1) . 项,所以 M ( P) ? 2 2

n ?1 ( 1 ? i ? j ? n,1 ? p ? q ? n) : 对于集合 1, 4,16,..., 4 中的和式 ai +a j , a p +aq

?

?

当 j ? q 时, i ? p 时, ai +a j ? a p +aq ;
j? 当 j ? q 时,不妨设 j ? q ,则 a +a ? 2a ? 4 2 ? a ? a ? a ? a . i j j j ?1 q p q 1

1 ? i ? j ? n) 的值两两不同. 所以 ai +a j(
且 M ( P )=

n( n ? 1) . 2

………… 8 分

(Ⅲ)不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ,可得

a1 + a2 ? a1+ a3 ? . .? . a1 n+a ? a + a? . ? . ?. a 2n n a 1 .n +

ai +a j( 1 ? i ? j ? n) 中至少有 2n ? 3 个不同的数.
即 M ( P) ? 2n ? 3 . 设 a1 , a2 ,..., an 成等差数列, ai +a j = ?

? ?ai ? j ?n ? an , (i ? j ? n) ? ?a1 ? ai ? j ?1 , (i ? j ? n)



1 ? i ? j ? n) ,其值等于 a1 +ap ( 2 ? p ? n )或 aq +an 则对于每个和式 ai +a j( (1 ? q ? n ? 1) 中的一个.去掉重复的一个 a1 ? an ,

所以对于这样的集合 P , M ( P) ? 2n ? 3 . 则 M ( P) 的最小值为 2n ? 3 . ……………13 分


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